第十二章远期和期货的定价 衍生金融工具的定价( Pricing)指的是确定衍生证券的理论价格,它既是市场参与者进行投机、 套期保值和套利的依据,也是银行对场外交易的衍生金融工具提供报价的依据。从第十二章至第十 章,我们将分别介绍远期、期货和期权这三种基本衍生金融工具的定价方法。更复杂的衍生金融工具 的定价可以据此推导出来 第一节远期价格和期货价格的关系 、基本的假设和符号 (一)基本的假设 为分析简便起见,本章的分析是建立在如下假设前提下的 1、没有交易费用和税收 2、市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金 3、远期合约没有违约风险 4、允许现货卖空行为 5、当套利机会出现时,市场参与者将参与套利活动,从而使套利机会消失,我们算出的理论价格 就是在没有套利机会下的均衡价格 6、期货合约的保证金帐户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期 货的多头和空头地位 (二)符号 本章将要用到的符号主要有: T:远期和期货合约的到期时间,单位为年。 t:现在的时间,单位为年。变量T和t是从合约生效之前的某个日期开始计算的,T一t代表远 期和期货合约中以年为单位表示的剩下的时间。 S:标的资产在时间t时的价格。 S:标的资产在时间T时的价格(在t时刻这个值是个未知变量) K:远期合约中的交割价格 f:远期合约多头在t时刻的价值 F:t时刻的远期合约和期货合约中标的资产的远期理论价格和期货理论价格,在本书中如无特别 注明,我们分别简称为远期价格和期货价格 r:T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率(年利率),在本章中,如无特别说明,利 率均为连续复利 远期价格和期货价格的关系 根据罗斯等美国著名经济学家证明0,当无风险利率恒定,且对所有到期日都不变时,交割日相同 的远期价格和期货价格应相等 但是,当利率变化无法预测时,远期价格和期货价格就不相等。至于两者谁高则取决于标的资产 E AE Cox, J C, J. E. Ingersoll, and S A. Ross, "The Relationship between Forward Prices and Future Prices nal of Financial Economics, ( December 1981), 321-46
1 第十二章 远期和期货的定价 衍生金融工具的定价（Pricing）指的是确定衍生证券的理论价格，它既是市场参与者进行投机、 套期保值和套利的依据，也是银行对场外交易的衍生金融工具提供报价的依据。从第十二章至第十三 章，我们将分别介绍远期、期货和期权这三种基本衍生金融工具的定价方法。更复杂的衍生金融工具 的定价可以据此推导出来。 第一节 远期价格和期货价格的关系 一、基本的假设和符号 （一）基本的假设 为分析简便起见，本章的分析是建立在如下假设前提下的： 1、没有交易费用和税收。 2、市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。 3、远期合约没有违约风险。 4、允许现货卖空行为。 5、当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，我们算出的理论价格 就是在没有套利机会下的均衡价格。 6、期货合约的保证金帐户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期 货的多头和空头地位。 （二）符号 本章将要用到的符号主要有： T：远期和期货合约的到期时间，单位为年。 t：现在的时间 ，单位为年。变量 T 和 t 是从合约生效之前的某个日期开始计算的，T－t 代表远 期和期货合约中以年为单位表示的剩下的时间。 S：标的资产在时间 t 时的价格。 ST：标的资产在时间 T 时的价格（在 t 时刻这个值是个未知变量）。 K：远期合约中的交割价格。 f：远期合约多头在 t 时刻的价值。 F：t 时刻的远期合约和期货合约中标的资产的远期理论价格和期货理论价格，在本书中如无特别 注明，我们分别简称为远期价格和期货价格。 r：T 时刻到期的以连续复利计算的 t 时刻的无风险利率（年利率），在本章中，如无特别说明，利 率均为连续复利。 二、远期价格和期货价格的关系 根据罗斯等美国著名经济学家证明，当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时，交割日相同 的远期价格和期货价格应相等。 但是，当利率变化无法预测时，远期价格和期货价格就不相等。至于两者谁高则取决于标的资产 参见 Cox，J.C., J.E.Ingersoll，and S.A.Ross，“The Relationship between Forward Prices and Future Prices”， Journal of Financial Economics，（December 1981），321—46
