上饶师范学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第四章 矩阵

A=(a) 是一线性方程组的系数矩阵，而 x b: xJ 分别是未知量和常数项所组成的n×1和s×1矩阵，那么线性方程组就可以写 成矩阵的等式 AX=B 例3在空间中作一坐标系的转轴。设由坐标第(x,片，一)到(，乃)的坐标 变换的矩阵为 au an2 as A=a21a2a2 如果令 1 那么坐标变换的公式可以写成X,=AX 如果再作一次坐标系的转轴，设由第二个坐标(：，，2)第三个坐标系 (x乃，)的坐标变换公式为 X2 =BY3, 其中 那么不难看出，由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为 C=AB 矩阵的乘法适合结合律。设 A=(a)B=(B)C=(Cy) 我们证明 (ABC=A(BC) V=AB=(va).W=BC=(w)

( ) sn A = aij 是一线性方程组的系数矩阵，而               = n x x x X  2 1 ，               = bs b b B  2 1 分别是未知量和常数项所组成的 n1 和 s 1 矩阵，那么线性方程组就可以写 成矩阵的等式 AX = B 例 3 在空间中作一坐标系的转轴。设由坐标第（ 1 1 1 x , y ,z ）到 ( ) 2 2 2 x , y ,z 的坐标 变换的矩阵为           = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a A ， 如果令           = 1 1 1 1 z y x X ，           = 2 2 2 2 z y x X ， 那么坐标变换的公式可以写成 X1 = AX2 如 果 再作 一次 坐标 系的 转轴 ， 设由 第二 个坐 标 ( ) 2 2 2 x , y ,z 第 三个 坐标 系 （ , , ) 3 3 3 x y z 的坐标变换公式为 , X2 = BX 3 其中           = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 b b b b b b b b b B ，           = 3 3 3 3 z y x X ， 那么不难看出，由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为 C = AB 矩阵的乘法适合结合律。设 ( ) ( ) ( ) jk nm kl mr sn ij A = a ,B = B ,C = c 我们证明 (AB)C = A(BC) 令 ( ) ( ) nr ik sm W BC wjl V = AB = v , = =

其中 a-2=2=2叫 wn=2bcu(=12,x1=l2,月 因为 (AB)C=VC 中C的第i行第1列元素为 8-22a0-22,c A(BC)=AW 中AW第i行第1列元素为 言am,"-226o22aA (8) 由于双重连加号可以交换次序，所以(7)与(8)的结果是一样的，这就证明 了结合律。 但是，矩阵的乘法不适合交换律，即般说来：AB≠B4,这是由于，一方面 在乘积中要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义，所以， 当AB有意义时，BA不一定有意义，另一方面即使AB与BA都有意义，它们的 级数也不一定相等，因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因 子的列数。如上面例1中，AB是一3×x3矩阵，而BA是一4×4矩阵。即使相乘 的矩阵都是n×n矩阵，但是它们也不一定相等，例如， 4--( 4--88 而 =X,(3 在这个例子中我们不可以看到，两个不为零的矩阵的乘积可以是零 这是矩阵乘法的 个特点。由此还可以得出矩阵乘法的消去律 不成立。即当 AB=AC时不一定有B=C。读者由上面的例子的启发可以举出类似的例子。 定义3主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的n×n矩阵

