第八章风险资产的定价 风险资产的定价是投资学的核心内容之一。本章将在上一章的基础上详细讨论风险资产 的定价方法,特别是资本资产定价模型 第一节有效集和最优投资组合 根据上一章介绍过的马科维茨证券组合理论,投资者必须根据自己的风险-收益偏好和 各种证券和证券组合的风险、收益特性来选择最优的投资组合。然而,现实生活中证券种类 繁多,这些证券更可组成无数种证券组合,如果投资者必须对所有这些组合进行评估的话 那将是难以想象的。 幸运的是,根据马科维茨的有效集定理,投资者无须对所有组合进行一一评估。本节将 按马科维茨的方法,由浅入深地介绍确定最优投资组合的方法。 、可行集 为了说明有效集定理,我们有必要引入可行集( Feasible set)的概念。可行集指的是由 N种证券所形成的所有组合的集合,它包括了现实生活中所有可能的组合。也就是说,所有 可能的组合将位于可行集的边界上或内部 一般来说,可行集的形状象伞形,如图8-1中由A、N、B、H所围的区域所示。在现 实生活中,由于各种证券的特性千差万别。因此可行集的位置也许比图8-1中的更左或更左, 更高或更低,更胖或更瘦,但它们的基本形状大多如此。 B H 可行集 N 图8-1可行集与有效集 二、有效集 (一)有效集的定义 对于一个理性投资者而言,他们都是厌恶风险而偏好收益的。对于同样的风险水平,他 们将会选择能提供最大预期收益率的组合;对于同样的预期收益率,他们将会选择风险最小
136 第八章 风险资产的定价 风险资产的定价是投资学的核心内容之一。本章将在上一章的基础上详细讨论风险资产 的定价方法，特别是资本资产定价模型。 第一节 有效集和最优投资组合 根据上一章介绍过的马科维茨证券组合理论，投资者必须根据自己的风险-收益偏好和 各种证券和证券组合的风险、收益特性来选择最优的投资组合。然而，现实生活中证券种类 繁多，这些证券更可组成无数种证券组合，如果投资者必须对所有这些组合进行评估的话， 那将是难以想象的。 幸运的是，根据马科维茨的有效集定理，投资者无须对所有组合进行一一评估。本节将 按马科维茨的方法，由浅入深地介绍确定最优投资组合的方法。 一、可行集 为了说明有效集定理，我们有必要引入可行集（Feasible Set）的概念。可行集指的是由 N 种证券所形成的所有组合的集合，它包括了现实生活中所有可能的组合。也就是说，所有 可能的组合将位于可行集的边界上或内部。 一般来说，可行集的形状象伞形，如图 8-1 中由 A、N、B、H 所围的区域所示。在现 实生活中，由于各种证券的特性千差万别。因此可行集的位置也许比图 8-1 中的更左或更左， 更高或更低，更胖或更瘦，但它们的基本形状大多如此。 RP B H 可行集 N A P 图 8-1 可行集与有效集 二、有效集 （一）有效集的定义 对于一个理性投资者而言，他们都是厌恶风险而偏好收益的。对于同样的风险水平，他 们将会选择能提供最大预期收益率的组合；对于同样的预期收益率，他们将会选择风险最小
的组合。能同时满足这两个条件的投资组合的集合就是有效集( Efficient Set,又称有效边界 Efficient Frontier)。处于有效边界上的组合称为有效组合( Efficient Portfolio) (二)有效集的位置 可见,有效集是可行集的一个子集,它包含于可行集中。那么如何确定有效集的位置呢? 我们先考虑第一个条件。在图8-1中,没有哪一个组合的风险小于组合N,这是因为如 果过N点画一条垂直线,则可行集都在这条线的右边。N点所代表的组合称为最小方差组 合( Minimum variance portfolio)。同样,没有哪个组合的风险大于H。由此可以看出,对于 各种风险水平而言,能提供最大预期收益率的组合集是可行集中介于N和H之间的上方边 界上的组合集。 