5x1+x2+3x 由原方程{2x1+4x2+x3=2 4x1+6x2+11x3=3 2=(2-2x1-x3) 4 (3-4x1-6x2) (k+1) 3x (k) 2 →{x2 (k+1) (2-2 4 r,(3-4x1 (k)_6x Gauss- Seidel迭代格式: 2 →{x2=(2-2x1-x3) 原方程组为 x (3-4x1-6x2)
由原方程 1 2 3 1 2 3 1 2 3 5 3 1 2 4 2 4 6 11 3 x x x x x x x x x − + + = + + = + + = = − − = − − = − − − (3 4 6 ) 11 1 (2 2 ) 4 1 (1 3 ) 5 1 3 1 2 2 1 3 1 2 3 x x x x x x x x x = − − = − − = − − − + + + (3 4 6 ) 11 1 (2 2 ) 4 1 (1 3 ) 5 1 ( ) 2 ( ) 1 ( 1) 3 ( ) 3 ( ) 1 ( 1) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( 1) 1 k k k k k k k k k x x x x x x x x x Gauss-Seidel 迭代格式： 原方程组为 = − − = − − = − − − (3 4 6 ) 11 1 (2 2 ) 4 1 (1 3 ) 5 1 3 1 2 2 1 3 1 2 3 x x x x x x x x x
(k+1) X 3x (k+1) (2-2x1 (k+1) 4 (k+1) (3-4x1-6x2) 、序列{x6}收敛的条件 定理6:Wx0∈R",常向量g,迭代过程 x{k+)=M()+g收敛台p(M)<1.p(M)为矩 阵M的谱半径P(M)=max4|<1,为矩阵M l≤i<n 的特征值。 例:设方程组Ax=b的系数矩阵A为 A=(3413/4 3/43/41 判别雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代是否收敛。 0-3/4-3/4 解:①M=D(L+U)=-3/40-3/4 40 求M的特征值:
= − − = − − = − − − + + + + + + (3 4 6 ) 11 1 (2 2 ) 4 1 (1 3 ) 5 1 ( 1) 2 ( 1) 1 ( 1) 3 ( ) 3 ( 1) 1 ( 1) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( 1) 1 k k k k k k k k k x x x x x x x x x 二、序列 { } (k ) x 收敛的条件 定 理 6 ： n x R (0) ， 常向量 g ， 迭 代 过 程 ( 1) ( ) k k x Mx g + = + 收敛 ( ) 1 M . ( ) M 为矩 阵 M 的谱半径. 1 ( ) max 1 i i n M = ， i 为矩阵 M 的特征值。 例：设方程组 Ax b = 的系数矩阵 A 为 1 3 4 3 4 3 4 1 3 4 3 4 3 4 1 A = 判别雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代是否收敛。 解：① 1 0 3 4 3 4 ( ) 3 4 0 3 4 3 4 3 4 0 M D L U J − − − = + = − − − − 求 M J 的特征值：
λ3/43/4 A/-M/=3443/4=232320 27 16 3y43/4 49 =-1,I-M132 0 121 A=-2,|-M <0 32 故有一值于(-2,-1)中,P(M)>1,雅可比迭代 不收敛。 ②MG=(D-L)U 0 0 1-01 3/43/4 03/41-3/4 →)01|-3/4 01|-316-3/41
3 3 4 3 4 27 27 3 4 3 4 0 16 32 3 4 3 4 J I M − = = − + = = −1 ， 49 0 32 J I M− = = −2 ， 121 0 32 J I M− = − 故 有一值于 ( 2, 1) − − 中， ( ) 1 M J ，雅可比迭代 不收敛。 ② 1 ( ) M D L U G − = − 1 1 0 3 4 3 4 3 4 1 0 3 4 3 4 3 4 1 0 − − − = − 1 1 1 1 3 4 1 1 0 1 3 4 1 3 4 3 4 1 1 0 3 4 1 3 4 1 → − − 1 1 0 1 3 4 1 0 0 1 3 16 3 4 1 → − − −