自动控制原理电子教案 第3章离散控制系统的数学模型 由于计算机的飞速发展,计算机控制系统得到广泛的应用,离散系统控制理论 具有越来越重要的地位。由于离散系统中存在采样、保持、数字处理等过程,离散 系统具有一些独特的性能。下面首先讨论采样与保持这些离散系统的特殊问题的数 学描述,然后建立离散系统的数学模型。 3.1信号的采样与保持 3.1.1信号的采样 1.采样过程 如图3.1所示计算机控制系统,被控对象是在连续信号作用下工作的,其控制 信号u1()、输出信号c(t)及其反馈信号f(r)、参考输人信号r(t)等均为连续信号 而计算机的输入、输出信号是离散的数字信号。 1()被控c() 计算机 对象 图3.1计算机控制系统框图 由于计算机处理的是二进制的数椐,其输人信号不能是连续信号,所以误差信 号e()要经过模数转换器(A/①)变成计算机能接受的数字信号e(k7)。这种将连续 信号变为离散信号的过程称为采样。 实际采样装置是多种多样的,但无论其具体实现如何,其基本功能可以用一个 开关表示,通常称为采样开关所示。连续信号e()加在采样开关一端,采样开关以 一定规律开闭,另一端便得到离散信号e'()。采样开关每次闭合时间ε极短,可以 认为是瞬间完成。这样开关闭合一次,就认为得到连续信号e(1)的某一时刻的值 e(kT)。这样的采样开关称为理想采样开关,以后所说的采样开关都是指理想采样 开关,简称为采样开关。 根据采样开关闭合的规律,可以将采样进行分类 如果采样开关是等时间间隔采样,则称为普通采样、均匀采样、周期采样等 采样间隔时间称为采样周期,常用T表示。 如果采样的时间间隔是时变的,则称为非周期采样、非均匀采样等。 如果采样开关采样的时间间隔是随机的,则称为随机采样 一个离散系统中往往存在多个采样开关。如果系统中所有采样开关同时采样, 则称为同步采样,否则称为非同步采样。如果所有采样开关都是均匀采样,但采样 周期不等,则称为多速采样。 下面只研究同步周期采样系统 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 1 - 第 3 章 离散控制系统的数学模型 由于计算机的飞速发展，计算机控制系统得到广泛的应用，离散系统控制理论 具有越来越重要的地位。由于离散系统中存在采样、保持、数字处理等过程，离散 系统具有一些独特的性能。下面首先讨论采样与保持这些离散系统的特殊问题的数 学描述，然后建立离散系统的数学模型。 3.1 信号的采样与保持 3.1.1 信号的采样 1. 采样过程 如图 3.1 所示计算机控制系统，被控对象是在连续信号作用下工作的，其控制 信号 、输出信号 c(t)及其反馈信号 、参考输人信号 r(t)等均为连续信号， 而计算机的输入、输出信号是离散的数字信号。 ( ) 1 u t f (t) A/ D r(t) c(t) 数字 计算机 f (t) D / A e(t) e(kT) u(kT) ( ) 1 u t 被控 对象 反馈装置 图3.1 计算机控制系统框图 由于计算机处理的是二进制的数椐，其输人信号不能是连续信号，所以误差信 号 要经过模数转换器（A/D）变成计算机能接受的数字信号 。这种将连续 信号变为离散信号的过程称为采样。 e(t) e(kT) 实际采样装置是多种多样的，但无论其具体实现如何，其基本功能可以用一个 开关表示，通常称为采样开关所示。连续信号 加在采样开关一端，采样开关以 一定规律开闭，另一端便得到离散信号 。采样开关每次闭合时间 e(t) ( ) * e t ε 极短，可以 认为是瞬间完成。这样开关闭合一次，就认为得到连续信号 的某一时刻的值 。这样的采样开关称为理想采样开关，以后所说的采样开关都是指理想采样 开关，简称为采样开关。 e(t) e(kT) 根据采样开关闭合的规律，可以将采样进行分类。 如果采样开关是等时间间隔采样，则称为普通采样、均匀采样、周期采样等。 采样间隔时间称为采样周期，常用 T 表示。 如果采样的时间间隔是时变的，则称为非周期采样、非均匀采样等。 如果采样开关采样的时间间隔是随机的，则称为随机采样。 一个离散系统中往往存在多个采样开关。如果系统中所有采样开关同时采样， 则称为同步采样，否则称为非同步采样。如果所有采样开关都是均匀采样，但采样 周期不等，则称为多速采样。 下面只研究同步周期采样系统。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 1