其中 = = n j ik aijbjk v 1 (i =1,2,  ,s;k =1,2,  ,m) = = m k jl jk kl w b c 1 (j =1,2,  ,n;l =1,2,  ,r) 因为 (AB)C = VC 中 VC 的第 i 行第 l 列元素为     = = = = = =         = m k m k m k n j kl ij jk kl n j ik kl ij jk v c a b c a b c 1 1 1 1 1 （7） 而 A(BC) = AW 中 AW 第 i 行第 l 列元素为     = = = = =  =      = n j m k j j k kl n j n j m k j jl ij j k kl ai w a b c ai b c 1 1 1 1 1 （8） 由于双重连加号可以交换次序，所以（7）与 （8）的结果是一样的，这就证明 了结合律。 但是，矩阵的乘法不适合交换律，即般说来： AB  BA ，这是由于，一方面 在乘积中要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义，所以， 当 AB 有意义时， BA 不一定有意义，另一方面即使 AB 与 BA 都有意义，它们的 级数也不一定相等，因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因 子的列数。如上面例 1 中， AB 是一 33 矩阵，而 BA 是一 4  4 矩阵。即使相乘 的矩阵都是 nn 矩阵，但是它们也不一定相等，例如， , 1 1 1 1 , 1 1 1 1         − − =         − − A = B         =        − −         − − = 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 AB 而 . 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1         − − =        − −         − − BA = 在这个例子中我们不可以看到，两个不为零的矩阵的乘积可以是零 ， 这是矩阵乘法的一个特点。由此还可以得出矩阵乘法的消去律不成立。即当 AB = AC 时不一定有 B = C 。读者由上面的例子的启发可以举出类似的例子。 定义 3 主对角线上的元素全是 1，其余元素全是 0 的 nn 矩阵

09 0 00…1 称为n级单位矩阵，记为E有，或者在不致引起含混的时候简单写为E。显然 有 A.E Am E.A=A 矩阵的乘法和加法还适合分配律，即 A(B+C)=AB+AC(9) (B+C)4=BA+CA010) 这两个式子的证明留给读者自己来作。应该指出，由于矩阵的乘法不适合交换律， 所以(9) 和(10)是两条不同的规律。 我们还可以定义矩阵的方幂。设A一n×n矩阵，定义 「A=A 4=44 换句话说，A就是k个A连乘的结合律，不难证明 AA!=A (4y=A 这里k,1任意正整数，证明给读者去做。因矩阵乘法不适合交换律，所以(4B)与 AB*一般不相等地， 3.数量乘法 定义4矩阵 kan ka2…kan kakaa…ka ka1ka2…kan 称为矩阵A=4,)与数k的数量乘积，记为k4换句话说，用数k乘矩阵就是把 矩阵的每一个元素都乘上k。 不难验证，数量乘积适合以下的规律：

              0 0 1 0 1 0 1 0 0       称为 n 级单位矩阵，记为 En 有，或者在不致引起含混的时候简单写为 E 。显然 有 s sn sn m n m E A A A E A = = 矩阵的乘法和加法还适合分配律，即 ( ) (10) ( ) (9) B C A BA CA A B C AB AC + = + + = + 这两个式子的证明留给读者自己来作。应该指出，由于矩阵的乘法不适合交换律， 所以（9） 和（10）是两条不同的规律。 我们还可以定义矩阵的方幂。设 A 一nn 矩阵，定义    = = + A A A A A k 1 k 1 换句话说， k A 就是 k 个 A 连乘的结合律，不难证明 ( ) kl l k k l k l A A A A A = = + 这里 k,l 任意正整数，证明给读者去做。因矩阵乘法不适合交换律，所以 ( ) k AB 与 k k A B 一般不相等地。 3．数量乘法 定义 4 矩阵               s s sn n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka       1 2 21 22 2 11 12 1 称为矩阵 ( ) ij sm A = A 与数 k 的数量乘积，记为 kA 换句话说，用数 k 乘矩阵就是把 矩阵的每一个元素都乘上 k 。 不难验证，数量乘积适合以下的规律：

(k+A=kA=L411) k(4+B)=k4+kB(12) kL40=(kD413) 414) k(AB)=(k4B=A(kB(15) 我们只证明等式(15)，其余留给读者证明。设 A=(a)B=(B) 在k(AB),(kB,AkB)中，亿，)的元素依次为 k∑a,br 2a,b=k空a, 产，)空 显然它们是一样的，这就证明了等式(15)。矩阵 k0…0 kE=9k…0 00…k 通常称为数量矩阵。作为(15)的特殊情形，如果A是一n×n矩阵，那么有 kA=(E)A=A(kE) 这个式子说明，数量矩阵与所有的n×n矩阵乘法是可以交换的。可以证明：如 果一个n×n级矩阵与所有n级矩阵作乘法是可以交换的。那么这个矩阵一定是数 量矩阵一定是数量矩阵（参看习题7）。再有， kE+E=(k+1)E (kEkE)=(k1)E 这就是说，数量矩阵的加法和乘法完全归结为数的加法与乘法。 4,转置 把一矩阵的行列互换，所得到的矩阵称为A的转置，记为A。可确切定义如 下， 定义5设 ala2…an】 A= a21a2…a2 (a1a2…am 所谓A的转置就是指矩阵

