人教版九年级上数学知识点总结 21一元二次方程 设未,列方程 数学问题 实际问题 ax2+bx+e=0(a≠0) 解开平 方配方法 分解因式法 学问题的解 21.1一元二次方程 易错点:①a≠0和a=0②方程两个根的取舍 知识点 一元二次方程的定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程, 叫做一元二次方程。 注意已下几点 ①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。 知识点 一元二次方程的一般形式:一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0).其中,ax2是二次项,a是二次项系数;bx是 次项,b是一次项系数;c是常数项。 知识点三 元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方 程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2降次一解一元二次方程 21.2.1配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 (1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如 x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x;=√a,x2=-√a (2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=pⅷm≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。 (3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数 零的平方根是零;负数没有平方根 (4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1 ③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程
1 人教版九年级上数学知识点总结 21 一元二次方程 21.1 一元二次方程 易错点： a≠0 和 a=0 方程两个根的取舍 知识点一 一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程， 叫做一元二次方程。 注意已下几点： ① 只含有一个未知数； ②未知数的最高次数是 2； ③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一 次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 知识点三 一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方 程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如 x 2 =a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得 x1= a ,x2= − a . （2） 直接开平方法适用于解形如 x 2 =p 或(mx+a)2 =p(m≠0)形式的方程，如果 p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数； 零的平方根是零；负数没有平方根。 （4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1； ③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为 两个一元一次方程来解 配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。 (1)把常数项移到等号的右边 (2)方程两边都除以二次项系数; (3)方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;4)若等号右边为非负数,直接开平方 求出方程的解。 21.2.2公式法 知识点一公式法解一元二次方程 1)一般地,对于一元二次方程ax+bx+6=0(≠0,如果的40≥0,那么方程的两个根为x=V), 这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方 程的解,这种解方程的方法叫做公式法。 (2)一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 (3)公式法解一元二次方程的具体步骤 ①方程化为一般形式:ax2+bx+c=0(a丰0),一般a化为正值 ②确定公式中a,b,c的值,注意符号 ③求出b2-4ac的值 ④若b2-4ac≥0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,若b2-4ac<0,则方程无实数根 知识点二一元二次方程根的判别式 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,通常用希腊字母△表示它,即△=b2-4ac △>0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 根的 判别式 △=0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 △<0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根 21.2.3因式分解法 知识点一因式分解法解一元二次方程 (1)把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两个求一元一次方程的解 这种解方程的方法叫做因式分解法。 (2)因式分解法的详细步骤 ①移项,将所有的项都移到左边,右边化为0 ②把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式 ③令每一个因式分别为零,得到一元一次方程; ⑨解一元一次方程即可得到原方程的解 知识点二用合适的方法解一元一次方程 方法名称 2
2 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为 两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1） 把常数项移到等号的右边； （2） 方程两边都除以二次项系数； （3） 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； ⑷ 若等号右边为非负数，直接开平方 求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一 公式法解一元二次方程 （1） 一般地，对于一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)，如果 b 2 -4ac≥0，那么方程的两个根为 x= a b b ac 2 4 2 − − ， 这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方 程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的过程。 （3） 公式法解一元二次方程的具体步骤： ① 方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0(a≠0)，一般 a 化为正值 ② 确定公式中 a,b,c 的值，注意符号； ③ 求出 b2-4ac 的值； ④ 若 b2-4ac≥0，则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解，若 b2-4ac＜0，则方程无实数根。 知识点二 一元二次方程根的判别式 式子 b 2 -4ac 叫做方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2 -4ac. △＞0，方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 △=0，方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 △＜0，方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)无实数根 21.2．3 因式分解法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 （1） 把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解， 这种解方程的方法叫做因式分解法。 （2） 因式分解法的详细步骤： ① 移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0； ② 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； ③ 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。 知识点二 用合适的方法解一元一次方程 方法名称 理论依据 适用范围 根的 判别式
