23微分方程描述 前面介绍的状态空间模型描述了系统的内部特性,称为系统的内部描述。而下面介绍 的微分方程、传递函数等描述系统的输出变量和输入变量之间的动态关系,所以称为系统的 输入输出描述或外部描述 系统的内部描述不仅描述了系统的输出变量和输入变量之间的动态关系,而且描述了 系统内部信号传递过程,所以,内部描述比外部描述提供更多的信息,从而可以设计性能更 好的控制系统。但很多实际系统往往只能从系统输入输出信号了解系统的特性,容易得到系 统的外部描述。事实上,两种描述可以相互转化。在状态空间模型中,消除状态变量,可以 得到描述系统输出变量和输入变量之间的动态关系,即得到系统的外部描述。相反,可以根 据系统的外部模型构造一个内部结构,使它具有与外部模型相同的输入输出关系,这个问题 称为系统的实现问题。 231列写系统微分方程的一般步骤 根据系统的机理分析,列写系统微分方程的一般步骤为 (1)确定系统的输入、输出变量 (2)从输入端开始,按照信号的传递顺序,依据各变量所遵循的物理、化学等定律,列 写各变量之间的动态方程,一般为微分方程组; (3)消去中间变量,得到输入、输出变量的微分方程 (4)标准化:将与输入有关的各项放在等号右边,与输出有关的各项放在等号左边,并 且分别按降幂排列,最后将系数归化为如时间常数等反映系统动态特性的参数。 下面以一些简单的系统为例,介绍系统数学模型的概念和基于系统机理分析建立数学 模型的基本方法 例25列写如图25所示RC网络的微分方 程。给定输入电压u为系统的输入量,电容上的 电压l为系统的输出量。 c u(t) 解设回路电流为i,由电路理论可知,电阻 t 上的电压为 电容上的电压与电流的关系为 图2.5RC网络 由基尔霍夫电压定律,列写回路方程式 H+uc=u 消去中间变量t、i得 (2.21)
2.3 微分方程描述 前面介绍的状态空间模型描述了系统的内部特性，称为系统的内部描述。而下面介绍 的微分方程、传递函数等描述系统的输出变量和输入变量之间的动态关系，所以称为系统的 输入输出描述或外部描述。 系统的内部描述不仅描述了系统的输出变量和输入变量之间的动态关系，而且描述了 系统内部信号传递过程，所以，内部描述比外部描述提供更多的信息，从而可以设计性能更 好的控制系统。但很多实际系统往往只能从系统输入输出信号了解系统的特性，容易得到系 统的外部描述。事实上，两种描述可以相互转化。在状态空间模型中，消除状态变量，可以 得到描述系统输出变量和输入变量之间的动态关系，即得到系统的外部描述。相反，可以根 据系统的外部模型构造一个内部结构，使它具有与外部模型相同的输入输出关系，这个问题 称为系统的实现问题。 2.3.1 列写系统微分方程的一般步骤 根据系统的机理分析，列写系统微分方程的一般步骤为 （1） 确定系统的输入、输出变量； （2） 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理、化学等定律，列 写各变量之间的动态方程，一般为微分方程组； （3） 消去中间变量，得到输入、输出变量的微分方程； （4） 标准化：将与输入有关的各项放在等号右边，与输出有关的各项放在等号左边，并 且分别按降幂排列，最后将系数归化为如时间常数等反映系统动态特性的参数。 下面以一些简单的系统为例，介绍系统数学模型的概念和基于系统机理分析建立数学 模型的基本方法。 例2.5 列写如图2.5所示RC网络的微分方 程。给定输入电压 为系统的输入量，电容上的 电压 为系统的输出量。 ur uc R C 图2.5 RC网络 ur (t) uc(t) 解 设回路电流为i ，由电路理论可知，电阻 上的电压为 u1 = iR 电容上的电压与电流的关系为 dt du i C c = 由基尔霍夫电压定律，列写回路方程式 u1 + uc = ur 消去中间变量 、i 得 1 u c r c u u dt du RC + = (2.21)
令T=RC为电路时间常数,则 +u=u (2.22) dt 式(2.22)即为RC网络的微分方程,它是一阶常系数线性微分方程。 例26列写如图26所示RC网络的微分方程。给定输入电压u为系统的输入量,电容 C,上的电压u为系统的输出量。 解由基尔霍夫电压定律,列写回路方程 1R1+ i2R2+uc=uc (2.24) 图26RC网络 由基尔霍夫电流定律,电容C1中的电流为(1-12),电容C2中的电流为i2,所以 i1-i2=C1 (2.25) 下面消去中间变量ua、i2将式(2.26)代入(2.25)得 (2.27) dt 将式(2.26)、(2.27)代入(2.23)、(2.24)得 RCi di t rica dt tuc=u, (2.28) R2C2-+uc=u dt 将式(2.29)代入(2.28)得 RCRc d-uc+rg duc+ricn dr+c due+c=ur RCIR2C2-+( CI+R C2+R2C2)-+uc=u (2.30) 标准化得
