自动控制原理电子教案 第5章控制系统动态性能分析 系统稳定是系统能够正常工作的前提,当系统不稳定时,任何扰动都将使系 统的输出趋于无穷。但对于稳定系统,还需要有较好的动态性能。一般要求系统 跟踪输入变化的速度要快,跟踪精度要高。因此,需要分析系统的暂态性能和稳 态性能。 本章基于微分方程、差分方程的求解,通过分析系统的输出响应,讨论线性 连续、离散控制系统的动态性能。因为这些方法是在时域里进行的,所以,通常 称为时域法 51控制系统的动态性能指标 511典型输入信号 系统的输出响应与输入信号有关,但实际系统的输入信号是多种多样的,很 多是随机信号。比较各种信号下的系统响应是不可能的,也是不必要的。在控制 理论中,通常选择一些典型信号作为系统的输入信号,作为系统分析、设计的基 选择的典型信号应该满足下列要求。 1)在典型输入信号作用下,系统的性能应反映出系统在实际工作条件下的 性能 2)典型输入信号的数学表达要简单,便于数学分析和理论计算 3)在控制现场或者实验室中容易产生,便于实验分析和检验 在控制理论中,常用的典型输入信号有: (1.)阶跃信号 r(t)= Rt≥0 当R=1时,称为单位阶跃信号,记作1()。阶跃信号如图5.1(a)所示 (2.)速度信号(斜坡信号) 0t<0 Rtt≥0 当R=1时,称为单位斜坡信号。速度信号如图51(b)所示 (3).加速度信号(抛物线信号) Rt2t≥0 当R=1时,称为单位加速度信号。加速度信号如图51(c所示。 (4).脉冲信号 r(t)=R5(1) (54) 当R=1时,称为单位脉冲信号。其中,(1)为迪拉克δ函数,定义为 () (55a) 0t≠0 s(tdt=1 (5.5b) 脉冲信号如图5.1(d所示。 浙江工业大学自动化研究所 157
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 第 5 章 控制系统动态性能分析 系统稳定是系统能够正常工作的前提，当系统不稳定时，任何扰动都将使系 统的输出趋于无穷。但对于稳定系统，还需要有较好的动态性能。一般要求系统 跟踪输入变化的速度要快，跟踪精度要高。因此，需要分析系统的暂态性能和稳 态性能。 本章基于微分方程、差分方程的求解，通过分析系统的输出响应，讨论线性 连续、离散控制系统的动态性能。因为这些方法是在时域里进行的，所以，通常 称为时域法。 5.1 控制系统的动态性能指标 5.1.1 典型输入信号 系统的输出响应与输入信号有关，但实际系统的输入信号是多种多样的，很 多是随机信号。比较各种信号下的系统响应是不可能的，也是不必要的。在控制 理论中，通常选择一些典型信号作为系统的输入信号，作为系统分析、设计的基 础。 选择的典型信号应该满足下列要求。 1）在典型输入信号作用下，系统的性能应反映出系统在实际工作条件下的 性能； 2）典型输入信号的数学表达要简单，便于数学分析和理论计算； 3）在控制现场或者实验室中容易产生，便于实验分析和检验。 在控制理论中，常用的典型输入信号有： （1.） 阶跃信号 ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = 0 0 0 ( ) R t t r t (5.1) 当 R = 1时，称为单位阶跃信号，记作1(t) 。阶跃信号如图 5.1（a)所示。 （2.） 速度信号（斜坡信号） ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = 0 0 0 ( ) Rt t t r t (5.2) 当 R = 1时，称为单位斜坡信号。速度信号如图 5.1（b)所示。 （3）. 加速度信号（抛物线信号） ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < = 0 2 1 0 0 ( ) 2 Rt t t r t (5.3) 当 R = 1时，称为单位加速度信号。加速度信号如图 5.1（c)所示。 （4）. 脉冲信号 r(t) = Rδ (t) (5.4) 当 R = 1时，称为单位脉冲信号。其中，δ (t) 为迪拉克δ 函数，定义为 ⎩ ⎨ ⎧ ≠ ∞ = = 0 0 0 ( ) t t δ t (5.5a) ( ) = 1 ∫ +∞ −∞ δ t dt (5.5b) 脉冲信号如图 5.1（d)所示。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 157
