自动控制原理电子教案 第4章控制系统稳定性分析 41稳定性定义与稳定性条件 当系统受到扰动后,其状态偏离平衡状态,在随后所有时间内,系统的 响应可能出现下列情况: 1)系统的自由响应是有界的 2)系统的自由响应是无界的; 3)系统的自由响应不但是有界的,而且最终回到原先的平衡状态 李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定的、不稳定的和渐进稳定的。 显然,如果系统不稳定,则系统的响应是无界的,系统的输出将逐渐増加 直到损坏系统,或者进入振荡状态。因此,系统稳定是保证系统能正常工作的 首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。 李雅普诺夫用范数作为状态空间“尺度”的度量 411范数的概念 描述n维向量空间,与描述二维、三维空间一样,也要引入“尺度”的 概念,来度量向量的“长度”。可以人为地定义向量空间的“尺度”标准,这 个标准称为向量的范数,记为H。 范数的定义有很多种,下面介绍常用的欧氏范数,它是二维、三维空间 中长度概念的推广。 1.向量的范数 定义:n维向量空间x=[x1 xnJ的范数定义为 - xi 例如,二维向量空间x=[x1xy的范数定义为:|=√x2+x:三维向量空 间x=[1x2x的范数定义为=x+对+ 矩阵的范数 如果把mxn矩阵A的全体看作是一个向量空间,那么可以把每一个m×n 矩阵称为向量空间中的一个向量,这样就可以定义矩阵的范数。 定义:m×n矩阵A的范数定义为 ∑ (4.3) 例如矩阵A-{14的范数为=同+略+时+吗 化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 第 4 章 控制系统稳定性分析 4.1 稳定性定义与稳定性条件 当系统受到扰动后，其状态偏离平衡状态，在随后所有时间内，系统的 响应可能出现下列情况： 1)系统的自由响应是有界的； 2)系统的自由响应是无界的； 3)系统的自由响应不但是有界的，而且最终回到原先的平衡状态。 李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定的、不稳定的和渐进稳定的。 显然，如果系统不稳定，则系统的响应是无界的，系统的输出将逐渐增加 直到损坏系统，或者进入振荡状态。因此，系统稳定是保证系统能正常工作的 首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。 李雅普诺夫用范数作为状态空间“尺度”的度量。 4.1.1 范数的概念 描述 n 维向量空间，与描述二维、三维空间一样，也要引入“尺度”的 概念，来度量向量的“长度”。可以人为地定义向量空间的“尺度”标准，这 个标准称为向量的范数，记为 ⋅ 。 范数的定义有很多种，下面介绍常用的欧氏范数，它是二维、三维空间 中长度概念的推广。 1. 向量的范数 定义：n 维向量空间 x = [x1 x2 L xn ] T 的范数定义为 2 2 2 2 1 n x = x + x +L+ x (4.1) 例如，二维向量空间 x = [x1 x2 ] T 的范数定义为： 2 2 2 1 x = x + x ；三维向量空 间 x = [x1 x2 x3 ] T 的范数定义为 2 3 2 2 2 1 x = x + x + x 。 2. 矩阵的范数 如果把 矩阵 A 的全体看作是一个向量空间，那么可以把每一个 矩阵称为向量空间中的一个向量，这样就可以定义矩阵的范数。 m× n m× n 定义： m× n 矩阵 A 的范数定义为 (4.2) m m mn m n n a a a a a a A × ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = L M M O M L 1 2 11 12 1 ∑ ∑= = = n j m i A a ij 1 1 2 (4.3) 例如，矩阵 ⎥ 的范数为 ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 21 22 11 12 a a a a A 2 22 2 21 2 12 2 11 A = a + a + a + a 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 1