价格与利率的相关性 当标的资产价格与利率呈正相关时,期货价格高于远期价格。这是因为当标的资产价格上升时, 期货价格通常也会随之升高,期货合约的多头将因每日结算制而立即获利,并可按高于平均利率的利 率将所获利润进行再投资。而当标的资产价格下跌时,期货合约的多头将因每日结算制而立即亏损, 而他可按低于平均利率的利率从市场上融资以补充保证金。相比之下,远期合约的多头将不会因利率 的变动而受到上述影响。因此在此情况下,期货多头比远期多头更具吸引力,期货价格自然就大于远 期价格 相反,当标的资产价格与利率呈负相关性时,远期价格就会高于期货价格。 远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有效期的长短。当有效期只有几个月时,两者的差 距通常很小。 此外,税收、交易费用、保证金的处理方式、违约风险、流动性等方面的因素或差异都会导致远 期价格和期货价格的差异 在现实生活中,由于远期和期货价格与利率的相关性很低,以致期货和远期价格的差别可以忽略 不计。在估计外汇期货和远期之间的合理差价时,康奈尔和莱因格纳发现盯市所带来的收益太小了, 以至于远期和期货价格几乎没有区别。因此在大多数情况下,我们仍可以合理地假定远期价格与期货 价格相等,并都用F来表示。在以下的分析中,对远期合约的定价同样适用于期货合约 第二节无收益资产远期合约的定价 无收益资产是指在到期日前不产生现金流的资产,如贴现债券。 无套利定价法 本章所用的定价方法为无套利定价法。其基本思路为:构建两种投资组合,让其终值相等,则其 现值一定相等;否则的话,就可以进行套利,即卖出现值较高的投资组合,买入现值较低的投资组合, 并持有到期末,套利者就可赚取无风险收益。众多套利者这样做的结果,将使较高现值的投资组合价 格下降,而较低现值的投资组合价格上升,直至套利机会消失,此时两种组合的现值相等。这样,我 们就可根据两种组合现值相等的关系求出远期价格。 例如,为了给无收益资产的远期定价我们可以构建如下两种组合: 组合A:一份远期合约多头加上一笔数额为Ke的现金: 组合B:一单位标的资产 在组合A中,Ke-的现金以无风险利率投资,投资期为(T-t)。到T时刻,其金额将达到K。 这是因为:Ke-e(-=K 在远期合约到期时,这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。这样,在T时刻,两种组合 都等于一单位标的资产。由此我们可以断定,这两种组合在t时刻的价值相等。即 (12.1) 公式(12.1)表明,无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的 额。或者说,一单位无收益资产远期合约多头可由一单、位标的资产多头和Ke单位无风险负债组 成 本书所附光盘中有计算远期合约价值的软件。 二、现货-远期平价定理 A Cornell, Brad ford and Marc R. Reinganum, Forward and Futures prices Evi dence from the 该合约规定多头在到期日可按交割价格K购买一单位标的资产
2 价格与利率的相关性。 当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。这是因为当标的资产价格上升时， 期货价格通常也会随之升高，期货合约的多头将因每日结算制而立即获利，并可按高于平均利率的利 率将所获利润进行再投资。而当标的资产价格下跌时，期货合约的多头将因每日结算制而立即亏损， 而他可按低于平均利率的利率从市场上融资以补充保证金。相比之下，远期合约的多头将不会因利率 的变动而受到上述影响。因此在此情况下，期货多头比远期多头更具吸引力，期货价格自然就大于远 期价格。 相反，当标的资产价格与利率呈负相关性时，远期价格就会高于期货价格。 