边的有效集而言,在预期收益率相等的情况下,AT线段上风险均小于马科维茨有效集上组 合的风险,而在风险相同的情况下,AT线段上的预期收益率均大于马科维茨有效集上组合 的预期收益率。按照有效集的定义,T点左边的有效集将不再是有效集。由于AT线段上的 组合是可行的,因此引入无风险贷款后,新的有效集由AT线段和TD弧线构成。 我们举个例子来说明如何确定最优风险组合和有效边界。假设市场上有A、B两种证券 其预期收益率分别为8%和13%,标准差分别为12%和20%。A、B两种证券的相关系数为0.3 市场无风险利率为5%。某投资者决定用这两只证券组成最优风险组合。 从图8-5可以看出,最优风险组合实际上是使无风险资产(A点)与风险资产组合的连 线斜率(即A-n)最大的风险资产组合,其中R和分别代表风险资产组合的预期收益 率和标准差,r表示无风险利率。我们的目标是求Max R一。其中 R=XA RA+XBR B 01=X04+XBoB+2XXBPo OB 约東条件是:ⅩA+XB=1。这是标准的求极值问题。通过将目标函数对XA求偏导并另偏导等 于0,我们就可以求出最优风险组合的权重解如下 (-r如2-(R rr poao B -+(一-(R-r+R- (8.5) XB=1-XA 将数据代进去,就可得到最优风险组合的权重为: (008-005)×022-(0.13-005)×03×0.12×02 (008-005)×022+(0.13-005)×012-(008-005+0.13-005)×03×0.12×0 XB=1-04=0.6 该最优组合的预期收益率和标准差分别为: R1=0.4×0.08+0.6×0.13=11% 1=042×0.12+062×02+2×04×06×03×012×02)=142% 该最优风险组合的单位风险报酬=(11%-5%)/42%=042 有效边界的表达式为 p=5%+042o 本书所附的光盘中的Exce模板(标题为第8章两证券模型)则用另一种办法根据两 个风险资产的预期收益率、标准差和相关系数以及无风险利率的数据找出有效边界。 (四)无风险贷款对投资组合选择的影响 对于不同的投资者而言,无风险贷款的引入对他们的投资组合选择有不同的影响 对于厌恶风险程度较轻,从而其选择的投资组合位于DT弧线上的投资者而言,其投资 组合的选择将不受影响。因为只有DT弧线上的组合才能获得最大的满足程度。如图8-6(a) 所示。对于该投资者而言,他仍将把所有资金投资于风险资产,而不会把部分资金投资于无 风险资产
141 边的有效集而言，在预期收益率相等的情况下，AT 线段上风险均小于马科维茨有效集上组 合的风险，而在风险相同的情况下，AT 线段上的预期收益率均大于马科维茨有效集上组合 的预期收益率。按照有效集的定义，T 点左边的有效集将不再是有效集。由于 AT 线段上的 组合是可行的，因此引入无风险贷款后，新的有效集由 AT 线段和 TD 弧线构成。 我们举个例子来说明如何确定最优风险组合和有效边界。假设市场上有 A、B 两种证券， 其预期收益率分别为 8%和 13%，标准差分别为 12%和 20%。A、B 两种证券的相关系数为 0.3。 市场无风险利率为 5%。某投资者决定用这两只证券组成最优风险组合。 从图 8-5 可以看出，最优风险组合实际上是使无风险资产（A 点）与风险资产组合的连 线斜率（即 1 1 f R − r − ）最大的风险资产组合，其中 R1和1 分别代表风险资产组合的预期收益 率和标准差，rf表示无风险利率。我们的目标是求 1 1 f X ，X R r Max A B − 。其中： R 1=XA R A+XB R B XA A XB B 2XA XB A B 2 2 2 2 2 1 = + + 约束条件是：XA+XB=1。这是标准的求极值问题。通过将目标函数对 XA 求偏导并另偏导等 于 0，我们就可以求出最优风险组合的权重解如下： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A f B B f A A f B f A B A f B B f A B A R r R r R r R r R r R r X − + − − − + − − − − = 2 2 2 （8.5） XB=1-XA (8.6) 将数据代进去，就可得到最优风险组合的权重为： ( ) ( ) (0.08 0.05) 0.2 (0.13 0.05) 0.12 (0.08 0.05 0.13 0.05) 0.3 0.12 0.2 0.08 0.05 0.2 0.13 0.05 0.3 0.12 0.2 2 2 2 − + − − − + − − − − X A = =0.4 XB=1-0.4=0.6 该最优组合的预期收益率和标准差分别为： (0.4 0.12 0.6 0.2 2 0.4 0.6 0.3 0.12 0.2) 14.2% 0.4 0.08 0.6 0.13 11% 2 2 2 2 1 1 = + + = = + = R 该最优风险组合的单位风险报酬=（11%-5%）/14.2%=0.42 有效边界的表达式为： p Rp = 5% + 0.42 − 本书所附的光盘中的 Excel 模板（标题为第 8 章 两证券模型）则用另一种办法根据两 个风险资产的预期收益率、标准差和相关系数以及无风险利率的数据找出有效边界。 （四）无风险贷款对投资组合选择的影响 对于不同的投资者而言，无风险贷款的引入对他们的投资组合选择有不同的影响。 对于厌恶风险程度较轻，从而其选择的投资组合位于 DT 弧线上的投资者而言，其投资 组合的选择将不受影响。因为只有 DT 弧线上的组合才能获得最大的满足程度。如图 8-6（a） 所示。对于该投资者而言，他仍将把所有资金投资于风险资产，而不会把部分资金投资于无 风险资产
R A C 图8-6无风险贷款下的投资组合选择 对于较厌恶风险的投资者而言,由于代表其原来最大满足程度的无差异曲线I与A线 段相交,因此不再符合效用最大化的条件。因此该投资者将选择其无差异曲线与AT线段相 切O所代表的投资组合,如图8-6(b)所示。对于该投资者而言,他将把部分资金投资于 风险资产,而把另一部分资金投资于无风险资产 我们再举个例子说明投资者如何根据自己的投资效用函数来进行最优的资产配置。继续 前面的例子。投资者面临的最优风险组合的预期收益率(R)和标准差(a1)分别为11% 和142%。市场无风险利率(r)为5%某投资者的投资效用函数(U)为 Rp-=Ac 其中A表示风险厌恶系数,R和σ分别表示整个投资组合(包括无风险资产和最优风险 组合)的预期收益率和标准差,它们分别等于:
142 RP I3 I2 I1 D O T C A P （a） RP I3 I2 I1 D T O O C P （b） 图 8-6 无风险贷款下的投资组合选择 对于较厌恶风险的投资者而言，由于代表其原来最大满足程度的无差异曲线 I1 与 AT 线 段相交，因此不再符合效用最大化的条件。因此该投资者将选择其无差异曲线与 AT 线段相 切 O 所代表的投资组合，如图 8-6（b）所示。对于该投资者而言，他将把部分资金投资于 风险资产，而把另一部分资金投资于无风险资产。 我们再举个例子说明投资者如何根据自己的投资效用函数来进行最优的资产配置。继续 前面的例子。投资者面临的最优风险组合的预期收益率（ R1 ）和标准差（ 1 ）分别为 11% 和 14.2%。市场无风险利率（rf）为 5%。某投资者的投资效用函数（U）为： 2 2 1 U = RP − A P 其中 A 表示风险厌恶系数， 2 RP和 P 分别表示整个投资组合（包括无风险资产和最优风险 组合）的预期收益率和标准差，它们分别等于：
R=(-y+ 其中y表示投资者分配给最优风险组合的投资比例。投资者的目标是通过选择最优的资产配 置比例y来使他的投资效用最大化。将R和G代入投资效用函数中,我们可以把这个问题 写成如下的数学表达式 MaxU=(1-y+地R-0.54y 将上式对y求偏导并令其等于0,我们就可以得到最优的资产配置比例y’ R (87) A 如果该投资者的风险厌恶系数A=4,则其y=(115%)(4×142%)=07439。也就是说, 该投资者应将7439%的资金投入最优风险组合,2561%投入无风险资产。这样他的整个投 资组合的预期收益率为946%(=02561×5%+0.7439×11%),标准差为10.56%(=0.7439 14.2%)。显然,这种资产配置的效果是不错的。 无风险借款对有效集的影响 (一)允许无风险借款下的投资组合 在推导马科维茨有效集的过程中,我们假定投资者可以购买风险资产的金额仅限于他期 初的财富。然而,在现实生活中,投资者可以借入资金并用于购买风险资产。由于借款必须 支付利息,而利率是已知的。在该借款本息偿还上不存在不确定性。因此我们把这种借款称 为无风险借款 为了分析方便起见,我们假定投资者可按相同的利率进行无风险借贷 1.无风险借款并投资于一种风险资产的情形 为了考察无风险借款对有效集的影响,我们首先分析投资者进行无风险借款并投资于一 种风险资产的情形。为此,我们只要对上一节的推导过程进行适当的扩展即可。 我们可以把无风险借款看成负的投资,则投资组合中风险资产和无风险借款的比例也可 用X1和X2表示,且X1+X2=1,X1>1,X2<0。这样,式(8.1)到(84)也完全适用于无风 险借款的情形。由于X1>1,X2<0,因此式(84)在图上表现为AB线段向右边的延长线上, 如图8-7所示。这个延长线再次大大扩展了可行集的范围 R