自动控制原理电子教案 2.采样信号的数学描述 为了对采样系统进行定量、定性研究,就必须用数学表达式描述信号的采样过 程,研究离散信号的性质。下面首先研究采样信号的数学表达式 连续信号f()经过以周期T均匀采样的理想采样开关,得到离散序列{(kT)} k=01,2,。令f+(t)代表采样信号,可以表达为 f)=∑f(kn)(-k (3.1) 其中δ(-k7)为单位冲激函数(狄拉克δ函数)。由于当t≠kT时,b(t-k7)=0,所以 f()=f(∑6(-kT) (3.2) 若定义 1)=∑5(-An (3.3) f'(n)=f(1)6r() (3.4) 式(3.1)或式(3.4)就是采样信号的数学表达式。由式(3.1)或式(3.4)可求出采样信 号的拉普拉斯变换表达式。对式(3.1)进行拉氏变换,得 F'()=∑fkn)e (3.5) 式(3.5)是采样信号的拉氏变换表达式,后面将由式(3.5)建立Z变换与拉氏变换之 间的重要联系。 下面对式(3.4)进行拉氏变换,可以得到另一形式的采样信号的拉氏变换表达 式。因为δr()是周期函数,所以,可以展开为复数形式的付里叶( Fourier)级数 (3.6) 其中,=2/T为采样角频率;ck由下式计算 (3.7) 将式(3.7)代入式(3.6),得 将式(3.8)代入式(3.4),得 f(0=0)∑1=1/(k (3.9) 对式(3.9)取拉氏变换,得 F'()=∑Loek 设F(s)=LLf(),由拉氏变换位移定理,得 F(S)ISF(S+ jko,) (3.10) 式(3.10)称为泊松( Poisson)求和公式。它把采样信号f'()的拉氏变换F'(s)与原连 续信号∫(1)的拉氏变换F()联系起来。可以直接从F(S)找出F(s)的频率响应 下面就会看到,由于F(s)表示成s的周期函数,在进行f()的频谱分析时很方便, 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 2 - 2. 采样信号的数学描述 为了对采样系统进行定量、定性研究，就必须用数学表达式描述信号的采样过 程，研究离散信号的性质。下面首先研究采样信号的数学表达式。 连续信号 经过以周期 T 均匀采样的理想采样开关，得到离散序列 。令 f*(t)代表采样信号，可以表达为 f (t) { f (kT)} k = 0,1,2,K ( ) ∑ (3.1) +∞ = = − 0 * ( ) ( ) k f t f kT δ t kT 其中δ (t − kT) 为单位冲激函数(狄拉克δ 函数)。由于当t ≠ kT 时，δ (t − kT) = 0，所以 ( ) ∑ (3.2) +∞ = = − 0 * ( ) ( ) k f t f t δ t kT 若定义 (3.3) ( ) ∑ +∞ = = − 0 ( ) k T δ t δ t kT 则 ( ) ( ) ( ) (3.4) * f t f t t = δ T 式(3.1)或式(3.4)就是采样信号的数学表达式。由式(3.1)或式(3.4)可求出采样信 号的拉普拉斯变换表达式。对式(3.1)进行拉氏变换，得 ∑ (3.5) +∞ = − = 0 * ( ) ( ) k kTs F s f kT e 式(3.5)是采样信号的拉氏变换表达式，后面将由式(3.5)建立 Z 变换与拉氏变换之 间的重要联系。 下面对式(3.4)进行拉氏变换，可以得到另一形式的采样信号的拉氏变换表达 式。