SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY 由于导数f(x0)的辐角为 Argf(0)=9-6, 它表示在和处的两条切线与实轴正向之间的夹角之差。这说明曲 线T在点0的切线方向可由曲线C在点0处的切线方向旋转一个角度 Argf(x0)得到。称Argf()为函数m=f(x)在点处的旋转角,此即 为导数辐角的几何意义。由于Argf(a0)仅与x0点有关,而与过该点的曲线 形状无关,此性质称为旋转角的不变性。 设从点20出发有两条连续曲线C1和C2,它们在点x处切线的倾角分 别为61和b2,曲线C1和C2在映射m=f(2)下的像分别为从o=f(0) 出发的两条连续曲线I1和T2,它们在uo处的切线倾角分别为1和g2
SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY C u=f(2) 62 则由旋转角不变性有 62 62-61
SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY 由于62-61是曲线C1和C2之间的夹角,而y2-91是曲线I1和T2之 间的夹角,所以式(1.3)表明:若f(20)≠0,则过点的任意两条连续曲线 之间的夹角,与其像曲线在u0=f(20)处的夹角大小相等且方向相同。如图 13所示。 定理1.1,1设函数U=f(2)在区域D内解析,为D内一点,且f(20)≠ 0,则映射=f(z)在点20具有如下两个性质: 1.伸缩率不变性.即通过点20的任何一条曲线的伸缩率均为|f(0),而 与其形状与方向无关. g.保角性,即通过点知的两条曲线间的夹角与经过映射后所得两曲线的 夹角在大小和方向上保持不变
SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY 例1.1.1求映射v=z3在z=i处的旋转角和伸缩率 解10=f()=23在全平面解析,且f(x)=3:2,f(i)=-3=3e, 故在z=i处,f(x)的旋转角为π,伸缩率为3。■ 例11.2试判断映射v=f(x)=z2+22在平面上哪部分被放大?哪部分 被缩小? 解由于|f(=)=|2+2,故当|2+1>是时被放大,当|2+11<号被缩
SHANGHA JLAO TONG UNIVERSITY 8112保形映射的概念 定义1.1,1设函数=f(x)定义在点如的邻域内,若它在点具有保角 性和伸缩率不变性,则称=f(x)在如0处为保角.若U=f(x)在区域D 内的每一点都是保角的,则称U=f(2)是区域D内的保角映射(第一类 保角映射)。 若仅保持夹角大小不变,但方向相反,则该保角映射称为第二类保角映 射。 一般地,若=f(x)是第一类保角映射,则=f(2)为第二类保角映射