·28· 第一章复数与复变函数 点之间的距离，两者可统称为绝对值.但由于复数有辐角的概念，故作 为复数域中的实数也都有一个辐角(0或π)，这显然与实数域中的实数 是不同的。 4.正确理解复变函数及与之有关的概念：正确理解区域、单连战、 多连域、简单曲线等概念， 思考题 1.1一个复数的实部和虚部是否唯-确定？又其模和辐角是否唯一确定？复 数0的辐角是否确定？为什么？ 1.2如何运用复数的代数表示式进行四则运算？要注意什么？ 1.3下面的表示式或说法是否成立： (1)0<i: (2)2i<3i: (3》因为3>2，所以3-i>2-: (4)由之=r十n得Argz=Arctan义 习题一 1.1计算下列各式. (1)(1+i)-(3-2i): (2)(a·i)3: (3)0=100-2 (4)1 x+1 (=x+iy≠-t): 1.2证明下列关于共轭复数的运算性质： (1)(z1士x2)=81士22； (2)(z之2)=z182: (3) - (2≠0) 2×1-z2=i, 1.3解方程组 (1+i)z1十i32=43i. 1.4将直线方程ur十y+c=0(a2十b2≠0)写成复数形式， [提示：记x|iy=z).7 1.5将圆周方程a(x2+y)十x十cy十d=0(a≠0)写成复数形式（即用x与
-- ·30· 第一章复数与复变函数 (2)以0为中心，焦点在实轴上，长半轴为《，短半轴为b的椭圆周 1.14试将函数x2·v21(xyr)与成之的函数(=x十y). 1.15试证lim Rc三不存在 1.16设 J f)=2+y ≠0， 0 x-0. 试证f〔：)在z0处不连续
第二章解析函数 解析函数见本课程讨论的中心，是复变数研究的主要对象，飞在 理论和实际向题中有着泛的应用.本章光引入复变函数的导数概念· 然后时论解析函数，介绍函数解析的一个充分必要条件.它是用函数的 实部和虚部所其有的微分性质来表达的.接着介绍几个初制等函数，这些 初等函数是最常州的函数.因而特别重要 §2.1解析函丙数的概念 §2.1.1复变函数的导数 定义2.量设函数=f(之)在点x。的某邻域内有定义，，十心是 邻域内狂一点，△=f(十Az)-f(),如果 im im (s. Ag 存在有限的极限值A,则称∫（之》在2处可导、A记作(，）或 dw ，即 ()=lim f(z+△z)-f(zm2, (2.1) 42 或 △w=f(z)△z+o|△z|)（△x+0), (2.2) 也称df(o)=(n)△之或(z)dz为f(x)在zn处的微分，故也称 ∫(z}在0处可微： 由定义易知，如果f(之)在x:处可导（或可微），则(x)在z处连 续
谷2.1解析函数的概念 ·33· f)士g(),(zg()以及}(g(e)≠0)在D上为解析，且有 g(z) [f(z)±g(z)]=(2)士g'(2), f(z)g(z)]=f(x)g(z)+f(z)g'(z), [%=Pe86fg, Lg(z)2 此外，很容易知道常数的导数是0，以及 (2“)”二nz1(n为月然数)， f(z)]'=P()(k为常数). (2)复合函数的求导法则 设函数=f(z)在区域D内为解析，函数0=：()在区域内为 解析，又f(D)二G(f(D)表示函数=f()的值域，也就是区域D的 像)，则复合函数=g(f(z))=h(z)在D内为解析，且有 h'(z)=[g(f(x))]'=g(f(x)f'(x). (3)反函数的求导法则 设函数心=f(x)在区域D内为解析且”（心）≠0，义反函数2= f1()=p()存在且为连续，则 g'w）=al=7g以万 例2.3求函数∫(e)=2十3的解析性区域及该区域上的导 4z°+1 函数. 解设P(2)=2x一x十3，Q(z)=4z2十1，P和Q都是之的多项 式.由函数z(n为任意自然数)在企平面解析的事实以及乘积与和、差 的求导法则知P和Q都在全平面解析.而由商的求导法则知当 Q(z)≠0时，f(z)=P(z)/Q(x)为解析，又方程Q(之)=0即4z2+1=0的 解是2=√一牙=士2因此在全平面除去点号与一号的区坡内(：) 为解析.f(z)的导数可如下计算： f(z)=P'()Q(x)-P(Q(z) [Q(z)]
·34· 第二章解析函袋 =(4x上1D(10x=1)-(23-之+3)(8) (42+1)2 =21之·10十1之-21-1 (4z2+1) S2.1.3函数解析的一个充分必要条件 设函数一(x)在区域D内为解析，根据是变函数与二元实变函 数的联系，我们自然要问：作为解析函数的实部与虚部的两个一元函数 有什么特性？下述定理回答了这个问题. 定理2.1函数∫(g=(r,y)十i(,y）在之二x十iy处可导的允 要条件是，u(xy),(x,y)在点(·y)处可微，而i且满足柯西一黎曼 (Cauchy-Riemann)方程（简称CR方程）： 密 =- d' (2.3) 证先证必要性.设f(z)在这一x+iy处可导，心作'(z)=a+b、 则由(2.2)式有 f(z+△x）-f(z)=(a+ih)山z+o(,⊥这) =(a+ib)(4+1x)+o(|dg|), 其中，f(z十△z)-f(z)=△+i△v,△z=Ax+iAy.分开实部和虚部，得 (x+△x,y+△y)-u(x,y)=a△b△y+o(|△x|)、 v(x+Ax,y+△y)…v(x,y)=b△r+aAv+n(|x|), 可见u(x,y)及v(r,y)在点(x,y)处可微，并有 ar 再证充分性.设，v在(x,y)处可微，且(2.3)式成立.则有 Aw=u(x,y)△r+y(x,y)Ay+o(i△g), △w=,(x,y)△x+(x.y)△y十o(|△z|). 于是由(2.3)式知 Au=Au+i△y =[w(x,y)+i(xy)](AxTi△v)+o(|△1)， 因而