(3)状态变量可以是有明显物理意义的量,也可以是没有明显物理意义的量。状态变 量可以是可测的量,也可以是不可测的量 (例2.3)他激直流电动机速度控制系统(忽略负载力矩)如图2.3所示。系统输入 为u/,输出为电动机的角速度 解选取状态变量:因为系统中独立贮能元件有3个,即激磁线圈电感,电枢线圈电感 和电机转动惯量,所以选择状态变量为电动机的角速度x1=;电枢电流x2=I;激磁回 路电流x3=Ir。根据电机理论,有下列关系 do Ex+L一+IR Eg Eg=kgs O “= o(n) 图23直流电动机速度控制系统 整理可得系统的状态方程为 do Cu 0-I+8 或 C.R K x x1-L2+L 或者表示为 J C.R K L 其中,x=[x1x2x3]。若取电机角速度为输出量,则输出方程为 (2.6b) 若取两个输出量为y1=O和y2=,则输出方程为
（3）状态变量可以是有明显物理意义的量，也可以是没有明显物理意义的量。状态变 量可以是可测的量，也可以是不可测的量。 （例 2.3） 他激直流电动机速度控制系统（忽略负载力矩）如图 2.3 所示。系统输入 为u f ，输出为电动机的角速度ω 。 解 选取状态变量：因为系统中独立贮能元件有 3 个，即激磁线圈电感，电枢线圈电感 和电机转动惯量，所以选择状态变量为电动机的角速度 x1 = ω ；电枢电流 ；激磁回 路电流 。根据电机理论，有下列关系 x = I 2 f x = I 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = = + + = = dt dI u I R L E C E K I IR E dt dI E L C I dt d J f f f f f M e g g f M g M ω ω R L M 图2.3 直流电动机速度控制系统 u f f I ω(t) i u(t) 整理可得系统的状态方程为 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − + = − − + = f f f f f f f e g M u L I L R dt dI I L K I L R L C dt dI I J C dt d 1 ω ω 或 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − + = − − + = f f f f e g M u L x L R x x L K x L R x L C x x J C x 1 3 3 2 1 2 3 1 2 & & & 或者表示为 f f f f e g M u L x L R L K L R L C J C x ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = − − 1 0 0 0 0 0 0 & (2.6a) 其中， [ 。若取电机角速度为输出量，则输出方程为 T x x x x = 1 2 3 ] y x [1 0 0]x =ω = 1 = (2.6b) 若取两个输出量为 y1 = ω 和 y2 = I ，则输出方程为
010 从上面的几个典型物理系统的数学模型可以看出,很多系统虽然具有不同的物理特性 但却具有相同形式的数学模型。例如,例2.1所示弹簧阻尼器系统和例2.2所示RLC网络, 都可以用2个1阶线性常微分方程描述。 2.2.3线性系统的状态空间表达式 下面介绍线性系统的状态空间表达式的一般形式 1.单输入单输出线性系统的状态空间表达式 对于线性系统,状态方程中各个状态变量的导数与状态变量和输入变量都是线性关系, 输出变量与状态变量、输入变量也是线性关系。因此,单输入单输出(SISO)n阶线性系 统状态空间表达式的一般形式为 x,=aux+anx?+.+alnxn+b,l x2=a2151+a22x2++a2nxn+b2u (2.7a) xn=anx1+an2x2+……+amxn+bnl y=Cx+C2x2+.+C,rn+du (2.7b) 写成矩阵形式 a2n. b2 (2.8a) +du (2.8b) 或表示为 x=Ax+ Bu y=Cx+du (2.9b) 其中,x=[x1x2…xnJ,A={an}mw,B=b1b2…bn,C=k1c2…cn],d 为常数,称为直接传递。 2.多输入多输出线性系统的状态空间表达式 具有r个输入、m个输出的n阶多输入多输出(MIMO)线性系统的状态方程为 x1=a1 x2=a21x1+a22x2+…+a2nxn+b211+b122+…+b2lr (2.10a) amman+bnu+6m2u2+.+burl 输出方程为