远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有效期的长短。当有效期只有几个月时，两者的差 距通常很小。 此外，税收、交易费用、保证金的处理方式、违约风险、流动性等方面的因素或差异都会导致远 期价格和期货价格的差异。 在现实生活中，由于远期和期货价格与利率的相关性很低，以致期货和远期价格的差别可以忽略 不计。在估计外汇期货和远期之间的合理差价时，康奈尔和莱因格纳②发现盯市所带来的收益太小了, 以至于远期和期货价格几乎没有区别。因此在大多数情况下，我们仍可以合理地假定远期价格与期货 价格相等，并都用 F 来表示。在以下的分析中，对远期合约的定价同样适用于期货合约。 第二节 无收益资产远期合约的定价 无收益资产是指在到期日前不产生现金流的资产，如贴现债券。 一、无套利定价法 本章所用的定价方法为无套利定价法。其基本思路为：构建两种投资组合，让其终值相等，则其 现值一定相等；否则的话，就可以进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合， 并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。众多套利者这样做的结果，将使较高现值的投资组合价 格下降，而较低现值的投资组合价格上升，直至套利机会消失，此时两种组合的现值相等。这样，我 们就可根据两种组合现值相等的关系求出远期价格。 例如，为了给无收益资产的远期定价我们可以构建如下两种组合： 组合 A：一份远期合约③多头加上一笔数额为 Ke-r（T－t）的现金； 组合 B：一单位标的资产。 在组合 A 中，Ke-r（T－t）的现金以无风险利率投资，投资期为（T－t）。到 T 时刻，其金额将达到 K。 这是因为：Ke-r（T－t） e r（T－t） =K 在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。这样，在 T 时刻，两种组合 都等于一单位标的资产。由此我们可以断定，这两种组合在 t 时刻的价值相等。即： f+ Ke-r（T－t） =S f=S－Ke-r（T－t） （12.1） 公式（12.1）表明，无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差 额。或者说,一单位无收益资产远期合约多头可由一单、位标的资产多头和 Ke-r（T－t）单位无风险负债组 成。 本书所附光盘中有计算远期合约价值的软件。 二、现货-远期平价定理 ② Cornell, Bradford and Marc R. Reinganum, “Forward and Futures Prices: Evidence from the Foreign Exchange Markets”, Journal of Finance 36(Dec., 1981). ③该合约规定多头在到期日可按交割价格 K 购买一单位标的资产
由于远期价格(F)就是使合约价值(f)为零的交割价格(K),即当f=0时,K=F。据此可以令(12.1) 式中f=0,则 F=Se(r-t) (12.2) 这就是无收益资产的现货-远期平价定理(Spot- Forward Parity Theorem),或称现货期货平价定 理(Spot- Futures Parity Theorem)。式(12.2)表明,对于无收益资产而言,远期价格等于其标的资 产现货价格的终值 本书所附光盘中有计算现货远期平价的软件。 为了证明公式(12.2),我们用反证法证明等式不成立时的情形是不均衡的。 Q设F,即交割价格大于现货价格的终值。在这种情况下,套利者可以按无风险利率r借 现金,期限为T-t。然后用S购买一单位标的资产,同时卖出一份该资产的远期合约,交割价格 为F。在T时刻,该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来F现金,并归还借款本息Se,这 就实现了FSe=)的无风险利润。 若F<Ser-,即交割价值小于现货价格的终值。套利者就可进行反向操作,即卖空标的资产 将所得收入以无风险利率进行投资,期限为T-t,同时买进一份该标的资产的远期合约,交割价为F。 在T时刻,套利者收到投资本息Se-,并以F现金购买一单位标的资产,用于归还卖空时借入的标 的资产,从而实现Se--F的利润。 利用公式(12.1),我们可计算现有无收益证券远期合约的价值。 