因此,系统的状态方程为 a,n-rn+bi 输出方程为 表达为矩阵形式 (2.4a) -an}[b」 这种实现所得到的状态空间表达式具有明显的规律性,在后面的系统分析与设计中比 较常用。 例2.10已知系统的微分方程为y+3y+2y+y=r,求状态空间表达式 解选取状态变量为x1=y,x2=j,x3=j,则由式(2.44)得状态空间描述为 010 l00 3.微分方程含有输入的导数项 这时,一般描述为 y/m)+an1y{m-)+…+a1+ay=bn(m)+…+bi+bu 状态变量的选取:对于这种情况不能选输出及其各阶导数作为状态变量。因为如果把 y,j,…,ym)作为状态变量,则状态方程为 =-a0x1-a1x2-…-an1xn+bnl(m)+bhnlmn)+…+b1i+bu 这时,状态变量中包含了输入信号的导数项,使得当输入信号出现阶跃时,状态变量将是 不确定的,不满足选择状态变量的要求,因此,在这种情况下,不能选择y,j,…,y(m
因此，系统的状态方程为 (2.43a) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − − − − + = = = − − x a x a x a x bu x x x x x x n n n n n 0 1 1 2 1 1 2 3 1 2 & L & M & & 输出方程为 1 y = x (2.43b) 表达为矩阵形式 u (2.44a) b x x x a a a a x x x n n n ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 1 2 1 2 1 M M L L L O L L & M & & [ ] (2.44b) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n x x x y M L 2 1 1 0 0 这种实现所得到的状态空间表达式具有明显的规律性，在后面的系统分析与设计中比 较常用。 例 2.10 已知系统的微分方程为&y&&+ 3& y& + 2y& + y = r ,求状态空间表达式。 解 选取状态变量为 x1 = y ， x = y& 2 ， x = & y& 3 ，则由式(2.44)得状态空间描述为 [ ] 1 0 0 1 0 0 1 2 3 0 0 1 0 1 0 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − A = B C 3．微分方程含有输入的导数项 这时，一般描述为 y a y a y a y b u b u b u n n n n n 1 0 ( ) 1 0 ( 1) 1 ( ) + + + + = + + + − − L & L & (2.45) 状态变量的选取：对于这种情况不能选输出及其各阶导数作为状态变量。因为如果把 y ， y& ，L, 作为状态变量，则状态方程为 (n−1) y ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − − − − + + + + + = = = − − − − x a x a x a x b u b u b u b u x x x x x x n n n n n n n n n 1 0 ( 1) 1 ( ) 0 1 1 2 1 1 2 3 1 2 & L L & & M & & 这时，状态变量中包含了输入信号的导数项，使得当输入信号出现阶跃时，状态变量将是 不确定的，不满足选择状态变量的要求，因此，在这种情况下，不能选择 y ，y& ，L, (n−1) y
作为状态变量 (1)解决方法 选取系统的状态变量为 h,u=y-hoi-h,u-h,u 其中,h,h,…,b。1是n个待定系数。整理上式可得 x2=x3+h2 (2.47) 对式(2.46)中最后一式求导,得 由微分方程(2.45)得 m)=-an-1y{m-)-…-a1j-a0y+b,n(m)+ +b,u+bou ao(x1+hou) +b,u(m)+b-um-)+.+bi+bou -an-I-"n an2(h-2)+…+bhn-2n) +bn0)+…+bli+bl 将(2.49)代入(2.48)得 +(bn-h、-2xn1-an-1xn +(bn-2-h2-amh1-an-2h0)(m-2) 选择待定系数h,h,…,h-使元中输入信号的各阶导数项的系数均为零,即
作为状态变量。 （1）解决方法一 选取系统的状态变量为 (2.46) x x h u y h u h u h u h u x x h u y h u h u h u x x h u y h u h u h u x x h u y h u h u x y h u n n n n n n n n n n n n n n n 2 1 ( 2) 1 ( 1) 0 ( 1) 1 1 2 ( 3) 1 ( 2) 0 ( 2) 1 2 2 3 2 2 0 1 2 2 1 1 0 1 1 0 − − − − − − − − − − − − − − = − = − − − − − = − = − − − − = − = − − − = − = − − = − & L & & L M & && && & & & & 其中， h0， h1，L, hn−1是 n 个待定系数。