h时,y随x的增大而减小;x<h时,y随x的 向下 增大而增大;x=h时,y有最大值k 九、抛物线y=ax2+bx+c的三要素:开口方向、对称轴、顶点 1a的符号决定抛物线的开口方向 (1)当a>0时,开口向 (2)当a<0时,开口向下 (3)|相等,抛物线的开口大小、形状相同 2对称轴:平行于y轴(或重合)的直线记作x=-b,特别地,y轴记作直线x=0 3顶点坐标:(-, b 4ac-) 4顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同 只是顶点的位置不同 十、抛物线y=ax2+bx+c中,a,b,C与函数图像的关系 1二次项系数a 次函数y=ax2+bx+c中,a作为二次项系数,显然a≠0 当a>0时,拋物线开口向上,a越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大; (2)当a<0时,拋物线开口向下,a越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大 总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小 2一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴 1)在a>0的前提下 当b>0时,-b 0,即抛物线的对称轴在y轴左侧; 当b=0时, b =0,即抛物线的对称轴就是y轴 当b<0时,-b >0,即抛物线对称轴在y轴的右侧 (2)在a<0的前提下,结论刚好与上述相反,即 当b>0时, 0,即抛物线的对称轴在y轴右侧 当b=0时,-=0,即拋物线的对称轴就是y轴 当b<0时 <0,即抛物线对称轴在y轴的左侧
6 九、抛物线 2 y ax bx c = + + 的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 1 a 的符号决定抛物线的开口方向： （1）当 a 0 时，开口向上； （2）当 a 0 时，开口向下； （3） a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. 2 对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作 2 b x a = − .特别地， y 轴记作直线 x = 0. 3 顶点坐标： （ ， ） a ac b a b 4 4 2 2 − − 4 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同， 只是顶点的位置不同. 十、抛物线 y = ax + bx + c 2 中， a,b, c 与函数图像的关系 1 二次项系数 a 二次函数 2 y ax bx c = + + 中， a 作为二次项系数，显然 a 0 ． ⑴ 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当 a 0 时，抛物线开口向下， a 越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大． 总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小． 2 一次项系数 b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在 a 0 的前提下， 当 b 0 时， 0 2 b a − ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧； 当 b = 0 时， 0 2 b a − = ，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 当 b 0 时， 0 2 b a − ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧． ⑵ 在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即 当 b 0 时， 0 2 b a − ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧； 当 b = 0 时， 0 2 b a − = ，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 当 b 0 时， 0 2 b a − ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧． a 0 向下 (h k ， ) X=h x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随 x 的 增大而增大； x h = 时， y 有最大值 k ．
总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置 3常数项c (1)当c>0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正 (2)当c=0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0 3)当c<0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置 总之,只要a,b,c都确定,那么这条拋物线就是唯一确定的 十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法 1公式法:y=ax2+bx+c=dx+b)+4ae-b b 4ac-6- 4a,∴顶点是( ),对称轴是直线x= 2配方法运用配方的方法,将抛物线的解析式化为y=a(x-h)2+k的形式得到顶点为(h,k),对称轴是直线x=h 3运用拋物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴, 对称轴与拋物线的交点是顶点 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失 十二、用待定系数法求二次函数的解析式 1一般式:y=ax2+bx+c,已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式 2顶点式:y=au(x-h)+k.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式 3交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:y=以(x-x1Xx-x2) 十三、直线与抛物线的交点 1y轴与抛物线y=ax2+bx+c得交点为(0,c) 2与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点(h,ah2+b+c) 3抛物线与x轴的交点:二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程 ax2+bx+c=0的两个实数根,抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定 ①有两个交点分Δ>0分抛物线与x轴相交 ②有一个交点(顶点在x轴上)分Δ=0◇抛物线与x轴相切 ③没有交点Δ<0分抛物线与x轴相离 4平行于X轴的直线与拋物线的交点 可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是 ax2+bx+c=k的两个实数根 5一次函数y=kx+k≠0)的图像l与二次画数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像G的交点,由方程组 y=kr+n 的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时◇l与G有两个交点 y=ax+bx+c ②方程组只有一组解时◇l与G只有一个交点;③方程组无解时◇→l与G没有交点 6抛物线与x轴两交点之间的距离:若地物线y=ax2+bx+c与x轴两交点为A(x,0)B(x2,O),由于x、x2是方程 ax2+bx+C=0的两个根,故:x1+x2=--,x1·x2= -F=-)-( b)4c√b2-4ac√A 十四、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1关于x轴对称 y=ax2+bx+c关于x轴对称后,得到的解析式是y=-ax2-bx-c y=a(x-h)+k关于x轴对称后,得到的解析式是y=-a(x-h)-k 2关于y轴对称 y=ax2+bx+c关于y轴对称后,得到的解析式是y=ax2-bx+c
7 总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置． 3 常数项 c ⑴ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当 c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ； ⑶ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置． 总之，只要 abc ， ， 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法 1 公式法： a ac b a b y ax bx c a x 4 4 2 2 2 2 − + = + + = + ，∴顶点是 （ ， ） a ac b a b 4 4 2 2 − − ，对称轴是直线 a b x 2 = − . 2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y = a(x − h) + k 2 的形式，得到顶点为( h , k )，对称轴是直线 x = h . 3 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴， 对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 十二、用待定系数法求二次函数的解析式 1 一般式： y = ax + bx + c 2 .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式. 2 顶点式： y = a(x − h) + k 2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 3 交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 1 x 、 2 x ，通常选用交点式： ( )( ) 1 2 y = a x − x x − x . 十三、直线与抛物线的交点 1 y 轴与抛物线 y = ax + bx + c 2 得交点为(0, c ). 2 与 y 轴平行的直线 x = h 与抛物线 y = ax + bx + c 2 有且只有一个交点( h , ah + bh + c 2 ). 3 抛物线与 x 轴的交点:二次函数 y = ax + bx + c 2 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 1 x 、 2 x ，是对应一元二次方程 0 2 ax + bx + c = 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交； ②有一个交点（顶点在 x 轴上） = 0 抛物线与 x 轴相切； ③没有交点 0 抛物线与 x 轴相离. 4 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点 可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是 ax + bx + c = k 2 的两个实数根. 5 一 次 函 数 y = kx+ n(k 0) 的 图 像 l 与 二 次 函 数 ( 0) 2 y = ax + bx + c a 的 图 像 G 的 交 点 ， 由 方 程 组 2 y kx n y ax bx c = + = + + 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 l 与 G 有两个交点; ②方程组只有一组解时 l 与 G 只有一个交点；③方程组无解时 l 与 G 没有交点. 6 抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 y = ax + bx + c 2 与 x 轴两交点为 ( 0) ( 0) A x1，，B x2， ，由于 1 x 、 2 x 是方程 0 2 ax + bx + c = 的两个根，故： a c x x a b x1 + x2 = − , 1 2 = ( ) ( ) a a b ac a c a b AB x x x x x x x x = − − = = − = − = − − = − 4 4 4 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 十四、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1 关于 x 轴对称 2 y ax bx c = + + 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 2 y ax bx c = − − − ； ( ) 2 y a x h k = − + 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 ( ) 2 y a x h k = − − − ； 2 关于 y 轴对称 2 y ax bx c = + + 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 2 y ax bx c = − + ；