因为 (t) δ T 是周期函数，所以，可以展开为复数形式的付里叶(Fourier)级数 (3.6) ( ) jk t k k T s t c e ω δ ∑ +∞ =−∞ = 其中，ω s = 2π / T 为采样角频率；c 由下式计算 k t e dt T c jk t T k T T ω s δ − −∫ = ( ) 1 2 2 T t e dt T jk t T T s 1 ( ) 1 2 2 = = − −∫ ω δ (3.7) 将式(3.7)代入式(3.6),得 ( ) jk t k T s e T t ω δ ∑ +∞ =−∞ = 1 (3.8) 将式(3.8)代入式(3.4),得 jk t k s e T f t f t ω ∑ +∞ =−∞ = 1 ( ) ( ) * jk t k s f t e T ω ∑ +∞ =−∞ = ( ) 1 (3.9) 对式(3.9)取拉氏变换，得 ∑ [ ] +∞ =−∞ = k jk ts L f t e T F s ω ( ) 1 ( ) * 设 F(s) = L[ f (t)]，由拉氏变换位移定理，得 ∑ +∞ =−∞ = + k s F s jk T F s ( ) 1 ( ) * ω (3.10) 式(3.10)称为泊松(Poisson)求和公式。它把采样信号 的拉氏变换 与原连 续信号 的拉氏变换 联系起来。可以直接从 找出 的频率响应。 下面就会看到，由于 表示成 s 的周期函数，在进行 的频谱分析时很方便， ( ) * f t ( ) * F s f (t) F(s) F(s) ( ) * F s ( ) * F s ( ) * f t 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 2
自动控制原理电子教 可以清楚看出频谱混叠的影响。 上面得到了式(3.5)和(3.10)式表示的采样信号的拉氏变换的两种等价表达式。 虽然这两个式子都是无穷级数,但用式(3.5)通常可以把F'(s)写成闭式,即解析函 数的形式,而用式(3.10)却不能把F(s)写成闭式 3.采样定理 在计算机控制系统中,数字计算机的输出是数字序列,需要经过数一模转换器 ①D/A,将它变成连续的控制信号驱动控制装置。这种将离散信号变为连续信号的过 程称为复现或保持。复现信号的装置通常称为保持器。 为了从离散信号复现出连续信号,需要解决两个问题:第一、理论上能否从离 散信号f'(1)恢复到原连续信号f()?或者说,f()是否包含了f(1)的全部信息? 第二,实际上采用什么样的保持器? 本节首先介绍采样定理,它从理论上给出了信号复现的条件。然后介绍复现信 号的装置,主要介绍最常用的零阶保持器。 显然,采样频率越高,∫'()越接近∫(t)。但实际上采样频率不能任意高,总有 定的限度。采样频率越高,物理上越难实现。那么,釆样频率多高,才有可能从∫'() 恢复到∫(ω)?采样定理从理论上解决了这一难题,它给出了采样信号复现原连续信 号必需的最低采样频率。这一定理首先是由奈奎斯特( Nyquist,1928提出的。并且后 来为香农( Shannon,1948)从信息理论的观点所证明。采样定理的基本内容叙述如下 采样定理:若采样器的采样频率o,大于或等于其输入连续信号f()的频谱中最 高频率am的两倍,即o≥om,则能够从采样信号f()中完全复现f() 采样定理的结论不难从频谱分析所得到的结论作直观的说明。下面根据式(3.10) 分析采样信号的频谱 在式(3.10)中令s=jo,得采样信号的频率特性为 G@+ jko) (3.11) 般说来,连续时间函数f(t)的幅频谱|F(o)是一个单一的连续频谱,其频谱 中最高频率是无限的。如图3.2(a)所示,实际上,当频率相当高时,|F(o)的值很 小。所以,认为实际信号具有有限的最高频率omx。 