我们再考虑第二个条件,在图8-1中,各种组合的预期收益率都介于组合A和组合B 之间。由此可见,对于各种预期收益率水平而言,能提供最小风险水平的组合集是可行集中 介于A、B之间的左边边界上的组合集我们把这个集合称为最小方差边界( Minimum Variance Frontier 由于有效集必须同时满足上述两个条件,因此N、B两点之间上方边界上的可行集就是 有效集。所有其他可行组合都是无效的组合,投资者可以忽略它们。这样,投资者的评估范 围就大大缩小了 (三)有效集的形状 从图8-1可以看出,有效集曲线具有如下特点:①有效集是一条向右上方倾斜的曲线, 它反映了“高收益、高风险“的原则:②有效集是一条向上凸的曲线,这一特性可从图8-2 推导得来:③有效集曲线上不可能有凹陷的地方,这一特性也可以图8-2推导出来。 三、最优投资组合的选择 确定了有效集的形状之后,投资者就可根据自己的无差异曲线群选择能使自己投资效用 最大化的最优投资组合了。这个组合位于无差异曲线与有效集的相切点O,所图8-2所示 13/12 图8-2最优投资组合 从图8-2可以看出,虽然投资者更偏好I3上的组合,然而可行集中找不到这样的组合
137 的组合。能同时满足这两个条件的投资组合的集合就是有效集（Efficient Set，又称有效边界 Efficient Frontier）。处于有效边界上的组合称为有效组合（Efficient Portfolio）。 （二）有效集的位置 可见，有效集是可行集的一个子集，它包含于可行集中。那么如何确定有效集的位置呢？ 我们先考虑第一个条件。在图 8-1 中，没有哪一个组合的风险小于组合 N，这是因为如 果过 N 点画一条垂直线，则可行集都在这条线的右边。N 点所代表的组合称为最小方差组 合（Minimum Variance Portfolio）。同样，没有哪个组合的风险大于 H。由此可以看出，对于 各种风险水平而言，能提供最大预期收益率的组合集是可行集中介于 N 和 H 之间的上方边 界上的组合集。 我们再考虑第二个条件，在图 8-1 中，各种组合的预期收益率都介于组合 A 和组合 B 之间。由此可见，对于各种预期收益率水平而言，能提供最小风险水平的组合集是可行集中 介于 A、B 之间的左边边界上的组合集,我们把这个集合称为最小方差边界（Minimum Variance Frontier）。 由于有效集必须同时满足上述两个条件，因此 N、B 两点之间上方边界上的可行集就是 有效集。所有其他可行组合都是无效的组合，投资者可以忽略它们。这样，投资者的评估范 围就大大缩小了。 （三）有效集的形状 从图 8-1 可以看出，有效集曲线具有如下特点：有效集是一条向右上方倾斜的曲线， 它反映了“高收益、高风险“的原则；有效集是一条向上凸的曲线，这一特性可从图 8-2 推导得来；有效集曲线上不可能有凹陷的地方，这一特性也可以图 8-2 推导出来。 三、最优投资组合的选择 确定了有效集的形状之后，投资者就可根据自己的无差异曲线群选择能使自己投资效用 最大化的最优投资组合了。这个组合位于无差异曲线与有效集的相切点 O，所图 8-2 所示。 RP I3 I2 I1 B O H O N A P 图 8-2 最优投资组合 从图 8-2 可以看出，虽然投资者更偏好 I3 上的组合，然而可行集中找不到这样的组合