自动控制原理电子教 412平衡状态 系统没有输入作用时,处于自由运动状态。当系统到达某状态,并且维持 在此状态而不再发生变化的,这样的状态称为系统的平衡状态 根据平衡状态的定义可知,连续系统x=f(x)的平衡状态x是满足平衡 方程x=0即f(x2)=0的系统状态。离散系统x(k+1)=f(x(k)的平衡状态xe, 是对所有的k,都满足平衡方程x2=f(x2,k)的系统状态 首先讨论线性系统x=Ax的平衡状态。由于平衡状态为Ax2=0,因此 当A为非奇异矩阵时,系统只有一个平衡状态x2=0;当A为奇异矩阵时, 系统有无穷多个平衡状态。 对于非线性系统,可能有一个平衡状态,也可能有多个平衡状态。这些平 衡状态都可以由平衡方程解得。下面举例说明 例41求下列非线性系统的平衡状态 12=x+x2-x 解由平衡状态定义,平衡状态x2=[x1x2]应满足 x1+x2-x2=0 0 x2c(1+x2c1-x2e)=0 因此,非线性系统有三个平衡状态:x=b,x2=p-,x3=b可 413李雅普诺夫稳定性定义 1892年,李雅普诺夫给出了稳定性的一般定义,这个定义直到现在仍然 是最严格和最一般的定义。现介绍如下 1.稳定 定义:如果对于任意给定的每个实数E>0,都对应存在着另一实数 6(,)>0,使得从满足不等式|0-xl|s(,0)的任意初态x出发的系 统响应x,在所有的时间内都满足|x-xls,则称系统的平衡状态x是稳定 的。若δ与t0的选取无关,则称平衡状态x2是一致稳定的。 李雅普诺夫稳定的几何含义是:当给定任意正数E为半径的球域s(E) 总能找到一个相应的δ>0为半径的另一个球域s(δ),当t无限增大时,从s(G) 球域内的状态轨迹总不越出s(ε)的球域,这个平衡状态x2就是李雅普诺夫意 义下稳定的。二维状态空间的李氏稳定性的几何意义如图41(a)所示。 2.渐近稳定 定义:若平衡状态x是李雅普诺夫意义下稳定的,并且当t→∞时 ()→x,即lim|x()-x:=0,则称平衡状态x是渐进稳定的。其几何意义 如图41(b所示。 3.大范围(渐近)稳定 定义:如果对任意大的δ,系统总是稳定的,则称系统是大范围(渐进) 稳定的。如果系统总是渐进稳定的,则称系统是大范围渐进稳定的
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 4.1.2 平衡状态 系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系统到达某状态，并且维持 在此状态而不再发生变化的，这样的状态称为系统的平衡状态。 根据平衡状态的定义可知，连续系统 x& = f (x) 的平衡状态 是满足平衡 方程 即 e x x& = 0 f (xe ) = 0 的系统状态。离散系统 x(k +1) = f (x(k)) 的平衡状态 ， 是对所有的 k，都满足平衡方程 e x x f (x , k) e = e 的系统状态。 首先讨论线性系统 x& = Ax 的平衡状态。由于平衡状态为 Axe = 0，因此， 当 A 为非奇异矩阵时，系统只有一个平衡状态 xe = 0；当 A 为奇异矩阵时， 系统有无穷多个平衡状态。 对于非线性系统，可能有一个平衡状态，也可能有多个平衡状态。这些平 衡状态都可以由平衡方程解得。下面举例说明。 例 4.1 求下列非线性系统的平衡状态 ⎩ ⎨ ⎧ = + − = − 3 2 1 2 2 1 1 x x x x x x & & 解 由平衡状态定义，平衡状态 e e x x1 = [ 应满足 T e x ] 2 0 x1e = 0 3 x1e + x2e − x2e = 得 0 3 x 2 e − x 2 e = x 2 e (1 + x 2 e )(1 − x 2 e ) = 0 因此，非线性系统有三个平衡状态： [ ] T e x 1 = 0 0 ， [ ] T e x 2 = 0 −1 ， [ ] T e x 3 = 0 1 。 