143 ( ) 2 1 2 2 1 1 y R y r yR P P f = = − + 其中 y 表示投资者分配给最优风险组合的投资比例。投资者的目标是通过选择最优的资产配 置比例 y 来使他的投资效用最大化。将 2 RP和 P 代入投资效用函数中，我们可以把这个问题 写成如下的数学表达式： ( ) 2 1 2 MaxU 1 y rf yR1 0.5Ay y = − + − 将上式对 y 求偏导并令其等于 0，我们就可以得到最优的资产配置比例 y *： 2 1 * 1 A R r y − f = （8.7） 如果该投资者的风险厌恶系数 A=4，则其 y *=(11%-5%)/(4×14.2%2 )=0.7439。也就是说， 该投资者应将 74.39%的资金投入最优风险组合，25.61%投入无风险资产。这样他的整个投 资组合的预期收益率为 9.46%（=0.2561×5%+0.7439×11%），标准差为 10.56%（=0.7439× 14.2%）。显然，这种资产配置的效果是不错的。 二、无风险借款对有效集的影响 （一） 允许无风险借款下的投资组合 在推导马科维茨有效集的过程中，我们假定投资者可以购买风险资产的金额仅限于他期 初的财富。然而，在现实生活中，投资者可以借入资金并用于购买风险资产。由于借款必须 支付利息，而利率是已知的。在该借款本息偿还上不存在不确定性。因此我们把这种借款称 为无风险借款。 为了分析方便起见，我们假定投资者可按相同的利率进行无风险借贷。 1．无风险借款并投资于一种风险资产的情形 为了考察无风险借款对有效集的影响，我们首先分析投资者进行无风险借款并投资于一 种风险资产的情形。为此，我们只要对上一节的推导过程进行适当的扩展即可。 我们可以把无风险借款看成负的投资，则投资组合中风险资产和无风险借款的比例也可 用 X1 和 X2 表示，且 X1+X2=1，X1>1，X2<0。这样，式（8.1）到（8.4）也完全适用于无风 险借款的情形。由于 X1>1，X2<0，因此式（8.4）在图上表现为 AB 线段向右边的延长线上， 如图 8-7 所示。这个延长线再次大大扩展了可行集的范围。 RP B A P
图8-7无风险借款和风险资产的组合 2.无风险借款并投资于风险资产组合的情形 同样,由无风险借款和风险资产组合构成的投资组合,其预期收益率和风险的关系与由 无风险借款和一种风险资产构成的投资组合相似 我们仍假设风险资产组合B是由风险证券和C和D组成的,则由风险资产组合B和无 风险借款A构成的投资组合的预期收益率和标准差一定落在AB线段向右边的延长线上, 如图8-8所示。 R 图8-8无风险借款和风险组合的组合 (二)无风险借款对有效集的影响 引入无风险借款后,有效集也将发生重大变化。在图8-9中,弧线CD仍代表马科维茨 有效集,T点仍表示CD弧线与过A点直线的相切点。在允许无风险借款的情形下,投资者 可以通过无风险借款并投资于最优风险资产组合T使有效集由TD弧线变成AT线段向右边 的延长线 A C 图8-9允许无风险借款时的有效集 这样,在允许无风险借贷的情况下,马科维茨有效集由CID弧线变成过A、T点的直 线在A点右边的部分。 (三)无风险借款对投资组合选择的影响 对于不同的投资者而言允许无风险借款对他们的投资组合选择的影响也不同 对于厌恶风险程度较轻,从而其选择的投资组合位于DT弧线上的投资者而言,由于代
144 图 8-7 无风险借款和风险资产的组合 2．无风险借款并投资于风险资产组合的情形 同样，由无风险借款和风险资产组合构成的投资组合，其预期收益率和风险的关系与由 无风险借款和一种风险资产构成的投资组合相似。 我们仍假设风险资产组合 B 是由风险证券和 C 和 D 组成的，则由风险资产组合 B 和无 风险借款 A 构成的投资组合的预期收益率和标准差一定落在 AB 线段向右边的延长线上， 如图 8-8 所示。 RP D B A C P 图 8-8 无风险借款和风险组合的组合 （二）无风险借款对有效集的影响 引入无风险借款后，有效集也将发生重大变化。在图 8-9 中，弧线 CD 仍代表马科维茨 有效集，T 点仍表示 CD 弧线与过 A 点直线的相切点。在允许无风险借款的情形下，投资者 可以通过无风险借款并投资于最优风险资产组合 T 使有效集由 TD 弧线变成 AT 线段向右边 的延长线。 RP D T A C P 图 8-9 允许无风险借款时的有效集 这样，在允许无风险借贷的情况下，马科维茨有效集由 CTD 弧线变成过 A、T 点的直 线在 A 点右边的部分。 （三）无风险借款对投资组合选择的影响 对于不同的投资者而言允许无风险借款对他们的投资组合选择的影响也不同。 对于厌恶风险程度较轻，从而其选择的投资组合位于 DT 弧线上的投资者而言，由于代