(2.6c) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 2 1 0 1 0 1 0 0 x x x y y 从上面的几个典型物理系统的数学模型可以看出，很多系统虽然具有不同的物理特性， 但却具有相同形式的数学模型。例如，例 2.1 所示弹簧阻尼器系统和例 2.2 所示 RLC 网络， 都可以用 2 个 1 阶线性常微分方程描述。 2.2.3 线性系统的状态空间表达式 下面介绍线性系统的状态空间表达式的一般形式。 1. 单输入单输出线性系统的状态空间表达式 对于线性系统，状态方程中各个状态变量的导数与状态变量和输入变量都是线性关系， 输出变量与状态变量、输入变量也是线性关系。因此，单输入单输出（SISO）n 阶线性系 统状态空间表达式的一般形式为 (2.7a) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + + + = + + + + = + + + + x a x a x a x b u x a x a x a x b u x a x a x a x b u n n n nn n n n n n n & L M & L & L 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 2 1 11 1 12 2 1 1 y = c1x1 + c2 x2 +L+ cn xn + du (2.7b) 写成矩阵形式 u (2.8a) b b b x a a a a a a a a a x n n nn n n n ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = M L M L L & 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 y = [c1 c2 L cn ]x + du (2.8b) 或表示为 x& = Ax + Bu (2.9a) y = Cx + du (2.9b) 其中，x = [ ] x1 x2 L xn T ，A = {aij }n×n ， [ ] T B = b1 b2 L bn ， [ ] n C c c L c = 1 2 ，d 为常数，称为直接传递。 2. 多输入多输出线性系统的状态空间表达式 具有 r 个输入、 m 个输出的 n 阶多输入多输出（MIMO）线性系统的状态方程为 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + + + + + + = + + + + + + + = + + + + + + + n n n nn n n n nr r n n r r n n r r x a x a x a x b u b u b u x a x a x a x b u b u b u x a x a x a x b u b u b u & L L M & L L & L L 1 1 2 2 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 21 1 12 2 2 1 11 1 12 2 1 11 1 12 2 1 (2.10a) 输出方程为
y1=c1nx1+c12x2+…+C1nxn+d1l1+d12l2+…+d1 y2=C21x1+c22x2+…+c2mxn+d211+d222+…+d2rlr 写成矩阵形式为 (2.11a) du dI (2.11b) 或 其中,x=[x1x2…xn为nx1维状态向量:u=u2…u为rxl维控制向量 ym为m×维输出向量:A为nxn维系统矩阵,表示系统内部各状态变量 之间的关系:B为n×r维输入矩阵,表示输入对每个状态变量的作用情况:c为m×n维输 出矩阵,表示输出与状态变量的组成关系;D为mxr维前馈矩阵,表示输入对输出的直接 传递关系。若不考虑直接传输,则一般表达为 若系统是线性定常系统,则A,B,C,D均为常数矩阵。若系统是时变系统,则A,BC,D的 元素有些或全部是时间的函数。 多输入多输出系统可以用如图所示矩阵方框图2.4表示,其中积分方框由n个积分器组 图24线性系统的一般结构 224状态方程的线性变换
⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + + + + + + = + + + + + + + = + + + + + + + m m m mn n m m mr r n n r r n n r r y c x c x c x d u d u d u y c x c x c x d u d u d u y c x c x c x d u d u d u L L M L L L L 1 1 2 2 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 11 1 12 2 1 (2.10b) 写成矩阵形式为 u b b b b b b b b b x a a a a a a a a a x n n nr r r n n nn n n ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = L M L L L M L L & 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 21 22 2 11 12 1 (2.11a) u d d d d d d d d d x c c c c c c c c c y m m mr r r m m mn n n ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = L M L L L M L L 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 21 22 2 11 12 1 (2.11b) 或 x& = Ax + Bu (2.12a) y = Cx + Du (2.12b) 其中， x = [x1 x2 L xn ] T 为 n×1维状态向量； [ ] T u = u1 u2 L ur 为 r ×1维控制向量； y = [y1 y2 L ym ] T 为 m×1维输出向量；A为 n× n 维系统矩阵，表示系统内部各状态变量 之间的关系； B 为 n × r 维输入矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 为 维输 出矩阵，表示输出与状态变量的组成关系； 为 m× n D m × r 维前馈矩阵，表示输入对输出的直接 传递关系。若不考虑直接传输，则一般表达为 (2.13) ⎩ ⎨ ⎧ = = + y Cx x& Ax Bu 若系统是线性定常系统，则 均为常数矩阵。若系统是时变系统，则 的 元素有些或全部是时间的函数。 A, B,C, D A, B,C, D 多输入多输出系统可以用如图所示矩阵方框图 2.4 表示，其中积分方框由 个积分器组 成。 n A B y ∫ C u x& D x 图2.4 线性系统的一般结构 2.2.4 状态方程的线性变换
从前面的讨论可以看出,状态变量的选择是不唯一的,因此状态方程也不唯一,但这 些状态方程都描述了同一个系统,因此这些状态方程本质上必然是相同的。事实上,它们 之间都可以通过线性变换得到,因此状态方程在相似意义下是唯一的。 下面讨论状态方程的线性变换。这个论题的意义不仅在于说明状态方程在相似意义下 是唯一的,更重要的是使很多系统的分析与设计得以简化,在后面章节中将要予以介绍。 状态方程的线性变换 设状态变量取为x时,线性连续时变系统或定常系统的状态空间表达式为 x(D)=Ax(t)+B(1) (2.14a) (1)=Cx(t) (2.14b) 取线性变换 x()=Px(1) 其中,P为常量矩阵。由于式(2.15)中x与x之间是线性关系,所以称为线性变换。由状 态的定义可知,虽然状态变量的选取不同,但状态变量的个数都是n,因此,P应该是非奇 异阵,即存在P-,使 (1)=P-x(t) 上述变换称为非奇异线性变换或等价变换。通过非奇异线性变换,系统的状态空间表达式变 换为 (1)=Ax(1)+Bl(t) (2.17a) 下面推导ABC与A,B,C之间的关系。将式(215)代入(2.14)得 CPx 由于存在P-1,所以有 JI=P-lAPT+P-lBu (2.18) 将式(2.18)与(2.17)比较,得 A- P-lAP B=P-lb C=CP (2.19) A= PAP B= PB C=CP (2.20) 由式(2.19)或(220)可对状态空间表达式进行非奇异线性变换。下面考察经非奇异 线性变换后,矩阵A与A的特征值的变化情况 I Al-A2-P APAP P-P API =1P-IAP-P-APHP-(-A)PI
从前面的讨论可以看出，状态变量的选择是不唯一的，因此状态方程也不唯一，但这 些状态方程都描述了同一个系统，因此这些状态方程本质上必然是相同的。事实上，它们 之间都可以通过线性变换得到，因此状态方程在相似意义下是唯一的。 下面讨论状态方程的线性变换。这个论题的意义不仅在于说明状态方程在相似意义下 是唯一的，更重要的是使很多系统的分析与设计得以简化，在后面章节中将要予以介绍。 1．状态方程的线性变换 设状态变量取为 x 时，线性连续时变系统或定常系统的状态空间表达式为 x&(t) = Ax(t) + Bu(t) (2.14a) y(t) = Cx(t) (2.14b) 取线性变换 x(t) = Px(t) (2.15) 其中，P 为常量矩阵。由于式（2.15）中 x 与 x 之间是线性关系，所以称为线性变换。由状 态的定义可知，虽然状态变量的选取不同，但状态变量的个数都是 ，因此，P 应该是非奇 异阵，即存在 n −1 P ，使 ( ) ( ) 1 x t P x t − = (2.16) 上述变换称为非奇异线性变换或等价变换。通过非奇异线性变换，系统的状态空间表达式变 换为 x(t) = Ax(t) + Bu(t) & (2.17a) y = Cx (2.17b) 下面推导 A,B,C 与 A, B,C 之间的关系。