令T = RC为电路时间常数，则 c r c u u dt du T + = (2.22) 式(2.22)即为RC网络的微分方程，它是一阶常系数线性微分方程。 例2.6 列写如图2.6所示RC网络的微分方程。给定输入电压 为系统的输入量，电容 上的电压 为系统的输出量。 r u C2 uc 解 由基尔霍夫电压定律，列写回路方程 (2.23) R uc ur i + = 1 1 1 (2.24) 2 2 1 R uc uc i + = R1 C1 图2.6 RC网络 ur (t) uc(t) R2 C2 由基尔霍夫电流定律，电容C1中的电流为( ) 1 2 i − i ，电容 中的电流为 ，所以 C2 2i dt du i i C c1 1 − 2 = 1 (2.25) dt du i C c 2 = 2 (2.26) 下面消去中间变量 、 、 。将式(2.26)代入(2.25)得 1 uc 1 i 2i dt du C dt du i C c c 1 1 2 1 = + (2.27) 将式(2.26)、(2.27)代入(2.23)、(2.24)得 c r c c u u dt du R C dt du R C + + =1 1 1 1 1 2 (2.28) 2 2 1 c c c u u dt du R C + = (2.29) 将式(2.29)代入(2.28)得 c r c c c c u u dt du R C dt du R C dt du R C dt d u R C R C + 1 1 + 1 2 + 2 2 + = 2 2 1 1 2 2 c r c c u u dt du R C R C R C dt d u R C R C + ( 1 1 + 1 2 + 2 2 ) + = 2 2 1 1 2 2 (2.30) 标准化得
+(T1+712+72) (2.31) 其中,T=RC1,T2=R2C2,T12=RC2为电路的时间常数。式(2.31)即为网络的微分方 程描述,它是二阶常系数线性微分方程。 注意,图2.6所示RC网络虽然是两个图2.5所示RC网络的串联,但应该注意到前面一个RC 网络不是开路,后面一个RC网络是前面一个RC网络的负载,式(231)中的12。这一项就 反映了这一负载效应。 例27如图27所示流体过程,流 控制阀 入流量为g(m/),流出流量为Q (n/),它们受相应的阀门控制。建 立该过程输出量H与输入量Q2之间的 微分方程式 图27流体过程 解设流体是不可压缩的,根据物质守恒定律,可得 (1-g0) 式(232)中,S为液罐截面积(m2),H为液面高度(m)。由流量公式可得 式(233)中,a为节流阀的流量系数,当液位高度变化不大时,可近似认为只与节流阀的开 度有关。设节流阀的开度保持一定,则a为一常数。 消去中间变量Q,得该流体过程的微分方程数学模型 dh a 2i 由于该流体过程具有非线性特性,所以系统的数学模型(234)是非线性微分方程。 上面介绍了一些典型系统的微分方程。一般的连续时间系统都可以用微分方程描述,线 性系统可以用线性微分方程描述,而非线性系统则要用非线性微分方程描述, 描述非线性系统的微分方程一般可表示为 F(y,y-)…,j,y,r(m (2.35a) 将线性部分与非线性部分分开,可以写成下列形式 ry+…+0by+可(yd”d)=r()(2.35b) d dy 式中,y为系统输出,r为系统输入,an,…,a0,E为常数,f()为非线性函数。常数E 反映了系统的非线性的程度。当E=0时,上式可变为常系数线性微分方程。这一事实为衡 量系统非线性程度提供了一个定性的规则:ε较an…,a0小时,说明非线性程度不严重,反
c r c c u u dt du T T T dt d u T T + ( + + 2 ) + = 2 1 12 2 1 2 (2.31) 其中， ， ， 为电路的时间常数。式(2.31)即为网络的微分方 程描述，它是二阶常系数线性微分方程。 T1 = R1C1 T2 = R2C2 T12 = R1C2 注意，图2.6所示RC网络虽然是两个图2.5所示RC网络的串联，但应该注意到前面一个RC 网络不是开路，后面一个RC网络是前面一个RC网络的负载，式(2.31)中的 dt du T c 12 这一项就 反映了这一负载效应。 例2.7 如图2.7所示流体过程，流 入流量为 Qi （ s m 3 ），流出流量为 （ Q0 s m 3 ），它们受相应的阀门控制。