整理上式可得 (2.47) x x h u x x h u x x h u n 1 n n 1 2 3 2 1 2 1 − = + − = + = + & M & & 对式(2.46)中最后一式求导，得 x y h u h u hn u (2.48) n n n n& L & 1 ( 1) 1 ( ) 0 ( ) − − = − − − − 由微分方程(2.45)得 y a y a y a y b u b u b u b u n n n n n n n 1 0 ( 1) 1 ( ) 1 0 ( 1) 1 ( ) = − − − − + + + + + − − − − L & L & (2.49) b u b u b u a h u a h u h u a h u h u a x a x a x b u b u b u b u a x h u h u a x h u n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 1 0 ( ) 0 0 2 ( 2) 2 0 1 ( 1) 1 0 1 2 1 0 1 1 0 ( 1) 1 ( ) 1 0 1 0 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + − − + + − + + = − − − − + + + + + = − + + + − − + − − − − − − − − − − − − − − L & M L L L L & L L 将(2.49)代入(2.48)得 (2.50) b a h a h a h u b h a h a h a h u b h a h a h u b h a h u b h u x a x a x a x a x n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 2 2 0 0 1 1 1 2 2 3 1 0 ( 2) 2 2 1 1 2 0 ( 1) 1 1 1 0 ( ) 0 0 1 1 2 2 1 1 + − − − − + − − − − − + − − − + − − + − = − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − L L & M & L 选择待定系数 h0， h1，L, hn−1使 x&n 中输入信号的各阶导数项的系数均为零，即
b, -ho=0 h, -a,ho h a1h0=0 且令文中输入项的系数为hn,即 联立(2.47)、(2.53)即为状态方程 十 (2.54) n=-aox - r 2--an-2xmn--am-fn+h,u 表达为矩阵形式 0 001 0 (2.55a) 000 1 hr 输出方程为 y=xI 其中,h,h,…,hn由式(251)和(2.52)确定,可写成如下便于记忆的矩阵形式 ho=b mn-ho +h,=bmj ho+a,,+hy a, ho h+h aoho++an- hm-2+an-h,-+h,=bo 则 b 0 h2 (2.56b) hn」Lb 因此有
(2.51) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − − − − = − − − = − − = − = − − − − − − − − − − 0 0 0 0 1 1 1 2 2 3 1 0 2 2 1 1 2 0 1 1 1 0 0 b h a h a h a h b h a h a h b h a h b h n n n n n n n n n n n L M 且令 x&n 中输入项的系数为 hn ，即 hn = b0 − an−1hn−1 − an−2hn−2 −L− a0h0 (2.52) 则 x&n = −a0 x1 − a1x2 −L− an−2 xn−1 − an−1xn + hnu (2.53) 联立(2.47)、(2.53)即为状态方程 (2.54) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − − − − − + = + = + = + − − − − − x a x a x a x a x h u x x h u x x h u x x h u n n n n n n n n n 0 1 1 2 2 1 1 1 1 2 3 2 1 2 1 & L & M & & 表达为矩阵形式 u (2.55a) h h h h x a a a a x n n n ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = − − 1 2 1 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 M L L L O L L & 输出方程为 y = x1 + h0u = [1 0 L 0]x + h0u (2.55b) 其中, h0， h1，L, hn 由式(2.51)和(2.52)确定，可写成如下便于记忆的矩阵形式 （2.56a） ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + + + = + + + = + + = + = = − − − − − − − − − − − − 0 0 2 2 1 1 0 1 0 1 2 1 1 2 0 1 1 2 2 1 0 1 1 0 a h a h a h h b a h a h h b a h a h h b a h h b h b n n n n n n n n n n n n n n L L M 则 （2.56b） ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − 0 1 2 1 1 2 1 0 0 1 2 1 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 0 b b b b b h h h h h a a a a a a a a a a n n n n n n n n n M M L L L O 因此有
h,an-I 1 (2.57) 从式(2.56)可见,当b1=…=bn=0,bo=b时可得h=…=hn=0,hn=b,代 入式(2.55)可得式(2.44),就是前面讨论的微分方程不含有输入导数项的情况 例2.11y+9y+8j=i+4n+u 解由式(2.57)得 100 000 0|0 h9100 h28910 h」L0891 -58573 取状态变量为 由式(2.55a)得系统的状态方程描述为 010 xx (2)解决方法二 这种方法的思路是基于方框图变换,与微分方程(2.45)等效的方框图如图(2.8a),等 bs"+be-s"1+…+bs+b a3+…+a1+a0 图2.8传递函数的串联分解