将式（2.15）代入（2.14）得 ⎩ ⎨ ⎧ = = + y CPx Px APx Bu & 由于存在 −1 P ，所以有 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + − − y CPx x P APx P Bu & 1 1 （2.18） 将式（2.18）与（2.17）比较，得 A = P AP B = P B C = CP −1 −1 （2.19） 或 −1 −1 A = PAP B = PB C = CP （2.20） 由式（2.19）或（2.20）可对状态空间表达式进行非奇异线性变换。下面考察经非奇异 线性变换后，矩阵 A 与 A 的特征值的变化情况。 | | | | | | 1 1 1 I A I P AP P P P AP − − − λ − = λ − = λ − =| | | ( ) | 1 1 1 P IP − P AP = P I − A P − − − λ λ
=P‖M-APHP‖P‖4-4 =PP‖a-AHa-A 可见,A和A具有相同的特征多项式,因此具有相同的特征值。因此,经非奇异线性变换 后,虽然状态变量变了,状态方程的参数也变了,但状态方程的特征值不变,所以,一般 称特征值是系统的不变量 例24已知系统的状态方程为 取线性变换为 求变换后的系统的状态方程。 32.50.5 解: 11.50.5 由式(219)得 3250.50101111 A=P-AP=-3-4-100 -1-2-3 11.50.5-6-11-6149 3-4-1‖149 0-20 11.505-1-8-2700-3 3250.5T01「0.5 B=PB=-3-4-10 11.50.51|0.5 所以,变换后的状态方程为 在例2.4中,通过线性变换后的状态方程的系数矩阵A为对角矩阵,使状态变量之间没 有耦合作用。这种形式对控制系统分析和设计都是非常有益的。在第六章中将讨论如何求 取使矩阵A变换为对角阵的线性变换矩阵P。事实上,这些内容在《线性代数》中已经作 了介绍
| || | | | | || || | | || || | 1 1 1 P P I A I A P I A P P P I A = − = − = − = − − − − λ λ λ λ 可见， A 和 A 具有相同的特征多项式，因此具有相同的特征值。因此，经非奇异线性变换 后，虽然状态变量变了，状态方程的参数也变了，但状态方程的特征值不变，所以，一般 称特征值是系统的不变量。 例 2.4 已知系统的状态方程为 u x x x x x x ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 6 11 6 0 0 1 0 1 0 3 2 1 3 2 1 & & & 取线性变换为 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 3 2 1 1 4 9 1 2 3 1 1 1 x x x x x x 求变换后的系统的状态方程。 解： P= P ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 1 4 9 1 2 3 1 1 1 −1 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 1 1.5 0.5 3 4 1 3 2.5 0.5 由式(2.19)得 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ − − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = − − − − 1 4 9 1 2 3 1 1 1 6 11 6 0 0 1 0 1 0 1 1.5 0.5 3 4 1 3 2.5 0.5 1 A P AP = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 0 0 3 0 2 0 1 0 0 1 8 27 1 4 9 1 2 3 1 1.5 0.5 3 4 1 3 2.5 0.5 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = − − − − 0.5 1 0.5 1 0 0 1 1.5 0.5 3 4 1 3 2.5 0.5 1 B P B 所以，变换后的状态方程为 x x u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 0.5 1 0.5 0 0 3 0 2 0 1 0 0 & 在例 2.4 中，通过线性变换后的状态方程的系数矩阵 为对角矩阵，使状态变量之间没 有耦合作用。这种形式对控制系统分析和设计都是非常有益的。在第六章中将讨论如何求 取使矩阵 变换为对角阵的线性变换矩阵 A A P 。事实上，这些内容在《线性代数》中已经作 了介绍