数域F，空间V.这里及以后，F=C，即，讨论复数域上的们性空间如果数a,b，向上,,x，那么k.ab+bpEV,.+=++(+)=+)+a(bb) = (ab)b,a(b+p)=ab+bp, (a+b)b=ab+bp,存在零向上0，对u任意的V,k+=，。数域中存在0和1,对u任意的EV,k0·=0,以及1·=范数（nor间）对u任意的EV，定义相应的一个实数，称之为的范数，它满足·对u所k的≠0,>0且仅当==0·用a数乘，得到a，它的范数是Iall = [alll内积（innerproduct）对u任意两个向上,EV，定义一个数（,)EF，称为和之间的内积，须满足如下要求：·（Φ4)≥0，其中当且仅当中=0，等号成立. (,Φ+x)= (b,p) + (Φ,x). (b,ap) =a(b,p),. (,) =(p,b)*由最后两个条件可以推出(ab,)=a*(,)如果两个向上的内积为零，那么它们彼此正交，可以通过内积定义范数：Ill = (, )/2.不过，需要知道的是，范数的定义可以不依赖u内积，6
数域 𝐹, 空间 𝑉 . 这里及以后, 𝐹 = C, 即, 讨论复数域上的线性空间. 如果数 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐹, 向量 𝜓, 𝜙, 𝜒 ∈ 𝑉 , 那么有 ❼ 𝑎𝜓 + 𝑏𝜙 ∈ 𝑉 , ❼ 𝜓 + 𝜙 = 𝜙 + 𝜓, 𝜓 + (𝜙 + 𝜒) = (𝜓 + 𝜙) + 𝜒, ❼ 𝑎(𝑏𝜓) = (𝑎𝑏)𝜓, ❼ 𝑎(𝜓 + 𝜙) = 𝑎𝜓 + 𝑏𝜙, (𝑎 + 𝑏)𝜓 = 𝑎𝜓 + 𝑏𝜙, ❼ 存在零向量 0, 对于任意的 𝜓 ∈ 𝑉 , 有 0 + 𝜓 = 𝜓, ❼ 数域中存在 0 和 1, 对于任意的 𝜓 ∈ 𝑉 , 有 0 · 𝜓 = 0, 以及 1 · 𝜓 = 𝜓. 范数 (norm) 对于任意的 𝜓 ∈ 𝑉 , 定义相应的一个实数 ‖𝜓‖, 称之为 𝜓 的范数, 它满足 ❼ 对于所有的 𝜓 ̸= 0, ‖𝜓‖ > 0. 当且仅当 𝜓 = 0, ‖𝜓‖ = 0. ❼ 用 𝑎 数乘 𝜓, 得到 𝑎𝜓, 它的范数是 ‖𝑎𝜓‖ = |𝑎|‖𝜓‖ 内积 (inner product) 对于任意两个向量 𝜓, 𝜙 ∈ 𝑉 , 定义一个数 (𝜓, 𝜙) ∈ 𝐹, 称为 𝜓 和 𝜙 之间的内积, 须满足如下要求: ❼ (𝜓, 𝜓) > 0, 其中当且仅当 𝜓 = 0, 等号成立. ❼ (𝜓, 𝜙 + 𝜒) = (𝜓, 𝜙) + (𝜓, 𝜒). ❼ (𝜓, 𝑎𝜙) = 𝑎(𝜓, 𝜙). ❼ (𝜓, 𝜙) = (𝜙, 𝜓) * 由最后两个条件可以推出 (𝑎𝜓, 𝜙) = 𝑎 * (𝜓, 𝜙). 如果两个向量的内积为零, 那么它们彼此正交. 可以通过内积定义范数: ‖𝜓‖ = (𝜓, 𝜓) 1/2 . 不过, 需要知道的是, 范数的定义可以不依赖于内积. 6
两个向上之间的距离()=--)=ll两个不等式Cauchy-Sch看artz不等式,(, )≤Ill /ll+ll≤ll+lll，三角形不等式完备性内积一间V中存在一组正交归一的向上，记作[e],i=1,2,,N，N是一间V的维数，即V中线5无关的向上的最大个数[e]构成了一间V的一组动，动向上的正交归一5表示为(ei,ei) = di所谓的完备5，可以这么说：V中的任意一个向上都可以在给定的动上展开：NEcei6=i=1复数c是向上在动向上ei上的分上Ci = (ei, b)有限维复一间是完备的内积一间直和与直积两个Hilbert一间，光和光2，它们的维数分别为M和N.它们的直和光=光④光是一个M+N的一间设=e，=f[e和分别是和的动7
两个向量之间的距离 𝑑(𝜓, 𝜙) = √︀ (𝜓 − 𝜙, 𝜓 − 𝜙) = ‖𝜓 − 𝜙‖. 两个不等式, |(𝜓, 𝜙)| 6 ‖𝜓‖ ‖𝜙‖, Cauchy-Schwartz 不等式, ‖𝜓 + 𝜙‖ 6 ‖𝜓‖ + ‖𝜙‖, 三角形不等式. 完备性 内积空间 𝑉 中存在一组正交归一的向量, 记作 {𝑒𝑖}, 𝑖 = 1, 2, · · · , 𝑁, 𝑁 是空间 𝑉 的维数, 即 𝑉 中 线性无关的向量的最大个数. {𝑒𝑖} 构成了空间 𝑉 的一组基, 基向量的正交归一性表示为 (𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 ) = 𝛿𝑖𝑗 所谓的完备性, 可以这么说: 𝑉 中的任意一个向量都可以在给定的基上展开: 𝜓 = ∑︁ 𝑁 𝑖=1 𝑐𝑖𝑒𝑖 . 复数 𝑐𝑖 是向量 𝜓 在基向量 𝑒𝑖 上的分量, 𝑐𝑖 = (𝑒𝑖 , 𝜓) 有限维复空间是完备的内积空间. 直和与直积 两个 Hilbert 空间, H1 和 H2, 它们的维数分别为 𝑀 和 𝑁. 它们的直和 H = H1 ⊕ H2 是一个 𝑀 + 𝑁 的空间. 设 𝜓 = ∑︀ 𝑖 𝜓𝑖𝑒𝑖 ∈ H1, 𝜙 = ∑︀ 𝑗 𝜙𝑗𝑓𝑗 ∈ H2, {𝑒𝑖} 和 {𝑓𝑗} 分别是 H1 和 H2 的基. 7