上海交通大学 第六章保形映射 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 保形映射是从几何的角度对解析函数的性质和应用进行讨论和研究，这 种方法可以把较为复杂区域上所讨论的问题转化到比较简单的区域上进行 其在流体力学、电磁学、热传导理论等领域有广泛的应用 $1.1 保形映射的概念 $1.1.1 导数的几何意义 20 图1.1曲线倾角的复数表示
第六章 保形映射
SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY 首先讨论曲线在一点处切线倾角的复数表示。设C为复平面上的连续 曲线,其参数方程为 x=2(t),a≤t≤B. 若规定割线C2的正方向对应于t增大的方向,则此方向与向量 to 的方 向相同.由此可知,向量 的辐角Arg与割线20的倾角相等。由于 lim →tot-te =i'(to) 因此,若z(to)≠0,则 lin Arg Arga(to) t→to 即,若曲线C上的点0=2(t)处的切线存在,则此切线的倾角为arg(to), 如图1.1所示
SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY △σ 图1.2导数的几何意义 设函数=f(2)将z平面上的曲线C映射成v平面上的曲线T,如 图1.2所示。 记△z=2-20,其指数形式为 △ i
SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY 其中模|△表示向量动的长度,辐角表示向量c与实轴正向的夹角, 如图1.2(a)所示。 相应地,△=-0的指数形式为 △U=|△ole 在平面上表示向量ao,它的模|△表示向量mb的长度,辐角φ表 示向量b与实轴正向的夹角,如图1.2(b)所示。 当z沿z平面上的曲线C趋于x时,与它对应的点也就沿曲线r 趋于uo,弦02和m分别趋于上述两条曲线在点0和0的切线.函数 =f(2)在点20的导数f(a)是△当△z趋于0时的极限: f(zo)= lim △ 之一 0△x△2-01△
SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY 导数的模为 f(a)=m2△2|=m△G=d 其中△σ和Δs分别表示曲线C和r上弧长的增量,即 ds=f(zo)do 式(1)表明:曲线T上过点0的无穷小弧长△s与曲线C上过点z 的无穷小弧长△a之比的极限是定值|f(0),它反映了在映射f(2)下,z 平面上曲线C在2点处弧长的伸缩率,这就是导数的几何意义.且伸缩率 f(o)只与点有关,而与过0点的曲线C的形状无关,此性质称为伸 缩率的不变性