4.1.3 李雅普诺夫稳定性定义 1892 年，李雅普诺夫给出了稳定性的一般定义，这个定义直到现在仍然 是最严格和最一般的定义。现介绍如下： 1. 稳定 定义：如果对于任意给定的每个实数 ε > 0 ，都对应存在着另一实数 δ (ε ,t0 ) > 0 ，使得从满足不等式 ( , ) 0 0 x x t e − ≤ δ ε 的任意初态 出发的系 统响应 0 x x ，在所有的时间内都满足 − ≤ ε e x x ，则称系统的平衡状态 是稳定 的。若 e x δ 与t0 的选取无关，则称平衡状态 xe 是一致稳定的。 李雅普诺夫稳定的几何含义是：当给定任意正数ε 为半径的球域 s(ε ) ， 总能找到一个相应的δ > 0 为半径的另一个球域 s(δ ) ，当 t 无限增大时，从 s(δ ) 球域内的状态轨迹总不越出 s(ε ) 的球域，这个平衡状态 就是李雅普诺夫意 义下稳定的。二维状态空间的李氏稳定性的几何意义如图 4.1(a)所示。 e x 2. 渐近稳定 定义：若平衡状态 是李雅普诺夫意义下稳定的，并且当 时， ，即 xe t → ∞ e x(t) → x lim ( ) − = 0 →∞ e t x t x ，则称平衡状态 是渐进稳定的。其几何意义 如图 4.1(b)所示。 e x 3. 大范围（渐近）稳定 定义：如果对任意大的δ ，系统总是稳定的，则称系统是大范围（渐进） 稳定的。如果系统总是渐进稳定的，则称系统是大范围渐进稳定的。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 2
自动控制原理电子教 4不稳定 定义:如果对于某一实数E>0,不论δ取多小,由s(a)内出发的轨迹, 至少有一条轨迹越出s(E),则称平衡状态x为不稳定,其几何意义如图4l(c) 所示 必须注意,对于不稳定状态的轨迹尽管越出了(E),却不意味着轨迹将 趋于无穷远处,这是因为对于非线性系统的轨迹还可能趋于s(E)以外的某个 极限。对于线性系统,如果是不稳定的,那么状态轨迹一定是趋于无穷的 在控制工程中,一般希望系统是大范围渐进稳定的,如果系统不是大范围 渐进稳定的,那么就会遇到确定渐进稳定的最大范围的问题,这常常是困难的。 对于线性系统,因为只有一个平衡状态,所以,如果线性系统是稳定的,那么 也一定是大范围渐进稳定的 (a)李氏稳定 (b)渐近稳定 (c)不稳定 图41李氏稳定性定义的几何意义(见教材) 为了更形象地表述李氏稳定性的含义,还可以用图42所示的物理系统来说的 图42李氏稳定性定义的物理意义(见教材) 上述定义对于离散系统也是适用的,只是将连续时间t理解为离散时间k 应注意到,稳定性讨论的是系统没有输入(包括参考输入和扰动)作用或 者输入作用消失以后的自由运动状态。所以,通常通过分析系统的零输入响应, 或者脉冲响应来分析系统的稳定性。 414线性定常连续系统的稳定性条件 1.SISO线性定常连续系统稳定的条件 设描述SISO线性定常连续系统的微分方程为 b,l+be 则系统的特征方程为 D(=ans"+an-IS+.+a,S+a0=0 设特征方程(45)有k个实根λ2,y对共轭复根σ,±j山,则系统的脉冲响应为 ()=Ce+2e@(A, cos(+B, sin odd) 从上式可以看出: )若λ2,σ均为负实部,则有lmy()=0,因此,当所有特征根的 实部都为负时,系统是稳定的 2)若2,σ中有一个或者几个为正,则有Imy(n)=∞,因此,当特 征根中有一个或者几个为正实部时,系统是不稳定的 3)若A1中有一个或者几个为零,而其它λ1,a1均为负,则有limy()为 →) 常数。若σ中有一个或者几个为零,而其它λ、σ均为负,则y()的稳态分 量则为正弦函数。因此,当特征根中有一个或者几个为零,而其它极点均为负 实部时,系统是一种临界情况,称为临界稳定的。临界稳定在李氏稳定性意义 下是稳定的,但在工程上是不允许系统工作在临界稳定状态的,所以,临界稳 定在工程上是不稳定的