直接开平方法 方根的意义 形如x2=p或(mx+n)=p(p≥0) 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 当ab=0,则a=0或b=0 边为0,另一边易于分解成两个一次因式的 积的一元二次方程。 21.24一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x,x2,则有x+x2=-p,x1×2=q. 若一元二次方程ax+bx+=0(a≠0)有两个实数根x,x,则有x+x,b,x 21.3实际问题与一元二次方程 知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤: (1)审:是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的等量关系。 (2)设:是指设元,也就是设出未知数。 (3)列:就是列方程,这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义,然后列代数式表示这 个相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程 (4)解:就是解方程,求出未知数的值 (5)验:是指检验方程的解是否保证实际问题有意义,符合题意。 (6)答:写出答案。 知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型 (1)数字问题 三个连续整数:若设中间的一个数为x,则另两个数分别为x-1,x+1。 三个连续偶数(奇数):若中间的一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2。 三位数的表示方法:设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数是100a+10b+c. (2)增长率问题 设初始量为a,终止量为b,平均增长率或平均降低率为κ,则经过两次的增长或降低 后的等量关系为a(1±x)2=b (3)利润问题 利润问题常用的相等关系式有:①总利润=总销售价-总成本;②总利润=单位利润×总销 售量;③利润=成本×利润率 (4)图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数 式表示出来,建立一元二次方程 22.二次函数知识点归纳 次亟数 标 「买示题的答素 利用二次函数的图 象与性质求解
3 直接开平方法 平方根的意义 形如 x 2 =p 或（mx+n）2 =p(p≥0) 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 当 ab=0，则 a=0 或 b=0 一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的 积的一元二次方程。 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程 x 2 +px+q=0 的两个根为 x1,x2,则有 x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程 a 2 x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根 x1,x2,则有 x1+x2=， a b − ,x1x2= a c 21.3 实际问题与一元二次方程 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。 （2） 设：是指设元，也就是设出未知数。 （3） 列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这 个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。 （4） 解：就是解方程，求出未知数的值。 （5） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 （6） 答：写出答案。 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1） 数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-1，x+1。 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-2,x+2。 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c，则这个三位数是 100a+10b+c. （2） 增长率问题 设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为 x，则经过两次的增长或降低 后的等量关系为 a（1 x ）2 =b。 （3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销 售量；③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数 式表示出来，建立一元二次方程。 22. 二次函数知识点归纳
看图象能口述性质 抛物线与X 元二次 轴的交点方程的根 公式[化为 直接 开方 有两交点 图象(x10)(x0 合△0 有两个不等根 公公 1开口方向 2顶点坐标 因式配 3,对称轴 法方 4增减性 5.极值 队()钟(燃 式法 法 趣 直接开平方法 ①y=aDx 型②y=ax2+k 无白△0合无实 能③y=aix-h 解法 日④y=ax-h2+k类型 传播问题 性⑤y=ax2+bx+c2 关系 行程问题 磁道阿题 元二次方程 一应用 利润问题 用 次函数 效率问题 拱桥题 与y交点位置 解析式 次 异口方向 c>0在正半轴 定义 a>0向上 c0在原点 函数 a<0向下 c<0在负半轴 与 一元 ax2+bx+c=0 相关概念及定义 1二次函数的概念:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,ε是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调】:和一元二次方程类似,二次项系数α≠0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数 2二次函数y=ax2+bx+c的结构特征 (1)等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2 (2)a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,C是常数项 、二次函数各种形式之间的变换 1二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成:y=a(x-h)+k的形式,其中h=b 2a’ks-b2 4 2二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式: ①y=ax2;②y=ax2+k;③y=a(x-h)2:④y=a(x-h)2+k:⑤y=ax2+bx+c 、二次函数解析式的表示方法 般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 2顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0) 3两根式:y=a(x-x1)x-x2)(a≠0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标) 4注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有拋物线