( ) ( ) ( )(15) (14) ( ) ( ) (13) ( ) (12) ( ) (11) k AB kA B A kB lA A k lA kl A k A B kA kB k l A kA lA = = = = + = + + = = 我们只证明等式（15），其余留给读者证明。设 ( ) ( ) nm jt s n A = aij ,B = B 在 k(AB),(kA)B, A(kB) 中， (i,t) 的元素依次为 ( )  ( )     = = = = = = = n j n j ij ij ij ij n j n j ij j ij ij n j ij jt a kb k a b ka bi k a b k a b 1 1 1 1 1 , , 显然它们是一样的，这就证明了等式（15）。矩阵               = k k k kE       0 0 0 0 0 0 通常称为数量矩阵。作为（15）的特殊情形，如果 A 是一 nn 矩阵，那么有 kA= (kE)A = A(kE). 这个式子说明，数量矩阵与所有的 nn 矩阵乘法是可以交换的。可以证明：如 果一个 nn 级矩阵与所有 n 级矩阵作乘法是可以交换的。那么这个矩阵一定是数 量矩阵一定是数量矩阵（参看习题 7）。再有， ( ) ( )( ) ( ) , , kE kE kl E kE lE k l E = + = + 这就是说，数量矩阵的加法和乘法完全归结为数的加法与乘法。 4，转置 把一矩阵的行列互换，所得到的矩阵称为 A 的转置，记为 A`。 可确切定义如 下： 定义 5 设               = s s sn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 所谓 A 的转置就是指矩阵

aia…a （ama2n…an 显然，sxn矩阵的转置是nxs矩阵。 矩阵的转置适合以下的规律： (A)=A, (16 (B)=+B (17) (ABY-B. (18) (kA)=kA, (19) (16)表示两次转置就还原，这是显然的。(17)，(19)也很容易验证，现在来 看一下(18)。设 ata… 4=g…aB= b1b… b (a1a2…anJ （bn1b2…bnm AB中()的元素为 2 所以，（(AB)中(，)的元素就是 axbu. (20) 其次，B中亿，k)的元素是b,A心中(k,)的元素是a,因之， BA中(，)的元素即为 ∑buaA-=∑anbe (21) 比较(20)，(21)即得(18) 例 设 (2-10 A=(1,-1,2)B=113 （421

              = n n sn s s a a a a a a a a a A       1 2 12 22 2 11 21 1 ` 显然， sn 矩阵的转置是 ns 矩阵。 矩阵的转置适合以下的规律： (A`)` = A, （16） (A+ B)` = A`+B`, （17） (AB)` = B`A`, （18） (kA)` = kA`, （19） （16）表示两次转置就还原，这是显然的。（17），（19）也很容易验证，现在来 看一下（18）。设               = s s sn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 ，               = n n nm m m b b b b b b b b b B       1 2 21 22 2 11 12 1 AB 中 (i, j) 的元素为 = n k aikbkj 1 , 所以， (AB)` 中 (i, j) 的元素就是 = n k a jkbki 1 , （20） 其次， B` 中 (i,k) 的元素是 ki b ， A` 中 (k, j) 的元素是 jk a ，因之， B`A` 中 (i, j) 的元素即为   = = = n k n k bkia jk a jkbki 1 1 , （21） 比较（20），（21）即得（18）。 例 设 ( )           − = − = 4 2 1 1 1 3 2 1 0 A 1, 1,2 ,B