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 4 不稳定 定义：如果对于某一实数ε > 0 ，不论δ 取多小，由 s(δ ) 内出发的轨迹， 至少有一条轨迹越出 s(ε ) ，则称平衡状态 为不稳定，其几何意义如图 4.1(c) 所示。 e x 必须注意，对于不稳定状态的轨迹尽管越出了 s(ε ) ，却不意味着轨迹将 趋于无穷远处，这是因为对于非线性系统的轨迹还可能趋于 s(ε ) 以外的某个 极限。对于线性系统，如果是不稳定的，那么状态轨迹一定是趋于无穷的。 在控制工程中，一般希望系统是大范围渐进稳定的，如果系统不是大范围 渐进稳定的，那么就会遇到确定渐进稳定的最大范围的问题，这常常是困难的。 对于线性系统，因为只有一个平衡状态，所以，如果线性系统是稳定的，那么 也一定是大范围渐进稳定的。 (a) 李氏稳定 (b) 渐近稳定 (c) 不稳定 图 4.1 李氏稳定性定义的几何意义 (见教材) 为了更形象地表述李氏稳定性的含义，还可以用图 4.2 所示的物理系统来说的。 图 4.2 李氏稳定性定义的物理意义（见教材） 上述定义对于离散系统也是适用的，只是将连续时间t 理解为离散时间 k 。 应注意到，稳定性讨论的是系统没有输入（包括参考输入和扰动）作用或 者输入作用消失以后的自由运动状态。所以，通常通过分析系统的零输入响应， 或者脉冲响应来分析系统的稳定性。 4.1.4 线性定常连续系统的稳定性条件 1. SISO 线性定常连续系统稳定的条件 设描述 SISO 线性定常连续系统的微分方程为 a y a y a y a y b u b u b u m m n n n n 1 0 ( ) 1 0 ( 1) 1 ( ) + + + + = + + + − − L & L & (4.4) 则系统的特征方程为 ( ) 1 0 0 1 = + 1 + + + = − D s a s a − s a s a n n n n L (4.5) 设特征方程(4.5)有 k 个实根λi ，γ 对共轭复根 i di σ ± jω ，则系统的脉冲响应为 ∑ ∑ = = = + + r i i di i di t k i t i y t C e e A t B t i i 1 1 ( ) ( cosω sinω ) λ σ (4.6) 从上式可以看出： 1）若 λi ，σ i 均为负实部，则有 lim ( ) = 0 →∞ y t t ，因此，当所有特征根的 实部都为负时，系统是稳定的； 2）若 λi ，σ i 中有一个或者几个为正，则有 = ∞ →∞ lim y(t) t ，因此，当特 征根中有一个或者几个为正实部时，系统是不稳定的； 3）若λi 中有一个或者几个为零，而其它λi ，σ i 均为负，则有 为 常数。若 lim y(t) t→∞ σ i 中有一个或者几个为零，而其它λi 、σ i 均为负，则 的稳态分 量则为正弦函数。因此，当特征根中有一个或者几个为零，而其它极点均为负 实部时，系统是一种临界情况，称为临界稳定的。临界稳定在李氏稳定性意义 下是稳定的，但在工程上是不允许系统工作在临界稳定状态的，所以，临界稳 定在工程上是不稳定的。 y(t) 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 3
控制原理电子教 综合上面的讨论结果,可以得到下面的结论 线性定常连续系统稳定的充分必要条件是,系统的全部特征根或闭环极点 都具有负实部,或者说都位于复平面左半部 系统稳定的充分必要条件是稳定性分析的基础,但是,直接检查全部特征 根是否都具有负实部是很困难的,因此,后面将介绍各种稳定性判据。从检查 系统稳定性角度,下面介绍的稳定性必要条件有时是很有用的。 由韦达定理,特征方程的根S与系数a1存在下列关系: siSsO 显然,如果上面的比值存在负值或者为零,则至少有一个正实部根。就是说没 有正实部根的必要条件是特征方程的系数a1同号,而且都不为零。例如,当 an1/an为负时,正实部根的实部之和必须大于负实部根的实部之和的绝对值 即必须有正实部根。因此,有下列结论 系统稳定的必要条件是系统特征方程的系数同号,而且都不为零 必须指出,这仅仅是必要条件,就是说,当特征方程的系数同号,而且都 不为零时,系统并不一定稳定 2.MIMO线性定常连续系统稳定的条件 描述MMO线性定常连续系统的状态方程为 (4.7) 设A有相异特征值A,…,n,则存在非奇异线性变换x=P,使A为对角矩阵, 即 A=PAP=diag(A1…n) 非奇异线性变换后的状态方程的零输入解为 x()=e4x(0)=dig(e…e")x(0) 由于x=P-x,x(0)=P-x(0),所以,原状态方程的零输入解为 x(t)=Pe4P-x(0)=ex(0) (4.8) 可见 将上式展开,“的每个元素都是e少 e=PeAtp-=Diag(e (4.9) e的线性组合,所以可写成矩阵 多项式 化研究所4
