中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 b=va2-c2 (4) 由图1可知,P点的坐标 图1 x=c+rp cosep (5) y=rp sinep (6) 把(5)、(6)式代入(1)式化简得 (a'sin20p+b2 cos2 0p)re+2b2crp cos0p +b'c2-a'b2=0 (7) 根据求根公式可得 b2(a-ccosep) =a sin+b cos0 (8) 由(2)(3)、(4)(8)各式并代入有关数据得 p=0.896AU (9) 可以证明,彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为 E=_Gmm, (10) 2a 式中m为彗星的质量.以)p表示彗星在P点时速度的大小,根据机械能守恒定律有 mo+ Gmms (11) 2a 得 21 ,-6ma (12) 代入有关数据得 vp=4.39×104ms (13) 设P点速度方向与SP的夹角为p(见图2),根据开普勒第二定律 rpopsin[o-0p]=20 (14) 其中σ为面积速度,并有 a=Tab P (15) T 6 由(9)、(13)、(14)、(15)式并代入有关数据可 人8 得 a S
6 22 cab (4) 由图 1 可知,P 点的坐标 cos P P x c r (5) sin P P y r (6) 把(5)、(6)式代入(1)式化简得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos 2 cos 0 P P P P P a b r b cr b c a b (7) 根据求根公式可得 2 2 2 2 2 cos sin cos P P P P b a c r a b (8) 由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得 rP 0.896AU (9) 可以证明,彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为 s 2 Gmm E = a (10) 式中 m 为彗星的质量.以 P v 表示彗星在 P 点时速度的大小,根据机械能守恒定律有 1 2 s s 2 2 P P Gmm Gmm m r a v (11) 得 s 2 1 P P Gm r a v (12) 代入有关数据得 4 1 4.39 10 m s P v = (13) 设 P 点速度方向与 0 SP 的夹角为 (见图 2),根据开普勒第二定律 rP P P v sin 2 (14) 其中 为面积速度,并有 πab T (15) 由(9)、(13)、(14)、(15)式并代入有关数据可 得 S P P Pr a b O P0 x y 图 1 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 p=127° (16) 图2 解法二 取极坐标,极点位于太阳S所在的焦点处,由S引向近日点的射线为极轴,极角为日,取逆 时针为正向,用r、B表示彗星的椭圆轨道方程为 p = (1) 1+ecos0 其中,e为椭圆偏心率,p是过焦点的半正焦弦,若椭圆的半长轴为a,根据解析几何可知 p=a1-e2) (2) 将(2)式代入(1)式可得 al-e) r= (3) 1+ecos0 以T表示地球绕太阳运动的周期,则T=1.00年:以α.表示地球到太阳的距离(认为地球 绕太阳作圆周运动),则a.=1.00AU,根据开普勒第三定律,有 a T2 3 (4) a 在近日点0=0,由(3)式可得 e=1-6 (5) a 将Bp、a、e的数据代入(3)式即得 p=0.895AU (6) 可以证明,彗星绕太阳作椭圆运动的机械能 E=_Gmm, (7) 2a 式中m为彗星的质量.以⑦p表示彗星在P点时速度的大小,根据机械能守恒定律有 Gmm. Gmm (8) 2a 可得 21 Gm,'re d (9) 代入有关数据得 0p=4.39×104msl (10)
7 127 (16) 解法二 取极坐标,极点位于太阳 S 所在的焦点处,由 S 引向近日点的射线为极轴,极角为 ,取逆 时针为正向,用 r、 表示彗星的椭圆轨道方程为 1 cos p r e (1) 其中,e 为椭圆偏心率,p 是过焦点的半正焦弦,若椭圆的半长轴为 a,根据解析几何可知 2 p a e 1 (2) 将(2)式代入(1)式可得 1 cos 1 2 e ea r (3) 以Te 表示地球绕太阳运动的周期,则 e T 1.00年 ;以 e a 表示地球到太阳的距离(认为地球 绕太阳作圆周运动),则 e a 1.00AU ,根据开普勒第三定律,有 3 2 3 2 a T a T e e (4) 在近日点 0 ,由(3)式可得 1 r e a 0 (5) 将 P 、a 、e 的数据代入(3)式即得 rP 0.895AU (6) 可以证明,彗星绕太阳作椭圆运动的机械能 s 2 Gmm E = a (7) 式中 m 为彗星的质量.以 P v 表示彗星在 P 点时速度的大小,根据机械能守恒定律有 1 2 s s 2 2 P P Gmm Gmm m r a v (8) 可得 2 1 P s P Gm r a v (9) 代入有关数据得 4 1 4.39 10 m s P v = (10) 图 2 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 设P点速度方向与极轴的夹角为Q,彗星在近日点的速度为)。