§2.1解析函数的概念 ·35· △t心 ln =a(xy)十iw,(.r,v）=a-i. 由上讨论可见.当定理2.1的条件满足时，可按下列公式之一计算 (x) ci= (2.4) 注意，C-R条件只是函数∫(~)可宇的必要条件而并非充分条件。 这个道理可以很简单地说明.因为，一个二元函数在某一点有偏导数甚 至不能保证函数在该点为连续，更不要说在该点为可微了，例如取两个 函数4(x,y)与(r、y)如下： t十y2≠0， (r,y)=v(r,y)= 0. x2+y2=0, 再令f(x=u(r,y)十iv(x,y),则f()在2=0这点就满足 ==0=- 超 1=0 但f(x)在之=0处是不连续的，从而是木可导的， 如果考虑区域上的解析函数，由定理2.1就可以得到下面的结论， 定理2.2函数f(之)=(x,y)+i(x,y)在区域D内解析（即在 D内可导)的充要条件是，4(x,y)和v(x,y)在)内处处可微，而且满 足CR方程. 推论设(：)=u(x,y)+iw(x,y)在区域D内有定义，如果在D 内u(x,y)和(c,y)的四个偏导数，u,v,vy存在且连续，并且满 足C-R方程，则f(x)在D内解析. 证由于u(x,y)和v(x,y)具有一阶连续偏导数，因而u(x,y)和 (r,y在D内可微.由定理2.2知f(2)在)内解析. 上述定理提供了判断函数f(?)在区域)内是否解析（或在某点是 否可导)的方法，即∫(z)在D内不满足CR方程，则f(z)在D内不解 析；如果在D内满足(-R方程，而且“和具有-一阶连续偏导数，则
·36+ 第二章解析函数 (x)在D内解析.并给出了一个简洁的导数公式(2.4). 例2.4讨论下列函数的可导性和解析性 (1)w=Rex;(2)wz|2; (3)f(z)=e(cos y+i sin y). 解(1)因为u=xv=0,且 密-1，=0=0，六=0 可知CR方程不满足，所以和=Rc之在复平面内处处不可导，从而也 处处不解析 (2)=|z2=2+y2,所以4=x2+y2,0=0,且 密-2x,来=2，完=0，密=0 可见C-R方程只在点(0,0)成立.由定理2.1知该函数在2=0处可导， 且由(2.4)知P(0)=0.对于其它z≠0的点，这个函数不可导，所以这 个函数在=0处不解析.从而在复平面上处处不解析· (3)因为=e'cos y,v=e'sin y,且 密=c,=-ain y.密=e'y密 au=e'cos y, 从而C-R方程满足，并且由于上面四个一阶偏导数均连续，所以f(z) 在复平而内处处可导，故也处处解析.根据(2.4)式，有 f()(cosy+i sin yf(). 例25如果(x)在区域D内解析，而且满足下列条件之一，则 f(z)在D内为常数. (1)P(z)=0;(2)Ref(之)=常数；(3)|f(z)l为常数. 证少由P)-出i密一多-第-0和器密-密多 0,故u,v都是常数，从面f(之)在D内为常数. (2)因为4=常数，故密密0.由CR方程妇密=密=0，厥以 ∫(x)为常数
82.2解析函数和调和函较的关系 ·37· (3)|f(x)=十2=常数，分别对r,y求偏导数得 =0, d ctt小'气-。一0· ay 由C-R方程得 ch 二0.1 所以(w2+x2) x-0.r2r)=0. y 当2+w2=0时4=一0，故f()一0，囚而得证. 当公+子0时，密-密=0，放以-常数，再由(2)知fe)企D内 为常数， §2.2解析函数和调和函数的关系 §2.2.1调和函数的概念 平面静电场中的电位函数、无源无旋的平面流速场中的势函数与 流函数都是一种特殊的二元实函数，即所谓调和函数，它们都与某种解 析函数有着密切的关系.下面给出调和函数的定义、 定义2.3如果二元实函数(x,y)在区域D内有二阶连续偏导 数，且满足二维拉普拉斯(Laplace)方程 器+ F=0. 则称(x,y)为区域D内的调和函数，或说函数(x,y)在区域D内调 和. 定理2.3设函数f(x)=u(x,y)+v(x,y)在区域D内解析，则 f(2)的实部a(x,y)和虚部v(c,y)都是区域D内的调和函数 证因(x)在区域D内解析，所以u,在D内满足C-R方程
·38· 第二章 解析函数 =一 ar 0 Ax 当f(之)解析时“，有任意阶连续偏导数（这-一事实本书后面将要指 明) 在.上述二式中分别对y与x求偏导数，得 、 子￥vu 7 axy’ r3· 因 山a于是 乎v 净 2=x-i证 =0. 这就是说，u(x,y)是区域D内的和的数.同理，(x,y)也是区域) 内的调和函数. §2.2.2共轭调和函数 定义2.4设函数(x,y)及(x,y)均为区域D内的调和函数， 且满足C-R方程 客=装若= 西 则称中是的共轭调和函数. 显然，解析函数的虚部是实部的共轭调和函数.反过来，由具有共 轭性质的两个调和函数构造一个复变函数是不是解析的？下面的定理 (证明从略)回答了这个问题、 定理2.4复变函数f(x)=u(x,y)+iw(x,y)在区域)内解析的 充分必要条件是：在区域D内，f(x)的虚部(x,y)是实部u(x,y)的共 轭调和函数， 根据这个定理，便可利用一个调和函数和它的共轭调和函数作出 一个解析函数、 §2,2,3解析函数与调和函数的关系 由于共轭调和函数的这种关系，如果知道了其中的一个，则可根据
▣0* 第二章解析函数 d y =e'(cos y ysin y+xcos y)+1, 由 e'(cos y-ysin y+rcos y)+1 ar y 得 u[e'(cos y-ysin y+rcos y)+1dx =c'(xcos y-ysin y)+x+g(y). 由3江 e'(ycos y+xsin y+siny）千1 =e(xsin y+ycos y+sin y)-g'(y). 故g(y)=一y十C,因此 u=e'(ccos y -ysin y)+x-yC, 从而 f(z)=e'(rcos y-ysin y)+x-y+C +i[e'(ycos y+xsin y)++y] =xee +iyee +r(1+i)+iy(1+i)+C. 它可以写成 f(x)=e+(}+i)x+C. 由f(0)=0,得C二0，故所求的解析函数为 f(z)=xe十(1+i)x. 设4(x,y)为单连通区域D内的一个调和函数，下而介绍利用曲 线积分求4(x,y)共轭调和函数的方法. 我们从C-R条件知道，函数u决定了函数v的全微分，即 赵r十 d=密4+y=一 赵dy 在高等数学课程中知道，当D为单连通区域时，上式右端的积分（指第 二型曲线积分)与路径无关，而)即可表示为 v(I,y)= 心”-r+y+C