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 综合上面的讨论结果，可以得到下面的结论。 线性定常连续系统稳定的充分必要条件是，系统的全部特征根或闭环极点 都具有负实部，或者说都位于复平面左半部。 系统稳定的充分必要条件是稳定性分析的基础，但是，直接检查全部特征 根是否都具有负实部是很困难的，因此，后面将介绍各种稳定性判据。从检查 系统稳定性角度，下面介绍的稳定性必要条件有时是很有用的。 由韦达定理，特征方程的根 Si 与系数 ai 存在下列关系： ∏ ∑ ∑ ∑ = ≠ ≠ = − ≠ = − = − = − = − = = − n i i n n n i j k i j k i j k n n n i j i j i j n n n i i n n s a a s s s a a s s a a s a a 1 0 , , 1 3 , 1 2 1 1 ( 1) L 显然，如果上面的比值存在负值或者为零，则至少有一个正实部根。就是说没 有正实部根的必要条件是特征方程的系数 同号，而且都不为零。例如，当 为负时，正实部根的实部之和必须大于负实部根的实部之和的绝对值， 即必须有正实部根。因此，有下列结论： ai an an / −1 系统稳定的必要条件是系统特征方程的系数同号，而且都不为零。 必须指出，这仅仅是必要条件，就是说，当特征方程的系数同号，而且都 不为零时，系统并不一定稳定。 2. MIMO 线性定常连续系统稳定的条件 描述 MIMO 线性定常连续系统的状态方程为 x& = Ax + Bu (4.7) 设 A 有相异特征值λ λ n , , 1 L ，则存在非奇异线性变换 x = Px ，使 A 为对角矩阵， 即 ( ) 1 1 A = P AP = diag λ L λ n − 非奇异线性变换后的状态方程的零输入解为 ( ) (0) ( ) (0) 1 x t e x diag e e x At t t λ L λn = = 由于 x P x −1 = ， (0) (0) 1 x P x − = ，所以，原状态方程的零输入解为 ( ) (0) (0) 1 x t Pe P x e x At At = = − (4.8) 可见， 1 1 ( ) − 1 − e = Pe P = Pdiag e e P At At t t λ L λn (4.9) 将上式展开， 的每个元素都是 的线性组合，所以可写成矩阵 多项式 At e t t n e e λ λ , , 1 L 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 4
自动控制原理电子教 所以 x(1)=e4x(0)=[R1e+…+ R,]x(() (4.10) 从上式可见,当A的所有特征值位于复平面左半平面,即Re(λ1)<0,i=1,…,n, 则对任意x(0),有limx(t)=0,系统渐进稳定。只要有一个特征值的实部大 于零,对于x(0)≠0,limx(1)=∞,系统不稳定。当有特征值的实部等于零 而其它特征值的实部小于零,则随着时间的增加,x(1)趋于常值或者为正弦波 系统是李雅普诺夫意义下稳定的,或者称为临界稳定的 当A具有重特征值时,x(1)含有tex,t2e",…诸项,稳定性结论同上。 从上述分析,可以看出MIMO线性定常连续系统的稳定性条件。 MIMO线性定常连续系统稳定的充分必要条件是,系统矩阵A的全部特 征值具有负实部,或者说都位于复平面左半部。 41.5线性定常离散系统的稳定性 线性定常连续系统稳定的充分必要条件是,所有特征根均具有负实部, 或者闭环系统的极点均在复平面的左半部。