《自动控制原理》课程教学资源：第六章 线性系统的能控性和能观性分析

自动控制原理电子教 第6章线性系统的能控性和能观性分析 6.1系统能控性和能观性问题 能控性、能观性和稳定性一样,是控制系统的重要性质,是实现各种控制 和状态估计的基础,在控制理论中起着核心的作用。 系统的状态空间描述可用图6.1表示。 状态方程 输出方程 =Ax+ Bu =C 图6.1状态空间描述 采用状态反馈可以实现各种控制,例如最优控制,如图6.2所示。 状态方程 输出方程 x= ax+ Bu 控制器 图62状态反馈控制 最优控制问题的任务是寻求控制作用u(t)=kx(t),使状态x(1)达到预期的 状态。但首要的问题是,系统的能控性问题。 另一方面,实际系统的状态x(m)通常是难以测量的,往往需要从可以测 量的输出y(1)中估计出来,如图6.3所示 状态方程x输出方程y r= Ax+ Bu 控制器 x状态估计器 图63采用状态估计器的状态反馈控制 状态估计的任务就是设计状态估计器,从输出y()中估计出状态x(),以 实现状态反馈。但首要的问题是系统的能观测性问题 如图6.4所示RC网络。 浙江工业大学自动化研究所

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 第 6 章 线性系统的能控性和能观性分析 6.1 系统能控性和能观性问题 能控性、能观性和稳定性一样，是控制系统的重要性质，是实现各种控制 和状态估计的基础，在控制理论中起着核心的作用。 系统的状态空间描述可用图 6.1 表示。 u y x& = Ax + Bu 图6.1 状态空间描述 状态方程 y = Cx x 输出方程 采用状态反馈可以实现各种控制，例如最优控制，如图 6.2 所示。 u y x& = Ax + Bu 图6.2 状态反馈控制 状态方程 y = Cx x 输出方程 控制器 最优控制问题的任务是寻求控制作用u(t) = kx(t) ，使状态 达到预期的 状态。但首要的问题是,系统的能控性问题。 x(t) 另一方面，实际系统的状态 通常是难以测量的，往往需要从可以测 量的输出 中估计出来，如图 6.3 所示。 x(t) y(t) u y x& = Ax + Bu 图6.3 采用状态估计器的状态反馈控制 状态方程 y = Cx x 输出方程 控制器 状态估计器 xˆ 状态估计的任务就是设计状态估计器，从输出 中估计出状态 ，以 实现状态反馈。但首要的问题是系统的能观测性问题。 y(t) x(t) 如图 6.4 所示 RC 网络。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 1

自动控制原理电子教案 C1=1F R3=29 图64RC网络 可取两个电容上的电压l1,u2作为状态变量,劭2是不能控的。1是能控 的。另一方面,输出y=2i-l2只与l2和i有关,而与1无关,所以,l1是 不能观的,而2是能观的 下面介绍能控性、能观性的严格定义及其判别准则。 浙江工业大学自动化研究所

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 图6.4 RC网络 R1 = 1Ω C1 = 1F R2 = 1Ω C2 = 1F R3 = 2Ω i ⎯⎯→u1 ⎯⎯→u2 y 可取两个电容上的电压 作为状态变量， 是不能控的。u 是能控 的。 另一方面，输出 只与 和i 有关，而与 无关，所以，u 是 不能观的，而u 是能观的。 1 2 u ,u u2 1 2 y = 2i − u u2 u1 1 2 下面介绍能控性、能观性的严格定义及其判别准则。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 2