例12.1 设一份标的证券为一年期贴现债券、剩余期限为6个月的远期合约多头,其交割价格为$960,6 个月期的无风险年利率(连续复利)为6%,该债券的现价为$940。则根据公式(12.1),我们可以算出 该远期合约多头的价值为 f=940-960e050.0=$8.48 利用公式(12.2),我们可以算出无收益证券的远期合约中合理的交割价格。 例12.2 假设一年期的贴现债券价格为$960,3个月期无风险年利率为5%,则3个月期的该债券远期合约 的交割价格应为 F=960e005×025=s972 、远期价格的期限结构 远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之间的关系。设F为在T时刻交割的远期价格 F为在T时刻交割的远期价格,r为T时刻到期的无风险利率,r为T时刻到期的无风险利率,为T到 T时刻的无风险远期利率。对于无收益资产而言,从公式(12.2)可知, F=Se 两式相除消掉S后, F=Fe(r-t)-r(r-t) 根据公式(5.7),我们可以得到不同期限远期价格之间的关系: F=Fe 读者可以运用相同的方法,推导出支付已知现金收益资产和支付己知红利率资产的不同期限远期 价格之间的关系
3 由于远期价格（F）就是使合约价值（f）为零的交割价格（K），即当 f=0 时，K=F。据此可以令（12.1） 式中 f=0，则 F=Ser（T－t） （12.2 ） 这就是无收益资产的现货-远期平价定理（Spot-Forward Parity Theorem），或称现货期货平价定 理(Spot-Futures Parity Theorem)。式（12.2）表明，对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资 产现货价格的终值。 本书所附光盘中有计算现货-远期平价的软件。 为了证明公式（12.2），我们用反证法证明等式不成立时的情形是不均衡的。 假设 F>Ser（T－t），即交割价格大于现货价格的终值。在这种情况下，套利者可以按无风险利率 r 借 入 S 现金，期限为 T－t。然后用 S 购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格 为 F。在 T 时刻，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来 F 现金，并归还借款本息 Se r（T－t），这 就实现了 F－Ser（T－t） 的无风险利润。 若 F<Se r（T－t），即交割价值小于现货价格的终值。套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产， 将所得收入以无风险利率进行投资，期限为 T-t，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价为 F。 在 T 时刻，套利者收到投资本息 Ser（T－t），并以 F 现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标 的资产，从而实现 Ser（T－t） -F 的利润。 利用公式（12.1），我们可计算现有无收益证券远期合约的价值。 例 12.1 设一份标的证券为一年期贴现债券、剩余期限为 6 个月的远期合约多头，其交割价格为$960，6 个月期的无风险年利率（连续复利）为 6%，该债券的现价为$940。则根据公式（12.1），我们可以算出 该远期合约多头的价值为： f=940-960e-0.50.06=$8.48 利用公式（12.2），我们可以算出无收益证券的远期合约中合理的交割价格。 例 12.2 假设一年期的贴现债券价格为$960，3 个月期无风险年利率为 5%，则 3 个月期的该债券远期合约 的交割价格应为： F=960e0.050.25=$972 三、远期价格的期限结构 远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之间的关系。设 F 为在 T 时刻交割的远期价格， F *为在 T *时刻交割的远期价格, r 为 T 时刻到期的无风险利率,r *为 T *时刻到期的无风险利率,r ˆ 为 T 到 T *时刻的无风险远期利率。对于无收益资产而言，从公式（12.2）可知, F=Ser（T－t） * ( ) * * r T t F Se − = 两式相除消掉 S 后, * ( ) ( ) * * r T t r T t F Fe − − − = 根据公式（5.7）, 我们可以得到不同期限远期价格之间的关系： * ˆ( ) * r T T F Fe − = (12.3) 读者可以运用相同的方法,推导出支付已知现金收益资产和支付已知红利率资产的不同期限远期 价格之间的关系
