《高等量子力学》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 近似方法 5.4 变分方法 5.5 含时势：相互作用绘景

例3: V(x)= 2x4(a>0)考虑：对称、无节点、集中于x=0附近，取y(x,α)=exp(-αx2/2)h? d?hα3元)e-ax/2 dx / /e-ax dx =E(α) =+1x44α?4m2m dx36h426ma>V3E(α):o得h8m误差：增加变分变量、逼近估计方法如=[[(H-E,),}dx/yidx/E,变分法原则上可估计低激发态能量。若基态已知，则选与基态垂直的尝试波函数，经变分可求出优化的E1。若只知近似基态(如通过变分求得)则用变分求激发态的能量要慎重,因误差无确定符号,是线性的第一激发态(对称性等考虑)： (x,β)=xexp(-βx2 /2)高一些的束缚激发态（能化为一维的问题）：WKB方法

◼ 例3： ◼ 考虑：对称、无节点、集中于x=0附近，取 ◼ 得 ◼ 误差：增加变分变量、逼近 ◼ 估计方法如 ◼ 变分法原则上可估计低激发态能量。若基态已知，则选与基态垂直的 尝试波函数，经变分可求出优化的E1。若只知近似基态(如通过变分 求得),则用变分求激发态的能量要慎重,因误差无确定符号,是线性的. ◼ 第一激发态(对称性等考虑)： ◼ 高一些的束缚激发态（能化为一维的问题）：WKB方法 4 V x x ( ) ( 0) =    2    ( , ) exp( / 2) x x = − 2 2 2 2 2 2 /2 4 /2 2 2 3 ( ) ( ) / 2 4 4 x x x d E e x e dx e dx m dx m         − − − = − + = +   4 1/3 1/3 0 0 2 2 6 3 6 ( ) ; ( ) ( ) 8 m E m     = = 2 2 2    = −   [( ) ] / / H E dx dx E     2    ( , ) exp( / 2) x x x = −

三、WKB解波函数在E>V(×)区振荡，constant[p(+[dr /2m(V-E)在E<V(x)区指数衰减。匹配条件：[与区:dx J2m(E-V(x)-[v()-E0pl-1' r/2m(v-E][E-V(x)][v-Eyexp(-1'da'/2m[V(a)-E]Ⅱ与川区:22w-----[E-v(a)]cos ]由波函数的唯一性，有自洽性(量子化)条件：「"dx/2m[E-V]=n除一部分外,该条件与旧量子理论中的量子化条件相同

三、WKB解 ◼ 波函数在E>V(x)区振荡， ◼ 在E<V(x)区指数衰减。匹配条件： ◼ I与II区： ◼ II与III区： ◼ 由波函数的唯一性，有自洽性(量子化)条件： ◼ 除 部分外,该条件与旧量子理论中的量子化条件相同。 ( )   1 ( ) 4 tan 1  exp 2      =  −       −     cons t x x dx m V E V E ( ) ( ) 1 1 4 1 1 exp 2 x x dx m V E V x E     − −    −      ( ) ( ( )) 1 1 4 2 1 cos 2 4 x x dx m E V x E V x    → − −       −      ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 4 4 2 1 2 1 cos 2 cos 2 4 4                   − − = − − +         − −           x x x x dx m E V x dx m E V x E V x E V x   ( ) 2 1 4 1 1 exp 2 x x dx m V x E V E     − − →       −      2 1 1 2 2 x x dx m E V n    − = +      1 2