自动控制原理电子教案 6.2线性定常系统的能控性 6.2.1能控性的定义 1.连续系统的能控性 定义:对于线性(定常、时变)系统x()=A()x(t)+B(O(n),若对状态空 间中的任意状态x(0)和另一状态x(1),存在一个有 限的时间(0,1)和一个分段连续输入u(1),能在 (t0,)内使状态x(0)转移到x(t1),则称此状态是能 控的,否则称为不能控的。若系统所有状态都是能控 的,则称此系统是状态完全能控的,简称系统是能控 的 上述定义可以在二阶系统的相平面上来说明。如 图6.5相平面 图6.5所示。 可见,系统中某一状态的能控和系统的状态完全能控在含义上是不同的。 2.离散系统能控性 离散系统能控性定义与连续系统能控性定义类似,所不同的只是在离散 系统中控制信号是离散序列。 定义在有限时间区间t∈0n]内,若存在无约束的阶梯控制序列 (0)…,u(n-1),能使系统从任意初态x(0)转移到任意终态x(n),则称该系统 是状态完全能控的,简称是能控的 不失一般性,一般将能控性定义等价地叙述为下列两种情况。 第一种情况:把初始状态规定为状态空间中的任意非零有限点,而终端 状态规定为状态空间中的原点,即x(1)=0,则能控性定义又可叙述为 能控性定义:对于线性定常系统ⅸ=Ax+Ba,如果存在一个分段连续输 入u(),能在有限时间区间(o21)内,将系统从任一初始状态x(0)转移到零态 ()=0,则称系统是状态能控的 第二种情况:把初始状态规定为状态空间中的原点x(o)=0,而终端状态 规定为任意非零有限点,为区别于第一种情况,这种情况通常称为系统的能达 性 能达性定义:对于线性定常系统x=Ax+Bu,若存在一个分段连续的输入 ()能在有限时间区间(o,1)内,将状态x(1)从零状态x(0)=0转移到任一指定 的状态空间中的终端状态x(1),则称系统是能达的。 可以证明,对于线性定常系统,能控性和能达性是等价的。 不失一般性,以后对能控性的讨论中均规定终端状态为状态原点。 浙江工业大学自动化研究所

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 6.2 线性定常系统的能控性 6.2.1 能控性的定义 1.连续系统的能控性 定义：对于线性（定常、时变）系统 x&(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)，若对状态空 间中的任意状态 和另一状态 ，存在一个有 限的时间 和一个分段连续输入 ，能在 内使状态 转移到 ，则称此状态是能 控的，否则称为不能控的。若系统所有状态都是能控 的，则称此系统是状态完全能控的，简称系统是能控 的。 ( ) 0 x t ( )1 x t ( , ) 0 1 t t u(t) ( , ) 0 1 t t ( ) 0 x t ( )1 x t 图6.5 相平面 P P1 P2 Pn 1x 2 x 0 上述定义可以在二阶系统的相平面上来说明。如 图 6.5 所示。 可见，系统中某一状态的能控和系统的状态完全能控在含义上是不同的。 2.离散系统能控性 离散系统能控性定义与连续系统能控性定义类似，所不同的只是在离散 系统中控制信号是离散序列。 定义 在有限时间区间 t ∈[0, nT ] 内，若存在无约束的阶梯控制序列 ，能使系统从任意初态 转移到任意终态 ，则称该系统 是状态完全能控的，简称是能控的。 u(0),L,u(n −1) x(0) x(n) 不失一般性，一般将能控性定义等价地叙述为下列两种情况。 第一种情况：把初始状态规定为状态空间中的任意非零有限点，而终端 状态规定为状态空间中的原点，即 x(t1) = 0 ，则能控性定义又可叙述为 能控性定义：对于线性定常系统 x& = Ax + Bu ，如果存在一个分段连续输 入 ，能在有限时间区间 内，将系统从任一初始状态 转移到零态 ，则称系统是状态能控的。 u(t) ( , ) 0 1 t t ( ) 0 x t x(t1) = 0 第二种情况：把初始状态规定为状态空间中的原点 x(t0 ) = 0 ，而终端状态 规定为任意非零有限点，为区别于第一种情况，这种情况通常称为系统的能达 性。 能达性定义：对于线性定常系统 x& = Ax + Bu ，若存在一个分段连续的输入 u(t) 能在有限时间区间(t0 ,t1) 内，将状态 x(t) 从零状态 x(t0 ) = 0 转移到任一指定 的状态空间中的终端状态 x(t1) ，则称系统是能达的。 可以证明，对于线性定常系统，能控性和能达性是等价的。 不失一般性，以后对能控性的讨论中均规定终端状态为状态原点。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 3

6.2.2能控性判别准则 能控性判别准则:线性定常(连续、离散)系统{A,B}状态完全能控的充 分必要条件是,由A,B构成的能控性判别矩阵S满秩。即 ranks rank A2 B n (6.1) 其中,n是系统的维数。 例6.1判别下列系统的能控性 122 x=0-20 13-3||1 BAB2l]-000 ranks =2<n=3 所以,系统不(完全)能控。 例6.2判别下列系统的能控性 -6-11-61 解 1-62 kS.=3 所以,系统状态完全能控 例6.3判别下列系统的能控性 S的第二行与第三行成比例, ranks=2<3,所以系统不完全能控 例6.4判别下列系统的能控性。 00 x(k+1)=02-2kx(k) 因为 浙江工业大学自动化研究所