图3.3连续信号的频谱 将(3.11)式展开得 FO @s)+-FGo-jo,)+-F(o)+-F(o+jo) 广'm+o)-…+r-)+rn)+r(m+) (Oo) 更为一般地有 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 3 - 可以清楚看出频谱混叠的影响。 上面得到了式(3.5)和(3.10)式表示的采样信号的拉氏变换的两种等价表达式。 虽然这两个式子都是无穷级数，但用式(3.5)通常可以把 写成闭式，即解析函 数的形式，而用式(3.10)却不能把 写成闭式。 ( ) * F s ( ) * F s 3. 采样定理 在计算机控制系统中，数字计算机的输出是数字序列，需要经过数—模转换器 (D/A)，将它变成连续的控制信号驱动控制装置。这种将离散信号变为连续信号的过 程称为复现或保持。复现信号的装置通常称为保持器。 为了从离散信号复现出连续信号，需要解决两个问题：第一、理论上能否从离 散信号 恢复到原连续信号 ？或者说， 是否包含了 的全部信息？ 第二，实际上采用什么样的保持器？ ( ) * f t f t( ) ( ) * f t f t( ) 本节首先介绍采样定理，它从理论上给出了信号复现的条件。然后介绍复现信 号的装置，主要介绍最常用的零阶保持器。 显然，采样频率越高， 越接近 。但实际上采样频率不能任意高，总有 一定的限度。采样频率越高，物理上越难实现。那么，采样频率多高，才有可能从 恢复到 ？采样定理从理论上解决了这一难题，它给出了采样信号复现原连续信 号必需的最低采样频率。这一定理首先是由奈奎斯特(Nyquist,1928)提出的。并且后 来为香农(Shannon,1948)从信息理论的观点所证明。采样定理的基本内容叙述如下： ( ) * f t f t( ) ( ) * f t f t( ) 采样定理：若采样器的采样频率ω s 大于或等于其输入连续信号 的频谱中最 高频率 f (t) ω max 的两倍，即ω s ≥ ω max ，则能够从采样信号 ( ) 中完全复现 。 * f t f (t) 采样定理的结论不难从频谱分析所得到的结论作直观的说明。下面根据式(3.10) 分析采样信号的频谱。 在式(3.10)中令 s = jω ，得采样信号的频率特性为 ∑ +∞ =−∞ = + k s F j jk T F j ( ) 1 ( ) * ω ω ω (3.11) 一般说来，连续时间函数 f(t)的幅频谱 F(jω) 是一个单一的连续频谱，其频谱 中最高频率是无限的。如图 3.2(a)所示，实际上，当频率相当高时， F(jω) 的值很 小。所以，认为实际信号具有有限的最高频率ω max 。 图 3.3 连续信号的频谱 将(3.11)式展开得 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) * ω ω ω ω ω F jω T F j j T F j j T F j =L+ − s + − s + + ( + ) +L 1 s F j j T ω ω 令ω = ω o +ω s ，得 ( ) * o s F jω + jω ( ) 1 ( ) 1 ω 0 ω ω 0 F j T F j j T =L+ − s + ( ) 1 0 s F j j T + ω + ω + ( + 2 ) +L 1 0 s F j j T ω ω ( ) 0 * = F jω 更为一般地有 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 3