第三节支付已知现金收益资产远期合约的定价 、支付已知现金收益资产远期合约定价的一般方法 支付已知现金收益的资产是指在到期前会产生完全可预测的现金流的资产,如附息债券和支付已 知现金红利的股票。黄金、白银等贵金属本身不产生收益,但需要花费一定的存储成本,存储成本可 看成是负收益。我们令已知现金收益的现值为I,对黄、白银来说,Ⅰ为负值。 为了给支付已知现金收益资产的远期定价,我们可以构建如下两个组合: 组合A:一份远期合约多头加上一笔数额为Ke的现金 组合B:一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为从现在到现金收益派发日、本金为I的 负债 从上节可知,组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。在组合B中,由于标的证券的收益刚 好可以用来偿还负债的本息,因此在T时刻,该组合的价值也等于一单位标的证券。因此,在t时刻, 这两个组合的价值应相等,即 f+ Ke(-=s-I f=S-I- Ke-r (r-t) (12.4) 公式(12.4)表明,支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等于标的证券现货价格扣除现金 收益现值后的余额与交割价格现值之差。或者说,一单位支付已知现金收益资产的远期合约多头可由 单位标的资产和I+Ker-1单位无风险负债构成 例12.3 假设6个月期和12个月期的无风险年利率分别为9%和10%,而一种十年期债券现货价格为990元, 该证券一年期远期合约的交割价格为1001元,该债券在6个月和12个月后都将收到$60的利息,且第 二次付息日在远期合约交割日之前,求该合约的价值 根据已知条件,我们可以先算出该债券已知现金收益的现值: Ⅰ=60c-0.0905+60e0u=11.65元 根据公式(12.4),我们可算出该远期合约多头的价值为 f=990-111.65-100le 27.39元 相应地,该合约空头的价值为27.39元。 根据F的定义,我们可从公式(12.4)中求得: F=(S-De(T-t (12.5) 这就是支付已知现金收益资产的现货远期平价公式。公式(12.5)表明,支付已知现金收益资产 的远期价格等于标的证券现货价格与已知现金收益现货差额的终值。 例12.4 假设黄金的现价为每盎司450美元,其存储成本为每年每盎司2美元,在年底支付,无风险年利 率为7%。则一年期黄金远期价格为 F=(450-1)e0x 其中,I=-2e0x=-1.865,故:
4 第三节 支付已知现金收益资产远期合约的定价 一、支付已知现金收益资产远期合约定价的一般方法 支付已知现金收益的资产是指在到期前会产生完全可预测的现金流的资产，如附息债券和支付已 知现金红利的股票。黄金、白银等贵金属本身不产生收益，但需要花费一定的存储成本，存储成本可 看成是负收益。我们令已知现金收益的现值为 I，对黄、白银来说，I 为负值。 为了给支付已知现金收益资产的远期定价，我们可以构建如下两个组合： 组合 A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke-r（T－t）的现金; 组合 B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为从现在到现金收益派发日 、本金为 I 的 负债。 从上节可知，组合 A 在 T 时刻的价值等于一单位标的证券。在组合 B 中，由于标的证券的收益刚 好可以用来偿还负债的本息，因此在 T 时刻，该组合的价值也等于一单位标的证券。因此，在 t 时刻， 这两个组合的价值应相等，即： f+ Ke-r（T－t） =S-I f=S-I- Ke-r（T－t） （12.4） 公式（12.4）表明，支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等于标的证券现货价格扣除现金 收益现值后的余额与交割价格现值之差。或者说，一单位支付已知现金收益资产的远期合约多头可由 一单位标的资产和 I+Ke-r（T－t）单位无风险负债构成。 