第6章几个典型的代数系统 下面介绍一些特殊半群 定义61.2如果半群〈S*〉中二元运算*是可交换 的,则称〈S,*〉是可交换半群( commutative semIgroups)。如〈Z+〉,〈Z,×〉,〈P(S),⊕〉均是可交 换半群。但〈S,〉,〈Σ*,τ〉不是可交换半群。 定义61.3含有关于*运算的幺元的半群〈S,*〉, 称它为独异点( monoid),或含幺半群,常记为 〈S,*e)(e是幺元)
第6章 几个典型的代数系统 下面介绍一些特殊半群。 定义6.1.2 如果半群〈S,*〉中二元运算*是可交换 的，则称〈S,*〉是可交换半群(commutative semigroups)。如〈Z,+〉,〈Z,×〉,〈P(S), 均是可交 换半群。但〈S S , ,〈Σ*,τ〉不是可交换半群。 定义6.1.3 含有关于*运算的幺元的半群〈S， *〉， 称它为独异点（monoid），或含幺半群，常记为 〈S,*,e〉(e是幺元)。
第6章几个典型的代数系统 【例614】 〈Z+〉是独异点,幺元是0,〈Z+,0 〈Z,X〉是独异点,幺元是1,〈Z×,1 〈P(S),是独异点,幺元是,〈P(S,⊕,⑧〉; 〈*,τ〉是独异点,幺元是(空串),〈∑*,τ 〈S,〉是独异点,幺元是IA,〈S,,IA〉; 但(z,×〉不是独异点,因为无幺元,(1Z,ZE: 偶数集)
第6章 几个典型的代数系统 【例6.1.4】 〈Z,+〉是独异点，幺元是0，〈Z,+,0〉; 〈Z,×〉是独异点，幺元是1，〈Z,×,1〉； 〈P(S), 〉是独异点， ，〈P(S), , 〉； 〈Σ*,τ〉是独异点，幺元是λ(空串)，〈Σ*,τ,λ〉； 〈S S , 〉是独异点，幺元是IA，〈S S , ,IA〉； 但〈ZE ,×〉不是独异点，因为无幺元，（1 ZE，ZE： 偶数集）。
第6章几个典型的代数系统 定义6.14 (1)设〈S,*〉为一半群,若7S,*在T中封闭,则 〈T,*〉称为子半群。 (2)设〈S,*〉为一独异点若TS,*在T封闭, 且幺元e∈T,则〈T,*e〉称为子独异点 我们前面提过,对于有穷集合的二元运算,可用 运算表来给出
第6章 几个典型的代数系统 定义6.1.4 (1)设〈S， *〉为一半群,若T S,*在T中封闭，则 〈T， *〉称为子半群。 （2）设〈S， *〉为一独异点,若T S,*在T中封闭， 且幺元e∈T,则〈T， * ,e〉称为子独异点。 我们前面提过，对于有穷集合的二元运算，可用 运算表来给出。
第6章几个典型的代数系统 定理62一个有限独异点,〈S*e)的运算表中 不会有任何两行或两列元素相同 证明设S中关于运算*幺元是e。因为对于任意的 a,b∈S且ab时,总有 e*a=ab=e*b和a*e=ab=b*e。所以,在*的运算表中不 可能有两行或两列是相同的。 该定理容易理解,因为幺元所在的行、列均与表头 相同,所以不会出现两行(列)元素完全相同的情况
第6章 几个典型的代数系统 定理6.1.2 一个有限独异点，〈S,*,e〉的运算表中 不会有任何两行或两列元素相同。 证明 设S中关于运算*的幺元是e。因为对于任意的 a，b∈S且a≠b时，总有 e*a=a≠b=e*b和a*e=a≠b=b*e。所以，在*的运算表中不 可能有两行或两列是相同的。 该定理容易理解，因为幺元所在的行、列均与表头 相同，所以不会出现两行（列）元素完全相同的情况
第6章几个典型的代数系统 【例6.1.5】S={anb,}运算的定义如表611所示, 判断〈S*〉的代数结构? 解 (1)*是S上的二元运算,因为*运算关于S集合封闭 (2)从运算表中可看出a,bc均为左幺元 (3)yx,yz∈S,有
第6章 几个典型的代数系统 【例6.1.5】 S={a,b,c},*运算的定义如表6.1.1所示， 判断〈S,*〉的代数结构？ 解 （1）*是S上的二元运算，因为*运算关于S集合封闭。 （2）从运算表中可看出a,b,c均为左幺元 （3） x,y,z∈S,有 x*(y*z)=x*z=z (x*y)*z=x*z=z