自动控制原理电子教案 ( k=0±1,+2, 可见,F(jo)是一个周期函数,周期为o,在区间[-omx,Ooma]内 F(O-Jj20,)+=FG@-JOs)+=FGo) +=Fo+jO)+-F(@+j2@s)+ 由于o≤-m或≥om时,F(1o)=0,所以,当满足22mnm,则有 7F(O+kO,)=0k=+1+2 则 ()=1F(o) '(o)-r(o (3.14) 这样,根据F'(o)是一个周期为O,的周期函数和在区间[omx,Om]内, (o)=r|r(o),可知采样信号广的频谱如图3.3()所示 图3.3离散信号的频谱 如果不满足“≥om即a<20m则在区间[om,Oom]内,F'o)≠1F(o) F(o)频谱中各波形会相互重叠,如图3.3(b)所示,这就是“频谱混叠”现象 从图3.3(a)可以看出,当a,≥2om,如果f()经过一个如图3.4(a)所示的 理想滤波器,则可把k=0以外的频率响应都滤掉,如图3.4(b)所示,这时信号的频 谱只是在幅值上为原信号频谱的,而形状一样。因此,∫()经过理想低通滤波器 后,就可以恢复到f(1)了(严格地说,还要线性放大倍)。 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 4 - ( ) ( ) * * F jω + jkω s = F jω k = 0,±1,±2,L (3.12) 可见， F * ( jω) 是一个周期函数，周期为ω s ，在区间[−ω max ,ω max ]内， ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) * ω ω ω ω ω F jω T F j j T F j j T F j =L+ − s + − s + ( ) 1 s F j j T + ω + ω + ( + 2 ) +L 1 s F j j T ω ω 由于ω ≤ −ω max 或ω ≥ ω max 时， F( jω) = 0 ，所以，当满足 max 2 ω ω ≥ s ，则有 ( ) 0 1 F j + jk s = T ω ω k = ±1,±2,L 则 ( ) 1 ( ) * ω F jω T F j = (3.13) ( ) ω F( jω) T F j * 1 = (3.14) 这样，根据 F * ( jω) 是一个周期为 ω s 的周期函数和在区间 [−ω max ,ω max ] 内， ( ) ω F( jω) T F j * 1 = ,可知采样信号 ( ) 的频谱如图 3.3(a)所示。 * f t 图 3.3 离散信号的频谱 如果不满足 max 2 ω ω ≥ s 即ω < 2ω max 则在区间[−ω max ,ω max ]内， ( ) * F jω ( ) 1 F jω T ≠ 。 F ( jω) * 频谱中各波形会相互重叠，如图 3.3(b)所示，这就是“频谱混叠”现象。 从图 3.3 (a)可以看出，当ω s ≥ 2ω max ，如果 经过一个如图 3.4(a)所示的 理想滤波器，则可把 k=0 以外的频率响应都滤掉，如图 3.4(b)所示，这时信号的频 谱只是在幅值上为原信号频谱的 ( ) * f t T 1 ，而形状一样。因此， 经过理想低通滤波器 后，就可以恢复到 了(严格地说，还要线性放大 ( ) * f t f (t) T 1 倍)。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 4
自动控制原理电子教案 从图3.3(b)可以看出,当o,<2om时,∫()经过理想滤波器后的频谱如图 3.4(c),与原信号频谱相比,产生了畸变。因此恢复不到原信号。这就是采样定理 所指出的结论 采样定理的严格数学证明可参见有关文献。 3.1.2信号的保持 采样定理指出:当采样频率大于原连续信号频谱所含最高频率的两倍时,可以 恢复到原连续信号,只是需要理想滤波器。但这种理想滤波器实际上是不存在的 在工程上,通常用一些特性上与理想滤波器相近的低通滤波器代替。例如“零阶保 持器”、“一阶保持器”以及“高阶保持器”等。 1.零阶保持器 最简单最常用的是零阶保持器( zero-order hold,简记为ZOH),它与一阶、高阶 保持器相比,具有相位滞后小以及易于工程实现等优点。