建 立该过程输出量 H 与输入量 之间的 微分方程式。 Qi 图2.7 流体过程 H Qi Qo 控制阀 节流阀 解 设流体是不可压缩的，根据物质守恒定律，可得 ( ) 1 Q Q0 dt S dH = i − (2.32) 式(2.32)中， S 为液罐截面积（ ），2 m H 为液面高度（ m ）。由流量公式可得 Q0 = α H (2.33) 式(2.33)中，α 为节流阀的流量系数，当液位高度变化不大时，可近似认为只与节流阀的开 度有关。设节流阀的开度保持一定，则α 为一常数。 消去中间变量Q0 ，得该流体过程的微分方程数学模型 Qi S H dt S dH 1 + = α (2.34) 由于该流体过程具有非线性特性，所以系统的数学模型(2.34)是非线性微分方程。 上面介绍了一些典型系统的微分方程。一般的连续时间系统都可以用微分方程描述，线 性系统可以用线性微分方程描述，而非线性系统则要用非线性微分方程描述。 描述非线性系统的微分方程一般可表示为 ( , , , , , , , , , ) 0 ( ) ( 1) ( ) ( 1) = − − F y y y y r r r r n n m m L & L & （2.35a） 将线性部分与非线性部分分开，可以写成下列形式 ( , , , ) ( ) 1 1 1 1 0 1 1 r t dt d y dt dy a y f y dt dy a dt d y a dt d y a n n n n n n n n + + + + + = − − − − − L ε L （2.35b） 式中， y 为系统输出，r 为系统输入，an ，…，a0 ，ε 为常数， f (.)为非线性函数。常数ε 反映了系统的非线性的程度。当ε ＝０时，上式可变为常系数线性微分方程。这一事实为衡 量系统非线性程度提供了一个定性的规则：ε 较 an ,…, a0 小时，说明非线性程度不严重，反
之,当ε较an…,ao大时,说明系统中非线性程度严重。 对于一般n阶线性系统的微分方程可以表达为 y+an1y/+…+a1j+a0y +brtb.r (2.36) 系统的微分方程描述了系统特性,因此,微分方程的类型与系统的特性有关。如果系 统是非线性系统,则用非线性微分方程(2.35)描述;如果系统是线性系统,则用线性微分方 程(2.36)描述;如果系统是线性时变系统,则式(2.36)中的系数a,b是时间的函数。如果 系统是线性时不变系统,或者称为线性定常系统,则式(2.36)中的系数a1,b与时间无关 2.3.2由状态空间表达式求微分方程 如果已经得到了系统的状态空间表达式,那么,只要消除状态空间表达式中的状态变 量,得到系统输出变量与输入变量之间的关系,就得到系统的微分方程描述 例2.8例2.1所示的弹簧-阻尼器系统的状态空间表达式为 (2.37a) K f M2M (2.37b) (2.37c) 将式(2.37a)代入(2.37b)得 K f 将式(2.37c)代入式(2.38)并整理,就得到系统的微分方程 例29对于例2.2所示的RLC网络,若选状态变量为电感中的电流x1=1,和电容上 的电压x2==10M,则状态空间表达式为 R x==1-乙22 (2.40a) (2.40b) (2.40c) 将(2.40b)、(2.40c)式代入(2.4a)得系统的微分方程为 整理得 将系统的时间常数记为=RC、n2=g,则微分方程表达为 TIny+tiy+ (2.41)
之，当ε 较 an ,…, a0 大时，说明系统中非线性程度严重。 对于一般 n 阶线性系统的微分方程可以表达为 y a y a y a y b r b r b r (2.36) m m n n n 1 0 ( ) 1 0 ( 1) 1 ( ) + + + + = + + + − − L & L & 系统的微分方程描述了系统特性，因此，微分方程的类型与系统的特性有关。如果系 统是非线性系统，则用非线性微分方程(2.35)描述；如果系统是线性系统，则用线性微分方 程(2.36)描述；如果系统是线性时变系统，则式(2.36)中的系数 ， 是时间的函数。如果 系统是线性时不变系统，或者称为线性定常系统，则式(2.36)中的系数 ， 与时间无关。 ai bi ai bi 2.3.2 由状态空间表达式求微分方程 如果已经得到了系统的状态空间表达式，那么，只要消除状态空间表达式中的状态变 量，得到系统输出变量与输入变量之间的关系，就得到系统的微分方程描述。 