自动控制原理电子教案 (5)正弦信号 (56) Asin(ot+q)t≥0 正弦信号如图5.1(e)所示 r(n) 0 (b) r() (e) 图5.1典型输入信号 在系统分析、设计与实验时,应根据系统正常工作条件下的实际输入,选择 种典型输入信号,作为分析、设计系统的输入信号。例如,如果系统的参考输 入是经常突变的,或者系统受到突变的扰动的影响,那么,可以采用阶跃输入信 号进行系统分析与设计。如果系统的输入信号是随时间缓慢增加的,则可以采用 速度输入信号。如果系统的输入信号是冲击量时,则可以采用脉冲输入信号。如 果系统的输入信号呈现周期性,则可以采用正弦输入信号 5.1.2动态性能指标 控制系统的动态性能指标通常是在零初始条件下,通过系统的阶跃响应的特 征定义的。稳定的控制系统的阶跃响应分为单调变化和衰减振荡两种情况,如图 52所示 909c(∞) △%c(∞) rs 图52控制系统的阶跃响应 系统的动态性能指标,实际上就是刻画阶跃响应曲线特征的一些量。下面首 先针对衰减振荡的情况定义系统的动态性能指标,如图5.2(a)所示 (1)(最大)超调量n% 系统阶跃响应的最大值cmx与稳态值c(∞)的差值与稳态值c(∞)比值的百分 数,称为(最大)超调量,记为σn%,则 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 （5.） 正弦信号 ⎩ ⎨ ⎧ + ≥ < = sin( ) 0 0 0 ( ) A t t t r t ω ϕ (5.6) 正弦信号如图 5.1（e）所示。 图5.1 典型输入信号 0 R r(t) t 0 r(t) t 0 r(t) t 0 r(t) t 0 r(t) t (a) (b) (c) (d) (e) 在系统分析、设计与实验时，应根据系统正常工作条件下的实际输入，选择 一种典型输入信号，作为分析、设计系统的输入信号。例如，如果系统的参考输 入是经常突变的，或者系统受到突变的扰动的影响，那么，可以采用阶跃输入信 号进行系统分析与设计。如果系统的输入信号是随时间缓慢增加的，则可以采用 速度输入信号。如果系统的输入信号是冲击量时，则可以采用脉冲输入信号。如 果系统的输入信号呈现周期性，则可以采用正弦输入信号。 5.1.2 动态性能指标 控制系统的动态性能指标通常是在零初始条件下，通过系统的阶跃响应的特 征定义的。稳定的控制系统的阶跃响应分为单调变化和衰减振荡两种情况，如图 5.2 所示。 图5.2 控制系统的阶跃响应 0 c(t) t (a) (b) c(∞) max c ∆%c(∞) rt pt st 0 c(t) t c(∞) ∆%c(∞) rt st 90%c(∞) 系统的动态性能指标，实际上就是刻画阶跃响应曲线特征的一些量。下面首 先针对衰减振荡的情况定义系统的动态性能指标，如图 5.2(a)所示。 （1）（最大）超调量σ p % 系统阶跃响应的最大值cmax 与稳态值c(∞) 的差值与稳态值c(∞) 比值的百分 数，称为（最大）超调量，记为σ p %，则 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 158