（2.57） ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − 0 1 2 1 1 0 1 2 1 1 2 3 2 1 1 1 2 1 0 1 1 1 1 1 0 b b b b b a a a a a a a a a a h h h h h n n n n n n n n n M L L M L O 从式（2.56）可见，当b1 = L = bn = 0，b0 = b 时可得 h0 =L= hn−1 = 0， ，代 入式(2.55)可得式(2.44)，就是前面讨论的微分方程不含有输入导数项的情况。 hn = b 例 2.11 &y&&+ 9& y& + 8y& = u&&+ 4u& + u 解 由式（2.57）得 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 38 5 1 0 1 4 1 0 585 73 9 1 73 9 1 0 9 1 0 0 1 0 0 0 1 4 1 0 0 8 9 1 8 9 1 0 9 1 0 0 1 0 0 0 1 3 2 1 0 h h h h 取状态变量为 x = y − h u = y 1 0 x x h u x u x x h u x u 5 3 2 2 2 2 1 1 1 = − = + = − = − & & & & 由式(2.55a)得系统的状态方程描述为 u x x x x x x ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 38 5 1 0 8 9 0 0 1 0 1 0 3 2 1 3 2 1 & & & [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 3 2 1 1 0 0 x x x y （2）解决方法二 这种方法的思路是基于方框图变换，与微分方程(2.45)等效的方框图如图（2.8a），等 图2.8 传递函数的串联分解 U(s) 1 0 1 1 1 0 1 1 s a s a s a b s b s b s b n n n n n n n + + + + + + + + − − − − L L Y(s) U(s) 1 0 1 1 1 s a s a s a n n n + + + + − − L Z(s) 1 0 1 b s b 1s b s b n n n n + + + + − − L Y(s) (a) (b)
效变换为图(2.8b) 引入中间变量z,则微分方程(2.45)可以化成下面两个方程表示 a,、n+“+a12+a02=l (2.58a) 取状态变量为 二,x ,x, (n)=-an- 所以,状态方程为 (2.59a) 由式(2.58)得输出方程为 y=box1+b,x2+.+bm-n+b(-aox,,r2 an-Ixn +u b 般bn=0,则 这种方案选择的状态变量已不具有明显的物理意义,但便于记忆。注意:从这里不能得 到前面讨论的微分方程右边不含有输入导数项的这个特例 例2.12y+9j+8y=i+4+u 解由式(2.59)得状态空间描述为 4 由输入输出描述构造状态空间描述,即系统实现问题的方法还很多,例如由传递函数构
效变换为图（2.8b）。 引入中间变量 z，则微分方程(2.45)可以化成下面两个方程表示 z a z a z a z u （2.58a） n n n + + + + = − − 1 0 ( 1) 1 ( ) L & y b z b z b z b z （2.58b） n n n n 1 0 ( 1) 1 ( ) = + + + + − − L & 取状态变量为 x1 = z ， x2 = z& ， x = & z& 3 ， ( 1) , − = n n L x z 则 x z a z a z a z u n n n n = = − − − − + − − 1 0 ( 1) 1 ( ) & L & = −a0 x1 − a1x2 −L− an−1xn + u 所以，状态方程为 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − − − − + = = = − − x a x a x a x u x x x x x x n n n n n 0 1 1 2 1 1 2 3 1 2 & L & M & & 或 x u (2.59a) a a a a x n ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = − 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 2 1 0 M L L & L O 由式(2.58)得输出方程为 ( ) y = b0 x1 + b1x2 +L+ bn−1xn + bn −a0 x1 − a1x2 −L− an−1xn + u = [ ] b0 b1 L bn−1 x − bn [a0 a1 L an−1 ]x + bnu (2.59b) 一般bn = 0 ，则 y [b b b x 0 1 n−1 = L ] (2.59c) 这种方案选择的状态变量已不具有明显的物理意义，但便于记忆。注意：从这里不能得 到前面讨论的微分方程右边不含有输入导数项的这个特例。 例 2.12 &y&&+ 9& y& + 8y& = u&&+ 4u& + u 解 由式（2.59）得状态空间描述为 x x u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 1 0 0 0 8 9 0 0 1 0 1 0 & y = [ ] 1 4 1 x 由输入输出描述构造状态空间描述，即系统实现问题的方法还很多，例如由传递函数构