例 12.3 假设 6 个月期和 12 个月期的无风险年利率分别为 9%和 10%，而一种十年期债券现货价格为 990 元， 该证券一年期远期合约的交割价格为 1001 元，该债券在 6 个月和 12 个月后都将收到$60 的利息，且第 二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约的价值。 根据已知条件，我们可以先算出该债券已知现金收益的现值： I=60e-0.090.5+60e-0.101 =111.65 元 根据公式（12.4），我们可算出该远期合约多头的价值为： f=990-111.65-1001e-0.11 =-$27.39 元 相应地，该合约空头的价值为 27.39 元。 根据 F 的定义，我们可从公式（12.4）中求得： F=(S-I)er（T－t） （12.5） 这就是支付已知现金收益资产的现货-远期平价公式。公式（12.5）表明，支付已知现金收益资产 的远期价格等于标的证券现货价格与已知现金收益现货差额的终值。 例 12.4 假设黄金的现价为每盎司 450 美元，其存储成本为每年每盎司 2 美元，在年底支付，无风险年利 率为 7%。则一年期黄金远期价格为： F=(450-I)e0.071 其中,I=-2e-0.071 =-1.865，故：
F=(450+1.865)×e0=484.6美元/盎司 我们同样可以用反证法来证明公式(12.5) 首先假设F>(S-I)er(-,即交割价格高于远期理论价格。这样,套利者就可以借入现金S,买入 标的资产,并卖出一份远期合约,交割价为F。这样在T时刻,他需要还本付息Se(-",同时他将在 T-t期间从标的资产获得的现金收益以无风险利率贷出,从而在T时刻得到Ie"的本利收入。此外, 他还可将标的资产用于交割,得到现金收入F。这样,他在T时刻可实现无风险利润F-(S-1)er- 其次再假设F<(S-D)e(-",即交割价格低于远期理论价格。这时,套利者可以借入标的资产卖掉 得到现金收入以无风险利率贷出,同时买入一份交割价为F的远期合约。在T时刻,套利者可得到贷 款本息收入Se'-,同时付出现金F换得一单位标的证券,用于归还标的证券的原所有者,并把该标 的证券在Tt期间的现金收益的终值Ie)同时归还原所有者。这样,该套利者在T时刻可实现无 风险利润(S-T)e--F 从以上分析可以看出,当公式(12.5)不成立时,市场就会出现套利机会,套利者的套利行为将 促成公式(12.5)成立。 二、中长期国债期货的定价 中长期国债属附息票债券,属支付已知现金收益的证券,因此公式(12.4)和(12.5)适用于中 长期国债期货的定价。只是由于其报价和交割制度的特殊性,使这些公式的运用较为复杂而已。 以下我们以美国芝加哥交易所的长期国债期货为例来说明其定价问题,其结论也适用于中期国债 期货 (一)长期国债现货和期货的报价与现金价格的关系 长期国债期货的报价与现货一样,以美元和32分之一美元报出,所报价格是100美元面值债券的 价格,由于合约规模为面值10万美元,因此90-25的报价意味着面值10万美元的报价是90,781.25 美元。 应该注意的是,报价与购买者所支付的现金价格( Cash price)是不同的。现金价格与报价的关 系为: 现金价格=报价+上一个付息日以来的累计利息 (12.6) 例如,假设现在是1999年11月5日,2016年8月15日到期,息票利率为12%的长期国债的报价 为94-—28(即94.875)。由于美国政府债券均为半年付一次利息,从到期日可以判断,上次付息日是 1999年8月15日,下一次付息日是2000年2月15日。由于1999年8月15到11月5日之间的天数 为82天,1999年11月5日到2000年2月15日之间的天数为102天,因此累计利息等于: 6美元 l84=2674美元 该国债的现金价格为 94.875美元+2.674美元=97.549美元 (二)交割券与标准券的转换因子 芝加哥交易所规定,空头方可以选择期限长于15年且在15年内不可赎回的任何国债用于交割 由于各种债券息票率不同,期限也不同,因此芝加哥交易所规定交割的标准券为期限15年、息票率为 8%的国债,其它券种均得按一定的比例折算成标准券。这个比例称为转换因子( Conversion factor) 转换因子等于面值为100美元的各债券的现金流按8%的年利率(每半年计复利一次)贴现到交割月第 天的价值,再扣掉该债券累计利息后的余额。在计算转换因子时,债券的剩余期限只取3个月的整 数倍,多余的月份舍掉。如果取整数后,债券的剩余期限为半年的倍数,就假定下一次付息是在6个 月之后,否则就假定在3个月后付息,并从贴现值中扣掉累计利息,以免重复计算。转换因子由交易 所计算并公布 算出转换因子后,我们就可算出空方交割100美元面值的债券应收到的现金 由于在卖空交易中,借入证券只借入该证券的使用权而未借入所用权,故该证券的收益归原所有者 ③期货的现金价格就是我们以前所说的期货价格。 因为中长期期国债期货的空头可选择在交割月任意一天交割