同样,可以根据线性离散系统的特 征值或者闭环系统的脉冲传递函数的极点分布判断其稳定性 1.SISO线性定常离散系统稳定性条件 设线性定常离散系统的脉冲传递函数为Φ(),则系统输出的Z变换为 Y()=M() N()(=)=d()R() 现在讨论系统在单位脉冲序列离散信号(R(x)=1)作用下的输出响应序列。 (1)d)有n个互异的单极点P,i=12…,n Y()可以展成 r()=∑4 相应的脉冲响应序列为 y(k)=∑4(P),k≥0 从式(.12)可以看出,如果所有的极点在单位圆内即|p|<1,1=12,…n 则limy(k)=0,所以,系统是渐近稳定的。 如果其中有一个极点在单位圆上,设|p1=1,而其余极点均在单位圆内, 则imyv(k)=A1,所以,系统是李雅普诺夫意义下稳定的,又称临界稳定。 如果有一个或一个以上的极点在单位圆外,则lmy(k)=∞,所以,系统 是不稳定的。 (2)Φ()有一对共轭复数极点 Pi, Pi+=pilet/
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 t n t n i t i At i n e R e R e R e λ λ λ =∑ = + + = 1 1 L 1 所以， ( ) (0) [ ] (0) 1 1 x t e x R e R e x t n At t λ λn = = +L+ (4.10) 从上式可见，当 A 的所有特征值位于复平面左半平面，即 Re(λi ) < 0 ，i = 1,L, n ， 则对任意 ，有 ，系统渐进稳定。只要有一个特征值的实部大 于零，对于 ， x(0) lim ( ) = 0 →∞ x t t x(0) ≠ 0 = ∞ →∞ lim x(t) t ，系统不稳定。当有特征值的实部等于零， 而其它特征值的实部小于零，则随着时间的增加， 趋于常值或者为正弦波， 系统是李雅普诺夫意义下稳定的，或者称为临界稳定的。 x(t) 当 A 具有重特征值时， x(t) 含有 , , L诸项，稳定性结论同上。 t 2 t te t e λ λ 从上述分析，可以看出 MIMO 线性定常连续系统的稳定性条件。 MIMO 线性定常连续系统稳定的充分必要条件是，系统矩阵 A 的全部特 征值具有负实部，或者说都位于复平面左半部。 4.1.5 线性定常离散系统的稳定性 线性定常连续系统稳定的充分必要条件是，所有特征根均具有负实部， 或者闭环系统的极点均在复平面的左半部。同样，可以根据线性离散系统的特 征值或者闭环系统的脉冲传递函数的极点分布判断其稳定性。 1. SISO 线性定常离散系统稳定性条件 设线性定常离散系统的脉冲传递函数为Φ(z) ，则系统输出的 Z 变换为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R z z R z N z M z Y z = ⋅ = Φ (4.11) 现在讨论系统在单位脉冲序列离散信号( R(z) = 1)作用下的输出响应序列。 （1）Φ(z) 有 n 个互异的单极点 pi ，i = 1,2,L, n 。 Y(z) 可以展成 ∑= − = ⋅ n i i i z p z Y z A 1 ( ) 相应的脉冲响应序列为 ∑ , (4.12) = = n i k i i y k A p 1 ( ) ( ) k ≥ 0 从式(4.12)可以看出，如果所有的极点在单位圆内，即 < 1 i p ，i = 1,2,L, n ， 则 lim ( ) = 0 ，所以，系统是渐近稳定的。 →∞ y k k 如果其中有一个极点在单位圆上，设 1 p1 = ，而其余极点均在单位圆内， 则 ，所以，系统是李雅普诺夫意义下稳定的，又称临界稳定。 1 lim y(k) A k = →∞ 如果有一个或一个以上的极点在单位圆外，则 = ∞ →∞ lim y(k) k ，所以，系统 是不稳定的。 （2）Φ(z) 有一对共轭复数极点 i j i i i p p p e± θ , +1 = 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 5