n% c-c(∞) 或者不以百分数表示,则记为 c(∞) (5.8) c(∞) 超调量σn%反映了系统输出量在调节过程中与稳态值的最大偏差,是衡量系 统性能的一个很重要的指标。对不可逆系统,系统不能出现超调,例如,在水泥 搅拌控制系统中,含水量不能过量,因为控制系统只能加水,而不能排水。对 般系统,总希望超调量较小。但常常希望系统有一点超调,以增加系统的快速性 例如,在电动机调速系统中,电动机速度有一点超调是容许的,这时电动机速度 跟踪特性较好。 (2)(最大)超调时间t 系统阶跃响应达到最大值的时间,称为超调时间,记为tn。最大值一般都发 生在阶跃响应的第一个峰值时间,所以又称为峰值时间。 (3)上升时间tr 当系统的阶跃响应第一次达到稳态值的时间,称为上升时间,记为t。 (4)调节时间t 当系统的阶跃响应衰减到给定的误差带内,并且以后不再超出给定的误差带 的时间,称为调节时间,记为t,即 ()-c(∞)≤△%c(∞),t2t 控制系统的暂态过程理论上要到t→∞才结東,但从工程角度,只要偏差小 于允许的值就算结束。所以,调节时间又称为过渡过程时间。Δ是给定的误差带 通常取2或者5。当对系统的稳态要求不是很高时,Δ取5,反之,取2。 现对于系统的阶跃响应曲线是单调上升的情况,定义系统的动态性能指标, 如图52(b)所示。显然,在这种情况下,没有超调量和超调时间这两个性能指 标。而且,因为只有当t→∞时,系统的阶跃响应才达到稳态值,所以上升时间 也要作一些修正。事实上,在工程中,当阶跃响应如果已经很接近稳态值时,就 可以认为是达到了稳态值。因此,单调上升的单位阶跃响应达到稳态值的90%的 时间即定义为上升时间t, c(t1r)=90%c(∞) (5.10) 调节时间仍然由(59)式定义。 在控制系统分析与设计中,除了上述性能指标外,还有许多其它指标,特别 是一些最优化指标 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 100% ( ) ( ) % max ∞ − ∞ = c c c σ p (5.7) 或者不以百分数表示，则记为 ( ) max ( ) ∞ − ∞ = c c c σ p (5.8) 超调量σ p %反映了系统输出量在调节过程中与稳态值的最大偏差，是衡量系 统性能的一个很重要的指标。对不可逆系统，系统不能出现超调，例如，在水泥 搅拌控制系统中，含水量不能过量，因为控制系统只能加水，而不能排水。对一 般系统，总希望超调量较小。但常常希望系统有一点超调，以增加系统的快速性。 例如，在电动机调速系统中，电动机速度有一点超调是容许的，这时电动机速度 跟踪特性较好。 （2）（最大）超调时间 p t 系统阶跃响应达到最大值的时间，称为超调时间，记为 。最大值一般都发 生在阶跃响应的第一个峰值时间，所以又称为峰值时间。 p t （3.） 上升时间 rt 当系统的阶跃响应第一次达到稳态值的时间，称为上升时间，记为tr 。 （4.） 调节时间 st 当系统的阶跃响应衰减到给定的误差带内，并且以后不再超出给定的误差带 的时间，称为调节时间，记为ts ，即 c(t) − c(∞) ≤ ∆%c(∞) ， (5.9) s t ≥ t 控制系统的暂态过程理论上要到t → ∞ 才结束，但从工程角度，只要偏差小 于允许的值就算结束。所以，调节时间又称为过渡过程时间。∆ 是给定的误差带， 通常取 2 或者 5。当对系统的稳态要求不是很高时， ∆ 取 5，反之，取 2。 现对于系统的阶跃响应曲线是单调上升的情况，定义系统的动态性能指标， 如图 5.2（b）所示。显然，在这种情况下，没有超调量和超调时间这两个性能指 标。而且，因为只有当t → ∞ 时，系统的阶跃响应才达到稳态值，所以上升时间 也要作一些修正。事实上，在工程中，当阶跃响应如果已经很接近稳态值时，就 可以认为是达到了稳态值。因此，单调上升的单位阶跃响应达到稳态值的 90%的 时间即定义为上升时间 ， rt c(t ) = 90%c(∞) (5.10) r 调节时间仍然由(5.9)式定义。 在控制系统分析与设计中，除了上述性能指标外，还有许多其它指标，特别 是一些最优化指标。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 159