因而是不可实现的。至于I1上的组合,虽然可以找得到,但由于I1的位置位于I2的东南方 即I1所代表的效用低于I2,因此I1上的组合都不是最优组合。而I2代表了可以实现的最高 投资效用,因此O点所代表的组合就是最优投资组合。 有效集向上凸的特性和无差异曲线向下凸的特性决定了有效集和无差异曲线的相切点 只有一个,也就是说最优投资组合是唯一的。 对于投资者而言,有效集是客观存在的,它是由证券市场决定的。而无差异曲线则是主 观的,它是由自己的风险一一收益偏好决定的。从上一章的分析可知,厌恶风险程度越高的 投资者,其无差异曲线的斜率越陡,因此其最优投资组合越接近N点。厌恶风险程度越低 的投资者,其无差异曲线的斜率越小,因此其最优投资组合越接近B点。 第二节无风险借贷对有效集的影响 在前一节中,我们假定所有证券及证券组合都是有风险的,而没有考虑到无风险资产的 情况。我们也没有考虑到投资者按无风险利率借入资金投资于风险资产的情况。而在现实生 活中,这两种情况都是存在的。为此,我们要分析在允许投资者进行无风险借贷的情况下, 有效集将有何变化 无风险贷款对有效集的影响 (一)无风险贷款或无风险资产的定义 无风险贷款相当于投资于无风险资产,其收益率是确定的。在单一投资期的情况下,这 意味着如果投资者在期初购买了一种无风险资产,那他将准确地知道这笔资产在期末的准确 价值。由于无风险资产的期末价值没有任何不确定性,因此,其标准差应为零。同样,无风 险资产收益率与风险资产收益率之间的协方差也等于零。 在现实生活中,什么样的资产称为无风险资产呢?首先,无风险资产应没有任何违约可 能。由于所有的公司证券从原则上讲都存在着违约的可能性,因此公司证券均不是无风险资 其次,无风险资产应没有市场风险。虽然政府债券基本上没有违约风险,但对于特定的 投资者而言,并不是任何政府债券都是无风险资产。例如,对于一个投资期限为1年的投资 者来说,期限还有10年的国债就存在着风险。因为他不能确切地知道这种证券在一年后将 值多少钱。事实上,任何一种到期日超过投资期限的证券都不是无风险资产。同样,任何 种到期日早于投资期限的证券也不是无风险资产,因为在这种证券到期时,投资者面临着再 投资的问题,而投资者现在并不知道将来再投资时能获得多少再投资收益率 综合以上两点可以看出,严格地说,只有到期日与投资期相等的国债才是无风险资产。 但在现实中,为方便起见,人们常将1年期的国库券或者货币市场基金当作无风险资产 (二)允许无风险贷款下的投资组合 1.投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形 为了考察无风险贷款对有效集的影响,我们首先要分析由一种无风险资产和一种风险资 产组成的投资组合的预期收益率和风险。 假设风险资产和无风险资产在投资组合中的比例分别为X1和X2,它们的预期收益率分 别为R1和r;,它们的标准差分别等于a1和a2,它们之间的协方差为σ12。根据X1和X2的 定义,我们有X计+X2=1,且X1、X2>0。根据无风险资产的定义,我们有G2和O12都等于0
138 因而是不可实现的。至于 I1 上的组合，虽然可以找得到，但由于 I1 的位置位于 I2 的东南方， 即 I1 所代表的效用低于 I2，因此 I1 上的组合都不是最优组合。而 I2 代表了可以实现的最高 投资效用，因此 O 点所代表的组合就是最优投资组合。 有效集向上凸的特性和无差异曲线向下凸的特性决定了有效集和无差异曲线的相切点 只有一个，也就是说最优投资组合是唯一的。 对于投资者而言，有效集是客观存在的，它是由证券市场决定的。而无差异曲线则是主 观的，它是由自己的风险——收益偏好决定的。从上一章的分析可知，厌恶风险程度越高的 投资者，其无差异曲线的斜率越陡，因此其最优投资组合越接近 N 点。厌恶风险程度越低 的投资者，其无差异曲线的斜率越小，因此其最优投资组合越接近 B 点。 第二节 无风险借贷对有效集的影响 在前一节中，我们假定所有证券及证券组合都是有风险的，而没有考虑到无风险资产的 情况。我们也没有考虑到投资者按无风险利率借入资金投资于风险资产的情况。而在现实生 活中，这两种情况都是存在的。为此，我们要分析在允许投资者进行无风险借贷的情况下， 有效集将有何变化。 