工”程数学学报 第19卷 便,同时也能使结果和原图便于比较。这是因为假若模版中心偏离x轴原点,那么相干图样同 样发生平移。为了使变换后图形与原图一致,我们使模版空心圆中心位于(0,0)点,又由于计 算快速傅立叶变换时的周期性边条件,圆的其它三个部分就分别被分隔在另三个角上。 3所得结果及分析 图3是对切片进行相关操作后的图样。从切片的相关图样中可以看出,进行相关操作法分 析切片图得到的极值点不只一个。这种情况说明在切片中存在不只一个大圆,这与前面的分析 (每幅切片图中只能有一个极值点)相矛盾。计算结果表明在Z在0到10之间是在图上只能找 到1个峰值点,Z大于10以后,峰值点都不只一个,最多的切片上找到了40多个峰值点(在Z =85的地方)。出现这种现象主要是因为图像文件以象素为单位存储数据,这使得图像的原始 数据是离散化的。因此,当把切片图放大时,切片图的边界就呈现出明显的锯齿状。在Z小的地 方,血管中轴线与Z轴成夹角接近0度,切片图只是在圆的基础上略微的突出,而在Z大的地 方,血管中轴线与Z轴成夹角接近90度,切片图延伸得很长,这样大圆和大圆附近的几个小圆 的差别非常小。对离散的位图来说,将变得不可分辨,反映在我们相关操作的结果上,就出现了 很多峰值点。 左图为0号切片相关操作后的图样,右图为99号切片相关操作图样 图3切片的相关操作图 切片图原始数据的模糊使得本来通过相关操作可以直接得到的一个峰值点变成两个峰值 点或者三个峰值点甚至更多。对此,我们采用了取峰值点集合的中间点的方法来确定切片与中 轴线相交点所在的位置。这是由于考虑到血管的连续性要求,在附近中轴线的位置变化可以近 似用直线来代替,也就是可以近似认为不同切片的大圆圆心在一条空间直线上。把峰值点按X 坐标的大小先后顺序排序后,取中间的点用它的坐标来代替该切片与中轴线相交点的坐标。我 们得出的中轴线图并不是很光滑,中轴线曲线都会出现4-5次的扭折。我们用复合多项式拟 合来平滑曲线,可以得到很好的中轴线图(见图4)。最后,我们用 MathCAD2000画出了它的立 体图,并且做出了它的切片我们把重构出的切片与原始切片图进行比较,发现它们只相差 1像素
建模专辑 利用切片的二维空间相关操作实现血管的三维重建 4对此方法的讨论 总的来讲,这种方法是非常方便和快捷的,能够迅速的得到答案。但是这种算法对图样的 要求是较多的,当样品图形中具有明显的模版图样时,这种方法能得到非常好的结果,但当样 品图形中存在与模版图样相近的图形时这种方法就不能完全给出精确的结果。 (a)中轴线3D图像 (b)X,Y平面投影图 (c)Z,Y平面投影图 (d)X,Z平面投影图 图4 线投影图 我们在统计相干图形的高亮点的数目时发现随图号的增大,有两个峰值存在。开始的几张 图时,由于除大圆外没有和其它和它接近的图形,就使得能唯一确定一个点值。当图号增大时, 高亮点数目逐渐的增多,到z=52达到第一个峰,高亮点多就意味着和大圆相接近的图形较 多,我们由此能判断出此时中心线与z轴的夹角较大,高亮点愈多,切片所切血管面积愈大,则 中心线与z轴夹角愈接近于90°。从统计结果上,我们知道52、85两张图的精确度是最低的,开 头和结尾处的图样精度是很好的。由于计算机保存图片时本身就会造成图片大量细节的丢失, 造成了很大的模糊成分,使得此方法不能达到完全的精确。 在实际应用中,我们的方法将具有卿它方法所无法比拟的优点。因为物象在透镜后焦面上 所成像正是该物象的频谱图,这样我们就可以利用4f透镜系统实现物象和模版的相关操作。 具体做法可以简述如下:先制备出物象的全息图片,其透过率分布函数为: T(u,v)=|G(u,v)+R(u,v)12 I G(u,v)12+1+G(u, v)exp[ -iau]+G(u, v)exp[ iau] 其中G(u,v)是模版图样的频谱,R(u,v,)是作参考光的频谱。再将它放到4f系统的傅立叶
变换平面上,把样品图样f(x,y)放到输入平面上,在紧靠傅立叶变换面后面的场为 F(u,u)T(u, v) (I G(u, v)12+1)F(u, v)F(u, v)G(u, v)exp[-iau] F(u, v)G'(u, expl iau] 其中F(u,v)为f(x,y)谱函数。4f系统的第二个透镜在输出平面产生F(u,v)T(u,v)的傅 立叶变换。由三项的相位,我们可以得到三束光不同的传播方向。从而可以得到这三项经透镜 傅立叶变换后在输出平面的位置,而F(u,v)G(u,v)的傅立叶变换正是我们所需要的样品 图样f(x,y)和模版图样g(x,y)的相关变换。用CCD( Charge Coupled Device)来扫描相关平 面,即可精确的得到相关尖峰的位置。这种用光学原理实现上述相关操作的方法,避免将实验 中得到的切片图样存入计算机中时所造成的图象信息的丢失,从而大大提高了结果的精确程 度 参考文献 [1]宋菲君, Jutamulia S.近代光学信息处理[M].北京:北京大学出版社,1998 [2]赵凯华,钟锡华,光学[M].北京:北京大学出版社,1984 Three-dimensional reconstruction of blood vessels from a 2D correlation analysis of vessel slices HU Yi-bin, XIANG Jie, CHENG Xiang Adviser: WANG Luo-peng Department of Physics, Peking University, Beijing 100871, PR China) Abstract: The concept of correlation has been widely used in image processing to identify and locate similar parts in different im ages. In this report we utilized FFT and iFFT to do correlation operations on a set of 2D blood vessel slices to recoustruct the spatial shapes of the vessel body and its axes curve. The radius of the blood vessel was determined and used to draw the 3D structures of the vessel and its axes via MathCAD. Weve cut slices from the computer generated figure and the result well fit the given slice bitmaps, We also analyzed both the strong and weak points of our method and presented a brief discussion on how to make a 3D re construction by methods in modern optical information processing instead of pure math and computational means Key words: model; reconstruction; FFT