,再根据角动量守恒定律, 有 rpvp sin(p-0p)=rvo (11) 根据(8)式,同理可得 vo=Gm, 21 (12) 由(6)、(10)、(11)、(12)式并代入其它有关数据 p=127 (13) 评分标准: 本题20分 解法一 (2)式3分,(8)式4分,(9)式2分,(11)式3分,(13)式2分,(14)式3分,(15) 式1分,(16)式2分. 解法二 (3)式2分,(4)式3分,(5)式2分,(6)式2分,(8)式3分,(10)式2分,(11)式 3分,(12)式1分,(13)式2分. 二、参考解答: 1.建立如图所示坐标系Oxy.两杆的受力情况如图: ∫为地面作用于杆AB的摩擦力,N,为地面对杆AB 的支持力,∫)、N2为杆AB作用于杆CD的摩擦力和支持 D N4 力,N,、N,分别为墙对杆AB和CD的作用力,mg为重 力.取杆AB和CD构成的系统为研究对象,系统平衡时,由 平衡条件有 ☑BN mg N4+N3-f=0 (1) N1-2mg=0 (2) 以及对A点的力矩 6
8 设 P 点速度方向与极轴的夹角为 ,彗星在近日点的速度为 0 v ,再根据角动量守恒定律, 有 r r P P P v v sin 0 0 (11) 根据(8)式,同理可得 2 1 Gms r a 0 0 v (12) 由(6)、(10)、(11)、(12)式并代入其它有关数据 127 (13) 评分标准: 本题 20 分 解法一 (2)式 3 分,(8)式 4 分,(9)式 2 分,(11)式 3 分,(13) 式 2 分,(14)式 3 分,(15) 式 1 分,(16)式 2 分. 解法二 (3)式 2 分,(4)式 3 分,(5)式 2 分,(6)式 2 分,(8)式 3 分,(10) 式 2 分,(11)式 3 分,(12)式 1 分,(13)式 2 分. 二、参考解答: 1.建立如图所示坐标系 Oxy.两杆的受力情况如图: 1 f 为地面作用于杆 AB 的摩擦力, N1为地面对杆 AB 的支持力, 2f 、 N2 为杆 AB 作用于杆CD的摩擦力和支持 力, N3 、 N4 分别为墙对杆AB和CD的作用力,mg 为重 力.取杆AB和CD构成的系统为研究对象,系统平衡时, 由 平衡条件有 4 3 1 N N f 0 (1) 1 N mg 2 0 (2) 以及对 A 点的力矩 B D C A N1 E N2 mg mg f2 F O y f1 N4 N3 x 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 IsinO-Isina-No ()0 1 2 即 mlsin-mg/sina-N,lcos0-N,(lcos0lc-CF)-0 (3) 式中CF待求.F是过C的竖直线与过B的水平线的交点,E为BF与CD的交点.由几何关系 有 CF=Isinacot0 (4) 取杆CD为研究对象,由平衡条件有 N+N2 cose-f,sin=0 (5) N,sin0+f,cose-mg =0 (6) 以及对C点的力矩 1 N.I cosa-mglsina0 (7) 解以上各式可得 1 N=mg tan a (8) N3 tane-Itana-tanasina mg (9) cose 2 sine stano_sind I tancsina (10) cose 2 sine mg N=2mg (11) in-tancco mg (12) cos0+-tanasin mg (13) CD杆平衡的必要条件为 3≤4.N2 (14) 由(12)、(13)、(14)式得 2(uc sin0-cos) tana≤ (15) 4ccosθ+sin0 AB杆平衡的必要条件为 9
9 3 4 1 1 sin sin sin cos cos cos 0 2 2 mgl mg l l N l N l l CF 即 3 4 3 1 sin sin cos cos cos 0 2 2 mgl mgl N l N l l CF (3) 式中CF 待求. F 是过C 的竖直线与过 B 的水平线的交点, E 为 BF 与CD 的交点.由几何关系 有 CF l sin cot (4) 取杆 CD 为研究对象,由平衡条件有 4 2 2 N N f cos sin 0 (5) 2 2 N f mg sin cos 0 (6) 以及对C 点的力矩 4 1 cos sin 0 2 N l mgl (7) 解以上各式可得 4 1 tan 2 N mg (8) 3 3 1 sin 1 tan sin tan tan 2 2 cos 2 sin N mg (9) 1 3tan sin 1 tan sin 2 cos 2 sin f mg (10) 1 N mg 2 (11) 2 1 sin tan cos 2 N mg (12) 2 1 cos tan sin 2 f mg (13) CD 杆平衡的必要条件为 2 2 c f N (14) 由(12)、(13)、(14)式得 2 sin cos tan cos sin C C (15) AB 杆平衡的必要条件为 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理