第五章线性系统的根轨迹法 5.1根轨迹的基本概念 5.2根轨迹的绘制规则 5.3广义根轨迹 5.4零度根轨迹 5.5象统性能分析 2023/724 北京料技大学自动化学院自功化系 1
2023/7/24 北京科技大学自动化学院自动化系 1 第五章 线性系统的根轨迹法 5.1 根轨迹的基本概念 5.2 根轨迹的绘制规则 5.3 广义根轨迹 5.4 零度根轨迹 5.5 系统性能分析
本章重京 >根轨迹的概念、幅值条件、相角条件 >根轨迹的基本绘制规则 >等效传递函数的概念 >根轨迹的简单应用 2023/7/24 北京料技大学自动化学院自功化系 2
2023/7/24 北京科技大学自动化学院自动化系 2 本章重点 ➢ 根轨迹的概念、幅值条件、 相角条件 ➢ 根轨迹的基本绘制规则 ➢ 等效传递函数的概念 ➢ 根轨迹的简单应用
5,1根轨迹的基本概念 一、一个例子 例5-1 一单位负反馈条统的开环传递函数为： G(S)= S(S+2) 试分析该系统的特征方程的根随系统参数飞的变化在S平面 上的分布情况。 解 象统的闭环特征方程：S2+2S+k。=0 特征方程的根是：S2=-1土V1-kg 设的变化范围是〔0，∞) 2023/724 北京料技大学自动化学院自功化系 3
2023/7/24 北京科技大学自动化学院自动化系 3 一、一个例子 5.1 根轨迹的基本概念 一单位负反馈系统的开环传递函数为： ( ) ( 2) g k k G s s s = + 试分析该系统的特征方程的根随系统参数 的变化在S平面 上的分布情况。 g k 例5-1 系统的闭环特征方程： 2 2 0 g s s k + + = 特征方程的根是： 1,2 s k = − − 1 1 g 设 k 的变化范围是 g 〔0, ∞﹚ 解
■当k。=0时，S1=0,S2=-2 ■当0<k,<1时，S1与S2为不相等的两个负实根； ✉当k,=1时，=，=-1为等实根 ✉当k>1财，2=-1±jk。-1共轭复根。 该条统特征方程 [s] K。→0 jo 的根，随开环系 统参数k从0变到 k.=0 kg=1 =0 ∞时，在S平面 米 上变化的轨迹如 P, 图所示。 →00 2023/724 北京料技大学自动化学院自功化系 4
2023/7/24 北京科技大学自动化学院自动化系 4 当 0 时, g k = 1 2 s s = = − 0, 2 当 0 1 kg 时, s1 与 s2 为不相等的两个负实根； 当 kg = 1 时， s s 1 2 = = −1 为等实根； 该系统特征方程 的根，随开环系 统参数k从0变到 ∞时，在S平面 上变化的轨迹如 图所示。 P1 P2 = 0 g k = 0 g k = 1 g k K g → Kg → j S 当 kg 1 时， s j k 1,2 = − − 1 1 g 共轭复根。 性能
二、根轨迹与条统性能 稳定性当增益K1由0+∞，根轨迹不会越过虚轴进入S平面右半 边，因此条统对所有的值都是稳定的。如果系统特征方程的根 都位于S平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若根 轨迹穿越虚轴进入右半S平面，根轨迹与虚轴交点处的K值，就是 临界稳定的开环增益。 稳态性能开环系统在坐标原点有一个极点，所以属I型系统， 因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定条统的 稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范图。 劲态性能当0<k。<1时，所有闭环极点均位于实轴上，系统为过 阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。 当k。=1时，特征方程的两个相等负实根，条统为临界阻尼 系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。 当。>1时，特征方程为一对共轭复根条统为欠阻尼条统， 单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随K8值的 增如而如火，但调节时间不会有显著变化。 2023/724 北京料技大学自动化学院自功化系 5
2023/7/24 北京科技大学自动化学院自动化系 5 二、根轨迹与系统性能 稳定性 当增益K1由0→∞ ，根轨迹不会越过虚轴进入s平面右半 边，因此系统对所有的值都是稳定的。如果系统特征方程的根 都位于s平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若根 轨迹穿越虚轴进入右半s平面,根轨迹与虚轴交点处的K值，就是 临界稳定的开环增益。 稳态性能开环系统在坐标原点有一个极点，所以属Ⅰ型系统, 因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的 稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。 动态性能当 时, 所有闭环极点均位于实轴上,系统为过 阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。 当 时，特征方程的两个相等负实根，系统为临界阻尼 系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。 当 时，特征方程为一对共轭复根系统为欠阻尼系统， 单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随 值的 增加而加大，但调节时间不会有显著变化。 0 1 g k = 1 g k 1 g k Kg