5 F=(450+1.865)e 0.07=484.6 美元/盎司 我们同样可以用反证法来证明公式（12.5）。 首先假设 F>(S-I)e r（T－t），即交割价格高于远期理论价格。这样，套利者就可以借入现金 S，买入 标的资产，并卖出一份远期合约，交割价为 F。这样在 T 时刻，他需要还本付息 Ser（T－t），同时他将在 T-t 期间从标的资产获得的现金收益以无风险利率贷出，从而在 T 时刻得到 Ier（T－t）的本利收入。此外， 他还可将标的资产用于交割，得到现金收入 F。这样，他在 T 时刻可实现无风险利润 F-(S-I)e r（T－t）。 其次再假设 F<(S-I)er（T－t），即交割价格低于远期理论价格。这时，套利者可以借入标的资产卖掉， 得到现金收入以无风险利率贷出，同时买入一份交割价为 F 的远期合约。在 T 时刻，套利者可得到贷 款本息收入 Ser（T－t），同时付出现金 F 换得一单位标的证券，用于归还标的证券的原所有者，并把该标 的证券在 T-t 期间的现金收益的终值 Ier（T－t）同时归还原所有者④。这样，该套利者在 T 时刻可实现无 风险利润(S-T)er（T－t） -F。 从以上分析可以看出，当公式（12.5）不成立时，市场就会出现套利机会，套利者的套利行为将 促成公式（12.5）成立。 二、中长期国债期货的定价 中长期国债属附息票债券，属支付已知现金收益的证券，因此公式（12.4）和（12.5）适用于中 长期国债期货的定价。只是由于其报价和交割制度的特殊性，使这些公式的运用较为复杂而已。 以下我们以美国芝加哥交易所的长期国债期货为例来说明其定价问题，其结论也适用于中期国债 期货。 （一）长期国债现货和期货的报价与现金价格的关系 长期国债期货的报价与现货一样，以美元和 32 分之一美元报出，所报价格是 100 美元面值债券的 价格，由于合约规模为面值 10 万美元，因此 90—25 的报价意味着面值 10 万美元的报价是 90，781.25 美元。 应该注意的是，报价与购买者所支付的现金价格（Cash Price）是不同的。现金价格⑤与报价的关 系为： 现金价格=报价+上一个付息日以来的累计利息 （12.6） 例如，假设现在是 1999 年 11 月 5 日，2016 年 8 月 15 日到期，息票利率为 12%的长期国债的报价 为 94—28（即 94.875）。由于美国政府债券均为半年付一次利息，从到期日可以判断，上次付息日是 1999 年 8 月 15 日，下一次付息日是 2000 年 2 月 15 日。由于 1999 年 8 月 15 到 11 月 5 日之间的天数 为 82 天，1999 年 11 月 5 日到 2000 年 2 月 15 日之间的天数为 102 天，因此累计利息等于： 美元 2.674美元 184 82 6 = 该国债的现金价格为： 94.875 美元+2.674 美元=97.549 美元 （二）交割券与标准券的转换因子 芝加哥交易所规定，空头方可以选择期限长于 15 年且在 15 年内不可赎回的任何国债用于交割。 由于各种债券息票率不同，期限也不同，因此芝加哥交易所规定交割的标准券为期限 15 年、息票率为 8%的国债，其它券种均得按一定的比例折算成标准券。这个比例称为转换因子（Conversion Factor ）。 转换因子等于面值为 100 美元的各债券的现金流按 8%的年利率（每半年计复利一次）贴现到交割月第 一天⑥的价值，再扣掉该债券累计利息后的余额。在计算转换因子时，债券的剩余期限只取 3 个月的整 数倍，多余的月份舍掉。如果取整数后，债券的剩余期限为半年的倍数，就假定下一次付息是在 6 个 月之后，否则就假定在 3 个月后付息，并从贴现值中扣掉累计利息，以免重复计算。转换因子由交易 所计算并公布。 算出转换因子后，我们就可算出空方交割 100 美元面值的债券应收到的现金： ④由于在卖空交易中，借入证券只借入该证券的使用权而未借入所用权，故该证券的收益归原所有者。 ⑤ 期货的现金价格就是我们以前所说的期货价格。 ⑥ 因为中长期期国债期货的空头可选择在交割月任意一天交割