所以,在离散系统中一般 都采用零阶保持器,很少采用一阶保持器和高阶保持器 零阶保持器的作用是把某一采样时刻kT的采样值f(k7)恒定地保持到下一个采 样时刻(k+1)T,即在t∈[krk+1]区间内,零阶保持器的输出值一直保持为f(k7)。 如图3.5所示 图3.5零阶保持器的功能 加在保持器输入端的离散信号,一般都是数字控制器的输出信号,我们并不了 解它的特性。为了研究保持器的特性,我们用一已知的连续信号f()的采样值f()加 在保持器的输入端,研究其输出波形f()与f()之间的差别,从而可以看出保持器 的特性。 从图3.5可以看出,连续信号f(1)经过采样,得到离散信号f(),f(n)再经过 零阶保持器得到连续的阶梯信号f(t),如果把f(1)的高频分量滤掉,就得到连续光 滑的信号f(),f()与f(t)形状近似相同,只是滞后了半个采样周期,这是零阶保 持器引起的。零阶保持器的滞后效应给系统带来不利的影响。从上面的分析看出 零阶保持器基本上把f()恢复到了f()。 为了满足系统分析、设计的需要,象其它系统元件一样,还必需建立零阶保持 器的数学模型,推导出它的传递函数和频率特性。 考察f(),它是等间隔的阶梯信号,时域表达式为 6()=∑f(k7(-k7)-1(-7-7) (3.15) 取拉氏变换得 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案- 5 - 从图 3.3(b)可以看出，当ω s < 2ω max 时， 经过理想滤波器后的频谱如图 3.4(c)，与原信号频谱相比，产生了畸变。因此恢复不到原信号。这就是采样定理 所指出的结论。 ( ) * f t 采样定理的严格数学证明可参见有关文献。 3.1.2 信号的保持 采样定理指出：当采样频率大于原连续信号频谱所含最高频率的两倍时，可以 恢复到原连续信号，只是需要理想滤波器。但这种理想滤波器实际上是不存在的。 在工程上，通常用一些特性上与理想滤波器相近的低通滤波器代替。例如“零阶保 持器”、“一阶保持器”以及“高阶保持器”等。 1. 零阶保持器 最简单最常用的是零阶保持器(zero-order hold，简记为 ZOH)，它与一阶、高阶 保持器相比，具有相位滞后小以及易于工程实现等优点。所以，在离散系统中一般 都采用零阶保持器，很少采用一阶保持器和高阶保持器。 零阶保持器的作用是把某一采样时刻 kT 的采样值 恒定地保持到下一个采 样时刻(k+1)T，即在 f (kT) t ∈[kT,(k +1)T ]区间内，零阶保持器的输出值一直保持为 。 如图 3.5 所示。 f (kT) 图 3.5 零阶保持器的功能 加在保持器输入端的离散信号，一般都是数字控制器的输出信号，我们并不了 解它的特性。为了研究保持器的特性，我们用一已知的连续信号 的采样值 加 在保持器的输入端，研究其输出波形 与 之间的差别，从而可以看出保持器 的特性。 f (t) ( ) * f t f (t) h f (t) 从图 3.5 可以看出，连续信号 经过采样，得到离散信号 ， 再经过 零阶保持器得到连续的阶梯信号 ，如果把 的高频分量滤掉，就得到连续光 滑的信号 ， 与 形状近似相同，只是滞后了半个采样周期，这是零阶保 持器引起的。零阶保持器的滞后效应给系统带来不利的影响。从上面的分析看出， 零阶保持器基本上把 恢复到了 。 f (t) ( ) * f t ( ) * f t f (t) h f (t) h ( ) 1f t ( ) 1f t f (t) ( ) * f t f (t) 为了满足系统分析、设计的需要，象其它系统元件一样，还必需建立零阶保持 器的数学模型，推导出它的传递函数和频率特性。 考察 fh (t)，它是等间隔的阶梯信号，时域表达式为 fh (t) ( )[1( ) 1( ) (3.15) 0 f kT t kT t kT T k =∑ − − − − +∞ = ] 取拉氏变换得 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 5