一、无风险贷款对有效集的影响 （一）无风险贷款或无风险资产的定义 无风险贷款相当于投资于无风险资产，其收益率是确定的。在单一投资期的情况下，这 意味着如果投资者在期初购买了一种无风险资产，那他将准确地知道这笔资产在期末的准确 价值。由于无风险资产的期末价值没有任何不确定性，因此，其标准差应为零。同样，无风 险资产收益率与风险资产收益率之间的协方差也等于零。 在现实生活中，什么样的资产称为无风险资产呢？首先，无风险资产应没有任何违约可 能。由于所有的公司证券从原则上讲都存在着违约的可能性，因此公司证券均不是无风险资 产。 其次，无风险资产应没有市场风险。虽然政府债券基本上没有违约风险，但对于特定的 投资者而言，并不是任何政府债券都是无风险资产。例如，对于一个投资期限为 1 年的投资 者来说，期限还有 10 年的国债就存在着风险。因为他不能确切地知道这种证券在一年后将 值多少钱。事实上，任何一种到期日超过投资期限的证券都不是无风险资产。同样，任何一 种到期日早于投资期限的证券也不是无风险资产，因为在这种证券到期时，投资者面临着再 投资的问题，而投资者现在并不知道将来再投资时能获得多少再投资收益率。 综合以上两点可以看出，严格地说，只有到期日与投资期相等的国债才是无风险资产。 但在现实中，为方便起见，人们常将 1 年期的国库券或者货币市场基金当作无风险资产。 （二）允许无风险贷款下的投资组合 1．投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形 为了考察无风险贷款对有效集的影响，我们首先要分析由一种无风险资产和一种风险资 产组成的投资组合的预期收益率和风险。 假设风险资产和无风险资产在投资组合中的比例分别为 X1 和 X2，它们的预期收益率分 别为 1 − R 和 rf，它们的标准差分别等于 1 和 2 ，它们之间的协方差为 12 。根据 X1 和 X2 的 定义，我们有 X1+X2=1，且 X1、X2>0。根据无风险资产的定义，我们有 2 和 12 都等于 0
这样,根据式(8.12),我们可以算出该组合的预期收益率(R)为: Rp=∑XR=x1R+X2r (8.1) 根据式(8.13),我们可以算出该组合的标准差(G,)为: a=1∑∑x,x=Xa (8.2) 由上式可得 X,=1 (83) 将(8.3)代入(8.1)得: Ri-r 由于R1、r和G1已知,式(84)是线性函数,其中R-为单位风险报酬 ( Reward-to- variability),又称夏普比率( Sharpe' s Ratio)。由于X1、x2>0,因此式(84) 所表示的只是一个线段,如图8-3所示。在图8-3中,A点表示无风险资产,B点表示风险 资产,由这两种资产构成的投资组合的预期收益率和风险一定落在A、B这个线段上,因此 AB连线可以称为资产配置线。由于A、B线段上的组合均是可行的,因此允许风险贷款将 大大扩大大可行集的范围。 B 图8-3无风险资产和风险资产的组合 2.投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形 如果投资者投资于由一种无风险资产和一个风险资产组合组成的投资组合,情况又如何