自动控制原理电子教案 52线性连续系统的动态性能分析 下面基于微分方程的求解,讨论连续系统的动态性能指标的计算。首先讨论 阶系统的动态性能指标,然后重点讨论典型二阶系统的动态性能指标,这对控 制系统的设计具有重要的意义。最后介绍三阶以上的高阶系统的动态性能的近似 分析方法 521一阶系统的动态性能 阶系统的微分方程和传递函数描述 t dco) +c(1)=Kr(t) (5.11) (5.12) 在零初始条件下,控制系统在单位阶跃输入信号的作用下的输出,称为系统 的单位阶跃响应。 一阶系统的单位阶跃响应的拉氏变换为 C(s)=d(s) s s(TS+1) 则一阶系统的单位阶跃响应为 c()=L[C(s) K1=K-- (5.14) s(7s+1 T 系统输出的稳态值为c(∞)=K,一阶系统的单位 因为一阶系统的单位阶跃响应曲线是单调上升 阶跃响应曲线如图5.3所示 的,所以,可以用上升时间和调节时间作为动态性能 指标。下面求取一阶系统的动态性能指标 (1)上升时间t 由上升时间的定义(510),得 l53一阶系统单位阶跃响应 K(-eT)=90%K 解得 t.=Tln10=2.3 (5.15) (2)调节时间t 由调节时间的定义 (t)-c(o)s△%c(∞) 得 即 ≤△% 解得 ≥Tln (5.16) 3T△=5 从一阶系统的动态性能指标可以看出,为了提高一阶系统跟踪输入信号的快 速性,减少调节时间,应该减小系统的时间常数T 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 5.2 线性连续系统的动态性能分析 下面基于微分方程的求解，讨论连续系统的动态性能指标的计算。首先讨论 一阶系统的动态性能指标，然后重点讨论典型二阶系统的动态性能指标，这对控 制系统的设计具有重要的意义。最后介绍三阶以上的高阶系统的动态性能的近似 分析方法。 5.2.1 一阶系统的动态性能 一阶系统的微分方程和传递函数描述 ( ) ( ) ( ) c t Kr t dt dc t T + = (5.11) ( ) 1 ( ) ( ) + Φ = = Ts K R s C s s (5.12) 在零初始条件下，控制系统在单位阶跃输入信号的作用下的输出，称为系统 的单位阶跃响应。 一阶系统的单位阶跃响应的拉氏变换为 ( 1) 1 ( ) ( ) + = Φ = s Ts K s C s s (5.13) 则一阶系统的单位阶跃响应为 ] (1 ) 1 1 1 ] [ ( 1) ( ) [ ( )] [ 1 1 1 T t K e T s s KL s Ts K c t L C s L − − − − = − + = − + = = (5.14) 系统输出的稳态值为 ，一阶系统的单位 阶跃响应曲线如图 5.3 所示。 c(∞) = K 图5.3 一阶系统单位阶跃响应 c(t) 0 t K 因为一阶系统的单位阶跃响应曲线是单调上升 的，所以，可以用上升时间和调节时间作为动态性能 指标。下面求取一阶系统的动态性能指标。 （1）上升时间 rt 由上升时间的定义（5.10），得 K e T K tr (1− ) = 90% − 解得 tr = T ln10 = 2.3T (5.15) （2）调节时间 st 由调节时间的定义 c(t ) − c(∞) ≤ ∆%c(∞) s 得 K e K Ke T K t T ts s (1− ) − = ≤ ∆% − − 即 ≤ ∆% − T ts e 解得 % 1 ln ∆ ts ≥ T (5.16) 取 ⎩ ⎨ ⎧ ∆ = ∆ = = 4 2 3 5 T T ts (5.17) 从一阶系统的动态性能指标可以看出，为了提高一阶系统跟踪输入信号的快 速性，减少调节时间，应该减小系统的时间常数T 。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 160