4 一、相关概念及定义 1 二次函数的概念：一般地，形如 2 y ax bx c = + + （ abc ， ， 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。 【这里需要强调】：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而 b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2 二次函数 2 y ax bx c = + + 的结构特征： （1）等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． （2） abc ， ， 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项． 二、二次函数各种形式之间的变换 1 二次函数 y = ax + bx + c 2 用配方法可化成： y = a(x − h) + k 2 的形式，其中 a ac b k a b h 4 4 2 2 − = − ， = . 2 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ① 2 y = ax ；② y = ax + k 2 ；③ ( ) 2 y = a x − h ；④ y = a(x − h) + k 2 ；⑤ y = ax + bx + c 2 . 三、二次函数解析式的表示方法 1 一般式： 2 y ax bx c = + + （ a ，b ， c 为常数， a 0 ）； 2 顶点式： 2 y a x h k = − + ( ) （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）； 3 两根式： 1 2 y a x x x x = − − ( )( ) （ a 0 ， 1 x ， 2 x 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）. 4 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线
与x轴有交点,即b2-4ac≥0时,拋物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化 四、二次函数y=a2+bx+c图象的画法 1五点绘图法:利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐 标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y轴的交点(0,c)、以及(0,c)关于 对称轴对称的点(2h,C)、与x轴的交点(x,0),(x2,0)(若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点) 2画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点 五、二次函数y=ax2的性质 a的符号开口方向顶点坐标|对称轴 性质 0时,y随x的增大而增大;x<θ时,ν随x的增大而减 a>0 向上 (0,0) 小;x=0时,y有最小值0 a<0 向下 (0,0) y轴x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y随x的增大而增 大;x=0时,y有最大值0 六、二次函数y=ax2+c的性质 a的符号开口方向顶点坐标对称轴 性质 x>0时,y随x的增大而增大;x<0时,ν随x的增大 向上 y轴 而减小;x=0时,y有最小值c 0时,y随x的增大而减小;x<0时,y随x的增大 a<0 向下 而增大;x=0时,y有最大值c 七、二次函数y=a(x-b)的性质: a的符号开口方向顶点坐标对称轴 性质 x>h时,y随x的增大而增大;x<h时,y随x的增 向上 (h,0)x=h 大而减小;x=h时,y有最小值0 x>h时,ν随x的增大而减小;x<h时,y随x的增 向下 X= 大而增大;x=h时,y有最大值0 次函数y=a(x-h)2+k的性质 a的符号开口方向顶点坐标对称轴 性质 x>h时,y随x的增大而增大;x<h时,y随x的 向上 XEh 增大而减小;x=h时,y有最小值k
5 与 x 轴有交点，即 2 b ac − 4 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 四、二次函数 2 y ax bx c = + + 图象的画法 1 五点绘图法：利用配方法将二次函数 2 y ax bx c = + + 化为顶点式 2 y a x h k = − + ( ) ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐 标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 (0，c) 、以及 (0，c) 关于 对称轴对称的点 (2h c ， ) 、与 x 轴的交点 ( x1，0) ，( x2 ，0) （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 2 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点. 五、二次函数 2 y = ax 的性质 六、二次函数 2 y ax c = + 的性质 七、二次函数 ( ) 2 y a x h = − 的性质： 八、二次函数 ( ) 2 y a x h k = − + 的性质 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 0 向上 (0 0 ， ) y 轴 x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增大而减 小； x = 0 时， y 有最小值 0 ． a 0 向下 (0 0 ， ) y 轴 x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而增 大； x = 0 时， y 有最大值 0 ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 0 向上 (0，c) y 轴 x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增大 而减小； x = 0 时， y 有最小值 c ． a 0 向下 (0，c) y 轴 x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大 而增大； x = 0 时， y 有最大值 c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 0 向上 (h，0) X=h x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的增 大而减小； x h = 时， y 有最小值 0 ． a 0 向下 (h，0) X=h x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随 x 的增 大而增大； x h = 时， y 有最大值 0 ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 0 向上 (h k ， ) X=h x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的 增大而减小； x h = 时， y 有最小值 k ．