第6章几个典型的代数系统 【例619】设〈G,*)是一个独异点,并且每个元素 都有右逆元证明(G*〉为群。 证明设e是(G*〉中的幺元。每个元素都有右逆 元,即∨x∈G,彐y∈G使得x*y=e,而对于此y,又 z∈G使得y*z=e。由于x∈G均有x*e=e*x=e,因此 ezyz-xe-x x*y-e=y*ry*xe
第6章 几个典型的代数系统 【例6.1.9】 设〈G,*〉是一个独异点,并且每个元素 都有右逆元,证明〈G,*〉为群。 证明 设e是〈G,*〉中的幺元。每个元素都有右逆 x∈G y∈G使得x*y=e，而对于此y z∈G使得y*z=e x∈G均有x*e=e*x=e，因此 z=e*z=x*y*z=x*e=x 即 x*y=e=y*z=y*x=e
第6章几个典型的代数系统 y既是x的右逆元,又是x的左逆元,故x∈G均有 逆元,〈G*〉为群。对群〈G,*)的任意元素a我们 可以同半群一样来定义它的幂:a0=e,对任何正整数n, ar叶+l=a*a,群的幂运算有下列性质:
第6章 几个典型的代数系统 y既是x的右逆元，又是x的左逆元， x∈G均有 逆元，〈G,*〉为群。对群〈G， *〉的任意元素a,我们 可以同半群一样来定义它的幂：a 0=e，对任何正整数n， a n+1=a n*a，群的幂运算有下列性质：
第6章几个典型的代数系统 定理614对群(G,*〉的任意元素a,b,有 (2)(a*b)1=b1*a1 (3)(a)=(a)(记为an)(n为整数)
第6章 几个典型的代数系统 定理6.1.4 对群〈G， *〉的任意元素a,b，有 （1）(a-1) -1＝a （2）(a*b) -1＝b -1*a -1 （3）(a n ) -1=(a -1 ) n（记为a -n）（n为整数）
第6章几个典型的代数系统 证明 (1)因为a的逆元是a,即a*a1=a1*a=e,所以 C (2)因为 (a*b)*(b1*a1)=a*(b*b1)*a-1=e (b1*a)*(a*b)=b1*(a1*a)*b=e 所以a*b的逆元为b1*a,即(a*b)1=b1*a1
第6章 几个典型的代数系统 证明 （1）因为a -1的逆元是a，即a*a -1=a -1*a=e，所以 (a -1 ) -1＝a。 （2）因为 (a*b)*(b -1*a -1 )=a*(b*b -1 )*a-1=e (b -1*a -1 )*(a*b)=b -1*(a -1*a)*b=e 所以a*b的逆元为b -1*a -1 ，即(a*b) -1＝b -1*a -1
第6章几个典型的代数系统 (3)对n进行归纳。群首先是独异点,所以 am+1-m*a。m=1时命题显然真。设n=k时(a)是a的逆 元为真,即(a)1=(a1)y,那么 a+1*(a1)+1=a*(a*a1)*(a1)k =a*(-1)k=e (a)+*atl=(a)k*(a*a*ak 1k* e 故a+1的逆元为(a)+1,即(ar+)=(a-)+。归纳完 成,得证
第6章 几个典型的代数系统 （3）对n进行归纳。群首先是独异点，所以 a n+1=a n*a。n=1时命题显然真。设n=k时(a -1 ) k是a k的逆 元为真,即(a k ) -1=(a -1 ) k，那么 a k+1*(a -1 ) k+1=a k*(a*a -1 )*(a -1 ) k ＝ak*(a-1)k=e (a -1 ) k+1*a k+1=(a -1 )k*(a -1*a)*a k ＝(a -1 ) k*a k=e 故a k+1的逆元为(a -1 ) k+1 ，即(a k+1 ) -1=(a -1 ) k+1 。归纳完 成,得证