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 6.2.2 能控性判别准则 能控性判别准则：线性定常（连续、离散）系统 状态完全能控的充 分必要条件是，由 A，B 构成的能控性判别矩阵 满秩。即 {A, B} Sc rankS rank [B AB A B A B ] n n c = = 2 L −1 (6.1) 其中，n 是系统的维数。 例 6.1 判别下列系统的能控性。 x x u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 1 0 0 1 3 3 0 2 0 1 2 2 & 解 [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = = 1 3 11 0 0 0 0 2 8 2 Sc B AB A B rankSc = 2 < n = 3 所以，系统不（完全）能控。 例 6.2 判别下列系统的能控性。 x x u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 1 0 0 6 11 6 0 0 1 0 1 0 & 解 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = − 1 6 25 0 1 6 0 0 1 Sc rankSc = 3 = n 所以，系统状态完全能控。 例 6.3 判别下列系统的能控性。 解 x x u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 1 1 2 1 0 1 3 0 2 0 1 3 2 & ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − = 1 1 2 2 4 4 1 1 2 2 4 4 2 1 3 2 5 4 c S Sc 的第二行与第三行成比例， rankSc = 2 < 3 ，所以系统不完全能控。 例 6.4 判别下列系统的能控性。 ( ) 1 0 1 ( ) 1 1 0 0 2 2 1 0 0 x(k 1) x k u k ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + = − 解 因为 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 4

BABA2小 rank0 -2 -2 111 k0-2-2|=rmnk0-2-2|=3=n 所以,系统完全能控 例6.5判别下列系统的能控性 解 x(k+1)=0-20x(k)+01k(k) 由于S的前三列组成的矩阵的行列式不为0,因此 ranks=3,所以系统完全 能控 6.2.3能控性第二判别准则 定理:在任何非奇异线性变换下,线性定常(连续、离散)状态方程的能 控性保持不变 证明:设线性定常连续系统的状态方程为 S: x=Ax+Bu (6.2) 经非奇异线性变换x=P变换为 S: x=Ax+Bu (6.3) 由能控性判别准则,S的能控阵为 rankS.=rankB AB A'B 由S与§的关系:A=PAP-1,B=PB,得 rankS.=rank/PB PAP-IPB PA2P-lPB PB PAB PAB 证丽万…x 因为P是可逆即满秩的,所以 rh= rank/B AB2B…“同mk (6.4) 可见,S与S的能控性的判别矩阵具有相同的秩,这就意味着如果S能控,S 也能控,S不完全能控,§也不完全能控。因此,在任何非奇异线性变换下, 系统的能控性保持不变。 类似地,可以证明线性离散系统的情况 证毕 浙江工业大学自动化研究所

自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 [ ] rank rank n rankS B AB A B rank c = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = = − − 3 0 0 2 0 2 2 1 1 1 0 2 4 0 2 2 1 1 1 1 1 3 0 2 2 1 1 1 2 所以，系统完全能控。 例 6.5 判别下列系统的能控性。 解 ( ) 1 0 0 1 0 0 ( ) 1 4 0 0 2 0 2 2 1 x(k 1) x k u k ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = 1 0 0 4 1 10 0 1 0 2 0 4 0 0 1 2 2 4 c S 由于 Sc 的前三列组成的矩阵的行列式不为 0，因此 rankSc = 3 ，所以系统完全 能控。 6.2．3 能控性第二判别准则 定理：在任何非奇异线性变换下，线性定常（连续、离散）状态方程的能 控性保持不变。 证明：设线性定常连续系统的状态方程为 S： x& = Ax + Bu (6.2) 经非奇异线性变换 x = Px 变换为 S： x & = Ax + Bu (6.3) 由能控性判别准则，S 的能控阵为 rankS rank[B AB A B A B] n c 2 −1 = L 由 S 与 S 的关系： A = PAP B = PB − , 1 ，得 [ ] [ ] rank{P[ ] B AB A B A B } rank PB PAB PA B PA B rankS rank PB PAP PB PA P PB PA P PB n n n c 2 1 2 1 1 2 1 1 1 − − − − − − = = = L L L 因为 P 是可逆即满秩的，所以 [ ] c n rankSc = rank B AB A B A B = rankS 2 L −1 (6.4) 可见，S 与 S 的能控性的判别矩阵具有相同的秩，这就意味着如果 S 能控，S 也能控， S 不完全能控， S 也不完全能控。因此，在任何非奇异线性变换下， 系统的能控性保持不变。 类似地，可以证明线性离散系统的情况。 证毕 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所 5