自动控制原理电子教案 522典型二阶系统的动态性能 典型二阶系统的数学模型 由微分方程(518或者传递函数5.19)所描述的系统称为典型二阶系统 2d2c() 24-,+c()=r(t) (5.18) a(s)=C(s) (5.19) R()T2s2+2/s+1s2+2ons+o2 其中,s为系统的阻尼比,ωn为无阻尼自然振荡频率。 2.典型二阶系统的单位阶跃响应 典型二阶系统的特征方程为 D(s)=5+2C0,5+O*=0 (5.20) 特征根为 152-lo (5.2la) (5.21b) 在零初始条件下,典型二阶系统的单位阶跃响应为 C(s)=(s)- (5.22) 系统的单位阶跃响应特征主要取决于特征根的分布。从式(521)可以看出,特征根 的分布主要取决于系统的阻尼比c。下面分几种情况讨论 (1)>1过阻尼状态 当>1时,特征根是两个不相等的实数,根平面图如图5.4(a)所 两个时间常数T1,T2定义为 (523a) (5.23b) 则典型二阶系统的单位阶跃响应的拉氏变换为 C(s) (T1s+1)(T2s+1)s 取拉氏反变换得系统的单位阶跃响应为 ()=1-5 (524) 下面考察过阻尼状态下的典型二阶系统单位阶跃响应的特征。因为 dc(o) 0,t>0 →∞ 浙江工业大学自动化研究所 161
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 5.2.2 典型二阶系统的动态性能 1. 典型二阶系统的数学模型 由微分方程(5.18)或者传递函数(5.19)所描述的系统称为典型二阶系统。 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 2 c t r t dt dc t T dt d c t T + ς + = (5.18) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) n n n R s T s Ts s s C s s ςω ω ω ς + + = + + Φ = = (5.19) 其中，ς 为系统的阻尼比，ω n 为无阻尼自然振荡频率。 2. 典型二阶系统的单位阶跃响应 典型二阶系统的特征方程为 ( ) 2 0 2 2 D s = s + ςω n s +ω n = (5.20) 特征根为 n n s ςω ς 1ω 2 1 = − + − (5.21a) n n s ςω ς 1ω 2 2 = − − − (5.21b) 在零初始条件下，典型二阶系统的单位阶跃响应为 s s s s C s s n n n 1 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 ςω ω ω + + = Φ = (5.22) 系统的单位阶跃响应特征主要取决于特征根的分布。从式(5.21)可以看出，特征根 的分布主要取决于系统的阻尼比ς 。下面分几种情况讨论。 （1）ς > 1 过阻尼状态 当ς > 1时，特征根是两个不相等的实数，根平面图如图 5.4（a）所示。 两个时间常数T1 ,T2定义为 1 2 1 1 1 T s = −ςω n + ς − ω n = − (5.23a) 2 2 2 1 1 T s = −ςω n − ς − ω n = − (5.23b) 则典型二阶系统的单位阶跃响应的拉氏变换为 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 ( ) T s T s s T s T s s C s + ⋅ − − − + + ⋅ − + − = − ⋅ + + = ς ς ς ς ς ς 取拉氏反变换得系统的单位阶跃响应为 1 2 2 1 1 2 1 1 ( ) 1 2 2 2 2 T t T t c t e e − − − − − + − + − = − ς ς ς ς ς ς （5.24） 下面考察过阻尼状态下的典型二阶系统单位阶跃响应的特征。因为 ( ) 0 2 1 d d ( ) 1 2 2 − > − = − − T t T t n e e t c t ς ω ， t > 0 c(∞) = 1， 0 d d ( ) 0 = t= t c t ， 0 d d ( ) = t→∞ t c t 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 161