《高等数学》课程教学资源：第二章 导数与微分（2.3）隐函数与参量函数微分法

例3设x4-x+y4=1,求y”在点(0,1)处的值 解方程两边对x求导得 4x'-y-xy+4yy=0 1) 代入x=0,y=1得y1x 将方程(1)两边再对x求导得 12x2-2y-xy"+12y2(y')2+4y3y"=0 代入x=0,y 得y"x 16

例3 1, (0,1) . 设 x 4  xy  y 4  求y在点 处的值 解 方程两边对x求导得 4 4 0 (1) 3 3 x  y  xy  y y  代入 x  0, y  1得 ; 4 1 1  0    y x y 将方程(1)两边再对x求导得 12 2 12 ( ) 4 0 2 2 2 3 x  y  xy  y y  y y  代入 x  0, y  1, 得4 1 1  0    y x y . 16 1 1  0     y x y

补证反函数的求导法则 设x=q(y)为直接函数,y=f(x)为其反函数 y=∫(x)可视为由方程x-φ(y)=0确定的一个 隐函数 由隐函数的微分法则 方程x=q(y)两边对x求导得 l=φ(y) d x dx '(y

补证反函数的求导法则 设x  ( y)为直接函数，y  f (x)为其反函数 隐函数 y  f ( x)可视为由方程 x  ( y)  0确定的一个 由隐函数的微分法则 方程x  ( y)两边对 x求导得 dx dy 1  ( y) ( ) 1 dx y dy   

例4设 arctan=n√x2+y2,求 dy dy dx dx2 解方程两边对x求导得 x-十 2 1+ yr-y 2x+2yy r t y 2 x2+y22√x2+y →yx-y=x+yy 小yx+y

例4 2 2 2 2 arctan ln , , dx d y dx dy x y x y 设   求 解 方程两边对x求导得 ( ) 1 1 1 2 2 2 2 2                     x y x x y y x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 x y x yy x x y y x y x y x             yx  y  x  yy x y x y dx dy    

dfy d(x+y dxt dxx (1+y)(x-y)-(x+y)(1-y) (x-y) 2xy 2 x(x+y)-y(x-y (x-y) (x-y)3 2(x2+y 例5求证抛物线x+√y=√a上任一点的切线 在两坐标轴上的截距之和等于a

         x y x y dx d dx d y 2 2 2 ( ) (1 )( ) ( )(1 ) x y y x y x y y          2 ( ) 2 2 x y xy y     3 ( ) ( ) ( ) 2 x y x x y y x y       3 2 2 ( ) 2( ) x y x y    例5 求证抛物线 x  y  a 上任一点的切线 在两坐标轴上的截距之和等于a

证方程x+√y=Ⅶa两边对x求导得 0 2 2、pd d x 故曲线上任一点(x0,y0)处切线的斜率为 小y J d x 切线方程为y-y= x-x →√x0y+√Jox=√x0y+√yo

证 方程 x  y  a两边对x求导得 0 2 1 2 1   dx dy x y x y dx dy    故曲线上任一点 ( , ) 0 0 x y 处切线的斜率为 0 x x dx dy k   0 0 x y   切线方程为 ( ) 0 0 0 0 x x x y y  y    0 0 0 0 0 0  x y  y x  x y  y x