SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY 定义1.1.2若对区域D内的任意不同两点a1≠2,都有f(x1)≠f(2),则 称=f(2)是D内的单叶映射。 定义1.1.3若v=f(2)在区域D内是单叶的保角映射,则称=f(2)是 D内的保形映射(或共形映射) 定理1.1.2若函数U=f(z)在区域D内解析,如为区域D内一点。 1.若f(20)≠0,则=f(2)在2处是保角的 2.若=f(2)在D内是单叶的,则=f(2)将区域D保形映射为区域 G={l=f(x),z∈D},且它的反函数z=f1(u)在G内是单叶的 解析函数
SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY 例11.3试讨论解析函数v=f(2)=z(n为整数)的保角性和保形性。 解因为f(2)=n2n1,故=除z=0外,处处保角。 当z=0时,由点z=0出发的两条射线Argx=a和Argz=B映射 成射线Argu=na和Argu=n.从而在z=0处的夹角为-a,而在 =0处的夹角为m(-a)。因此=zn在z=0处不具有保角性。 由于u=zm的单叶性区域为顶点在z=0,张角不超过2的角形域, 所以在此角形域内(不包含2=0点),U=zn是保形的
SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY 由定理1.12知,区域D内单叶的解析函数v=f(x)所构成的映射将 区域D保形地映射成区域G=f(D),它的反函数z=f1(u)将区域G保 形映射成区域D.从而,区域D内的一个任意小的曲边三角形6映射成区 域G内的一个小曲边三角形Δ.根据保角性,它们的对应角相同;由伸缩 率不变性,对应边也近似地成比例,因此,三角形6与三角形△近似地”相 似”(如图14所示) D w=f(z) 图14保形映射
SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY 保形映射在解决许多实际问题中有着重要的应用。例如,为了研究飞机 飞行过程中气流对机翼所产生的升力,需要研究机翼剖面外部的速度分布问 题,也就是通常所说的机翼剖面的绕流问题。 图1.5机翼剖面绕流保形映射
SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY §1.1.3关于保形映射的几个一般性定理 定理1.1.3若函数U=∫(z)把区域D保形映射成区域G,则ω=∫(z)在 D上是单值且解析的函数,其导数在D上必不为零,且其反函数z=9() 在G上也是单值且解析的函数,它把G保形映射成D. 定理1.1.4(黎曼定理)设有两个单连通区域D和G(它们的边界至少包含 两点),和0分别是D和G中的任意两点,日是任一实数(0≤6≤2r) 则总存在一个函数U=f(x),它把D一一对应地保角映射成G,使得 f(2o)=wo, argf(20)=B0, 并且这样的保形映射是唯一的