139 这样，根据式（8.12），我们可以算出该组合的预期收益率 (R p ) − 为： = − − − = = + n i f i i Rp X R X R X r 1 2 1 1 （8.1） 根据式（8.13），我们可以算出该组合的标准差（ p ）为： 1 1 1 1 X X X n i n j p = i j ij = = = （8.2） 由上式可得： 1 1 p X = ， 1 2 1 P X = − （8.3） 将（8.3）代入（8.1）得： p f f p R r R r − = + − − 1 1 （8.4） 由于 1 − R 、rf 和 1 已知，式（8.4）是线性函 数，其中 1 1 f R − r − 为单位风险 报酬 （Reward-to-Variability）,又称夏普比率（Sharpe’s Ratio）。由于 X1、X2>0，因此式（8.4） 所表示的只是一个线段，如图 8-3 所示。在图 8-3 中，A 点表示无风险资产，B 点表示风险 资产，由这两种资产构成的投资组合的预期收益率和风险一定落在 A、B 这个线段上，因此 AB 连线可以称为资产配置线。由于 A、B 线段上的组合均是可行的，因此允许风险贷款将 大大扩大大可行集的范围。 RP B A P 图 8-3 无风险资产和风险资产的组合 2．投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形 如果投资者投资于由一种无风险资产和一个风险资产组合组成的投资组合，情况又如何
呢?假设风险资产组合B是由风险证券C和D组成的。根据第8章的分析可得,B一定位 于经过C、D两点的向上凸出的弧线上,如图8-4所示。如果我们仍用R1和O代表风险资 产组合的预期收益率和标准差,用X1代表该组合在整个投资组合中所占的比重,则式(8.1) 到(84)的结论同样适用于由无风险资产和风险资产组合构成的投资组合的情形。在图8-4 中,这种投资组合的预期收益率和标准差一定落在A、B线段上。 图8-4无风险资产和风险资产组合的组合 (三)无风险贷款对有效集的影响 引入无风险贷款后,有效集将发生重大变化。在图8-5中,弧线CD代表马科维茨有效 集,A点表示无风险资产。我们可以在马科维茨有效集中找到一点T,使AT直线与弧线CD 相切于T点。T点所代表的组合称为切点处投资组合。 RP 图8-5允许无风险贷款时的有效集 T点代表马科维茨有效集中众多的有效组合中的一个,但它却是一个很特殊的组合。因 为没有任何一种风险资产或风险资产组合与无风险资产构成的投资组合可以位于AT线段的 左上方。换句话说,AT线段的斜率最大,因此T点代表的组合被称为最优风险组合( Optimal Risky Portfolio) 从图8-5可以明显看出,引入AT线段后,CT弧线将不再是有效集。因为对于T点左
140 呢？假设风险资产组合 B 是由风险证券 C 和 D 组成的。根据第 8 章的分析可得，B 一定位 于经过 C、D 两点的向上凸出的弧线上，如图 8-4 所示。如果我们仍用 1 − R 和 1 代表风险资 产组合的预期收益率和标准差，用 X1 代表该组合在整个投资组合中所占的比重，则式（8.1） 到（8.4）的结论同样适用于由无风险资产和风险资产组合构成的投资组合的情形。在图 8-4 中，这种投资组合的预期收益率和标准差一定落在 A、B 线段上。 RP D B A C P 图 8-4 无风险资产和风险资产组合的组合 （三）无风险贷款对有效集的影响 引入无风险贷款后，有效集将发生重大变化。在图 8-5 中，弧线 CD 代表马科维茨有效 集，A 点表示无风险资产。我们可以在马科维茨有效集中找到一点 T，使 AT 直线与弧线 CD 相切于 T 点。T 点所代表的组合称为切点处投资组合。 RP T D C A P 图 8-5 允许无风险贷款时的有效集 T 点代表马科维茨有效集中众多的有效组合中的一个，但它却是一个很特殊的组合。因 为没有任何一种风险资产或风险资产组合与无风险资产构成的投资组合可以位于AT线段的 左上方。换句话说，AT 线段的斜率最大，因此 T 点代表的组合被称为最优风险组合（Optimal Risky Portfolio）。 从图 8-5 可以明显看出，引入 AT 线段后，CT 弧线将不再是有效集。因为对于 T 点左