表其原来最大满足程度的无差异曲线I1与AT直线相交,因此不再符合效用最大化的条件 因此该投资者将选择其无差异曲线与AT直线切点所代表的投资组合。如图8-10(a)所示。 对于该投资者而言,他将进行无风险借款并投资于风险资产。 继续前面的例子。如果投资者的风险厌恶系数A等于2,则他的最优资产配置比例 y=(11%-5%)/(2×142%2)=14878。也就是说,该投资者应借入4878%的无风险资金,加上 自有资金全部投资于最优风险组合。这样他的整个投资组合的预期收益率为13.93% (=0.4878×5%+1.4878×11%),标准差为21.13%(=1.4878×14.2%)。 R 12I1 A C 图8-10无风险借款下的投资组合选择 对于较厌恶风险从而其选择的投资组合位于CT弧线上的投资者而言,其投资组合的选 择将不受影响。因为只有CT弧线上的组合才能获得最大的满足程度,如图8-10(b)所示。 对于该投资者而言,他只会用自有资产投资于风险资产,而不会进行无风险借款 综上所述,在允许无风险借贷的情况下,有效集变成一条直线,该直线经过无风险资产 A点并与马科维茨有效集相切 第三节资本资产定价模型 在第8章和本章第一、二节中,我们给出确定最优投资组合的方法,投资者首先必须估 计所有证券的预期收益率和方差、所有这些证券之间的协方差以及无风险利率水平,然后, 找出切点处投资组合(最优风险组合),并根据自己无差异曲线与无风险利率和切点处投资 组合构成的直线的切点来决定自己的最优投资组合。这种方法属于规范经济学的范畴。在本 节中,我们将在假定所有投资者均按上述方法投资的情况下,研究风险资产的定价问题,它 属于实证经济学范畴。在这里,我们要着重介绍资本定价模型( Capital Asset Pricing Model CAPM)。该模型是由夏普( William Sharpe)林特纳( John Lintner)、特里诺( Jack Treynor 和莫森( Jan mossin)等人在现代证券组合理论的基础上提出的,在投资学中占有很重要的 o Sharpe W, 1964, "Capital Asset Prices, "Journal of Finance, September, 425-42. Lintner, J, 1965, "The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolio and Capital Budgets, " Review 145
145 表其原来最大满足程度的无差异曲线 I1 与 AT 直线相交，因此不再符合效用最大化的条件。 因此该投资者将选择其无差异曲线与 AT 直线切点所代表的投资组合。如图 8-10（a）所示。 对于该投资者而言，他将进行无风险借款并投资于风险资产。 继续前面的例子。如果投资者的风险厌恶系数 A 等于 2，则他的最优资产配置比例 y *=(11%-5%)/(2×14.2%2 )=1.4878。也就是说，该投资者应借入 48.78%的无风险资金，加上 自有资金全部投资于最优风险组合。这样他的整个投资组合的预期收益率为 13.93% （=-0.4878×5%+1.4878×11%），标准差为 21.13%（=1.4878×14.2%）。 RP I3 RP I3 I2 I1 I2 D O I1 T D O O O T A A C C P P (a) (b) 图 8-10 无风险借款下的投资组合选择 对于较厌恶风险从而其选择的投资组合位于 CT 弧线上的投资者而言，其投资组合的选 择将不受影响。因为只有 CT 弧线上的组合才能获得最大的满足程度，如图 8-10（b）所示。 对于该投资者而言，他只会用自有资产投资于风险资产，而不会进行无风险借款。 综上所述，在允许无风险借贷的情况下，有效集变成一条直线，该直线经过无风险资产 A 点并与马科维茨有效集相切。 第三节 资本资产定价模型 在第 8 章和本章第一、二节中，我们给出确定最优投资组合的方法，投资者首先必须估 计所有证券的预期收益率和方差、所有这些证券之间的协方差以及无风险利率水平，然后， 找出切点处投资组合（最优风险组合），并根据自己无差异曲线与无风险利率和切点处投资 组合构成的直线的切点来决定自己的最优投资组合。这种方法属于规范经济学的范畴。在本 节中，我们将在假定所有投资者均按上述方法投资的情况下，研究风险资产的定价问题，它 属于实证经济学范畴。在这里，我们要着重介绍资本定价模型（Capital Asset Pricing Model ， CAPM）。该模型是由夏普（William Sharpe） 林特纳（John Lintner）、特里诺（Jack Treynor） 和莫森（Jan Mossin）等人在现代证券组合理论的基础上提出的①，在投资学中占有很重要的 ① Sharpe, W.,1964, “Capital Asset Prices,” Journal of Finance,September,425-42. Lintner, J., 1965, “The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolio and Capital Budgets,” Review