例 2.8 例 2.1 所示的弹簧-阻尼器系统的状态空间表达式为 1 2 x& = x (2.37a) F M x M f x M K x 1 &2 = − 1 − 2 + (2.37b) 1 y = x (2.37c) 将式(2.37a)代入(2.37b)得 F M x M f x M K x 1 && 1 = − 1 − & 1 + (2.38) 将式(2.37c)代入式(2.38)并整理，就得到系统的微分方程 F M y M K y M f y 1 && + & + = (2.39) 例 2.9 对于例 2.2 所示的 RLC 网络，若选状态变量为电感中的电流 ，和电容上 的电压 x1 = i ∫ = = i t dt C C q x ( ) 1 2 ，则状态空间表达式为 u L x L x L R x 1 2 1 1 1 & = − − + (2.40a) 2 1 1 x C x& = (2.40b) 2 y = x (2.40c) 将（2.40b）、（2.40c）式代入（2.4a）得系统的微分方程为 u L y L y L RC Cy 1 1 && = − & − + 整理得 LC& y& + RCy& + y = u 将系统的时间常数记为τ 1 = RC 、 R = L 2 τ ，则微分方程表达为 τ 1τ 2 & y& +τ 1 y& + y = u (2.41)
233由微分方程求状态空间表达式 1.系统的实现问题 由状态空间表达式求微分方程是容易的,只要消除状态变量,得到输出与输入的关系 式就行了。现在考虑相反的问题,即从微分方程描述求等价的状态空间描述。 由系统的微分方程等外部数学模型确定等价的状态空间等内部数学模型,实际上是根 据系统的外部描述构造一个内部结构,要求保持外部描述的输入输出关系,又将系统的内 部结构确定下来,所以,通常称为系统的实现问题。这里的所谓“实现”,是指数学意义上 的实现,而不是物理意义上的实现,也就是说并不是设计一个具有给定数学模型的物理系 统 因为根据输入输出关系所求得的状态空间表达式不是唯一的,有无穷多个状态空间表 达式具有相同的输入输出关系。这显然是一个复杂的问题,但也是一个非常重要的问题 方面,描述系统输入输出关系的微分方程或传递函数可以用实验的方法得到,因此,我们 可以从输入输出关系描述建立状态空间描述,这是建立状态空间描述的一条途径(前面介绍 的是通过机理分析建立状态空间描述)。另一方面,而且是更重要的一个原因,通过实现可 以构造一个与原系统输入输出等价的系统进行状态估计等,从而实现状态反馈控制,改善系 统控制特性 本节只讨论单输入单输出系统的一种常用实现方法,后面将继续讨论实现问题 2.微分方程不含有输入的导数项 这时,一般描述为 (n)+ an (n-1) +a,y+aoy=bu 状态变量选为 x2=J Rn=) 则有 xI x2 由微分方程得 所以 xn=-aox-a1x2
2.3.3 由微分方程求状态空间表达式 1．系统的实现问题 由状态空间表达式求微分方程是容易的，只要消除状态变量，得到输出与输入的关系 式就行了。现在考虑相反的问题，即从微分方程描述求等价的状态空间描述。 由系统的微分方程等外部数学模型确定等价的状态空间等内部数学模型，实际上是根 据系统的外部描述构造一个内部结构，要求保持外部描述的输入输出关系，又将系统的内 部结构确定下来，所以，通常称为系统的实现问题。这里的所谓“实现”，是指数学意义上 的实现，而不是物理意义上的实现，也就是说并不是设计一个具有给定数学模型的物理系 统。 因为根据输入输出关系所求得的状态空间表达式不是唯一的，有无穷多个状态空间表 达式具有相同的输入输出关系。这显然是一个复杂的问题，但也是一个非常重要的问题。 一方面，描述系统输入输出关系的微分方程或传递函数可以用实验的方法得到，因此，我们 可以从输入输出关系描述建立状态空间描述，这是建立状态空间描述的一条途径（前面介绍 的是通过机理分析建立状态空间描述）。另一方面，而且是更重要的一个原因，通过实现可 以构造一个与原系统输入输出等价的系统进行状态估计等，从而实现状态反馈控制，改善系 统控制特性。 本节只讨论单输入单输出系统的一种常用实现方法，后面将继续讨论实现问题。 2．微分方程不含有输入的导数项 这时，一般描述为 y a y a y a y bu n n n + + + + = − − 1 0 ( 1) 1 ( ) L & (2.42) 状态变量选为 ( 1) 2 1 − = = = n n x y x y x y M & 则有 ( ) 1 2 3 1 2 n n n n x y x x x x x x = = = = − & & M & & 由微分方程得 y a y a y a y bu n n n = − − − − + − − ( 1) 0 1 1 ( ) & L 所以 x&n = −a0 x1 − a1 x2 −L− an−1 xn + bu