规则三根轨迹的分支数、连续性和对称性 根轨迹的分支数即根轨迹的条数。根轨迹是描述闭环系统特 征方程的根（即闭环极点）在S平面上的分布，那么，根轨迹 的分支数就应等于条统特征方程的阶数。 由例5-1看出，系统开环根轨迹增益k,(实变量)与复变量 有一一对应的关系。 当k。由0到∞连续变化时，描述条统特征方程根的复变量S 在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是条连续的曲线。 由于实际的物理系统的参数都是实数，如果它的特征方程有复 数根的一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称 于实轴的。 结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨 迹是连续且对称于实轴的曲线。 2023/724 北京料技大学自动化学院自功化系 11
2023/7/24 北京科技大学自动化学院自动化系 11 规则三 根轨迹的分支数、连续性和对称性 根轨迹的分支数即根轨迹的条数。根轨迹是描述闭环系统特 征方程的根（即闭环极点）在s平面上的分布，那么，根轨迹 的分支数就应等于系统特征方程的阶数。 由例5-1看出，系统开环根轨迹增益 （实变量）与复变量 s有一一对应的关系。 g k 当 由0到∞连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s 在平面上的变化也是连续的，因此,根轨迹是n条连续的曲线。 g k 由于实际的物理系统的参数都是实数,如果它的特征方程有复 数根的一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称 于实轴的。 结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨 迹是连续且对称于实轴的曲线
规则四实轴上的根轨迹 实轴上的根轨迹由相角条件可证：设某段右侧的零，极点数分 别为：N,Np m 则：∑a-∑B=Nπ+Npπ=(1+2k)r i=1 i=1 即右侧开环零，极点数的和为奇数时，该段为根轨迹。 Im [s] 0 Re P2 2023/724 北京料技大学自动化学院自功化系 12
2023/7/24 北京科技大学自动化学院自动化系 12 规则四 实轴上的根轨迹 实轴上的根轨迹由相角条件可证:设某段右侧的零,极点数分 别为： 则: 即右侧开环零,极点数的和为奇数时,该段为根轨迹。 , N Nz p 1 1 (1 2 ) m n i j z p i j N N k = = − = + = + Re Im0 [ ]s 1s 1z 1p 2 p p1 p2
规则五渐近线 当开环极点数n大于开环零点数m时，象统有n-m条根轨 迹终止于S平面的无穷远处，这-m条根轨迹变化趋向的直线 叫做根轨迹的渐近线，因此渐近线也有n-m条，且它们交于实 轴上的一点。 渐近线与实轴的交点位置G和与实轴正方向的交角①分别为： P-z, i=1 i=1 n-m 0= (2k+z,（(k=0,12,n-m-） n-m 2023/724 北京料技大学自动化学院自功化系 13
2023/7/24 北京科技大学自动化学院自动化系 13 规则五 渐近线 当开环极点数 n大于开环零点数m时, 系统有n-m条根轨 迹终止于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线 叫做根轨迹的渐近线，因此渐近线也有n-m条, 且它们交于实 轴上的一点。 渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角 分别为: 1 1 n m i j i j P Z n m = = − = − ( ) ( ) 2 1 , 0,1,2, , 1 k k n m n m + = = − − −
(1)根轨迹渐近线的倾角 根据幅角条件：∑∠s-2,)-∑∠(s-p)=180'(2k+,k=0,L,2… i 当s→∞时，零点、极点p,与s矢量复角可近似看成相等 S-3≈/S-卫=0 得到 m9。-np。=180°(2k+1) 所以渐近线的倾角：，=180(2+ 2，k=0,1,2,…,n-m-1 n-m 因共有(n-m)条渐近线，所以只要取(n-m)个不同的倾角即可。 2023/724 北京料技大学自动化学院自功化系 14
2023/7/24 北京科技大学自动化学院自动化系 14 （1）根轨迹渐近线的倾角 根据幅角条件： 当 时，零点 、极点 与 矢量复角可近似看成相等 得到 所以渐近线的倾角： 因共有(n-m)条渐近线，所以只要取(n-m)个不同的倾角即可。 s → j z i p s 180 (2 1) m n k a a − = + 180 (2 1) , 0,1,2, , 1 a k k n m n m + = = − − − s − zj s − pi = 1 1 ( ) ( ) 180 (2 1), 0, 1, 2, m n j i j i s z s p k k = = − − − = + =
(2)渐近线与实轴的交点 幅值条件： K°=s-p小小s-pa s-z小…小-zm 当K→o,则对应于s→∞，此时S-=s-p,,上式可写成： (s-2s-p2小8-P）=(-o）)m (s-21)s-22)…(S-2m) 上式左边展开：s”m+[(p1+p2++pn)-(31+22++2m)小-m1+… 上式右边展开 s-m+o(n-1m)s-m-l+… 比较对应s幂项系数相等，求得： oa(n-m)=(p1+p2+…+Pnm)-(1+z2+…+2m) 所以渐近线相交于同一点。，=B+D++卫）-(S+++】 n-m 2023/724 北京料技大学自动化学院自功化系 15
2023/7/24 北京科技大学自动化学院自动化系 15 （2）渐近线与实轴的交点 幅值条件： 当 ，则对应于 ，此时 ，上式可写成： 上式左边展开： 上式右边展开 比较对应 s 幂项系数相等，求得： 所以渐近线相交于同一点 * 1 1 n m s p s p K s z s z − − = − − * K → s → i i s z s p − = − s n−m +[(p1 + p2 ++ pn ) −(z1 + z2 ++ z m )]s n−m−1 + 1 ( ) n m n m a s n m s − − − + − + 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) a n m n m p p p z z z − = + + + − + + + 1 2 1 2 ( ) ( ) n m a p p p z z z n m + + + − + + + = − 1 2 1 2 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) n n m a m s p s p s p s s z s z s z − − − − = − − − −