重点难点 第一篇复变函数论 本篇重点：解析函数、复变函数的积分与留数定理. 本篇特色：通过一典型环路积分，将各章节有机联系起来，使复变函数理论成为 一个系统的有机整体，并加强了各部分内容之间的相互联系.注重培 养创新思维、计算机仿真和解决实际问题的能力. 第一章复数与复变函数 本章重点：复数的基本知识和复变函数区域的基本概念及其判断方法： 复变函数连续和极限的概念； 区域概念及其判断： 复变函数的极限和连续。 本章难点：涉及到计算机编程实践，以培养读者的计算机仿真能力.读者可以利用 Matlab,Mathcad,Mathmatic等数学工具软件直接进行复数及复变函数的基本 运算，详细参考第四篇：计算机仿真编程实践部分 本章知识点摘要： 1.复数的概念 定义形如x+少的数为复数，记作2=x+少.其中x、y分别称为复数：的实部、虚 部，记作x=R(日)，y=m(e),i称为虚数单位，它满足F=-1.与实数不同，两个复数之 间一般不能比较大小. 2.复数的表示法 (1)几何表示：对于复数2=x+少可以用平面上起点在O(0,),终点在P(x八的 矢量（或向量）OP表示： (2)代数表示：对于平面上的点P(:,)可用代数形式2=x+少表示复数，这种表 示法称为代数表示，也可称为直角坐标表示： (3)三角表示：当2=x+y≠0时，复数可用三角函数2=r(cos8+isin9)形式表示. 其中r==VR+严称为复数z的模：=Ag=ag+2kn(k取整数)称为z的辐角。 当k=0时，对应于辐角的主值8=ag2,在本书中规定为-π<ag2≤π： 3.复数的运算 (1)复数满足常规的四则运算规律， (2)若=r(cos8+isin8),=5(cos8+isin8),则 =5[cos(e+02)+isin(0,+0,)] (32≠0) (3)方根：设=r(cos8+isin8),则 E=cos0+2k@）+isn(g+2园 k=01.2.…,n-1 关于复数的模和辐角有以下运算公式 =.E同（≠0） Arg()=Arg+Arg-2
重点难点 第一篇 复变函数论 本篇重点：解析函数、复变函数的积分与留数定理. 本篇特色：通过一典型环路积分，将各章节有机联系起来，使复变函数理论成为 一个系统的有机整体，并加强了各部分内容之间的相互联系.注重培 养创新思维、计算机仿真和解决实际问题的能力. . 第一章复数与复变函数 本章重点：复数的基本知识和复变函数区域的基本概念及其判断方法； 复变函数连续和极限的概念； 区域概念及其判断； 复变函数的极限和连续。 本章难点：涉及到计算机编程实践, 以培养读者的计算机仿真能力. 读者可以利用 Matlab ,Mathcad,Mathmatic 等数学工具软件直接进行复数及复变函数的基本 运算, 详细参考第四篇：计算机仿真编程实践部分 本章知识点摘要： 1.复数的概念 定义形如 x y + i 的数为复数，记作 z x y = + i .其中 x 、y 分别称为复数 z 的实部、虚 部，记作 x z = Re( ) ， y z = Im( ) ，i 称为虚数单位，它满足 2 i 1 =− .与实数不同，两个复数之 间一般不能比较大小. 2.复数的表示法 （1）几何表示：对于复数 z x y = + i 可以用平面上起点在 O(0,0) ，终点在 P x y ( , ) 的 矢量（或向量） OP 表示； （2）代数表示：对于平面上的点 P x y ( , ) 可用代数形式 z x y = + i 表示复数，这种表 示法称为代数表示，也可称为直角坐标表示； （3）三角表示：当 z x y = + i 0 时，复数可用三角函数 z r = + (cos isin ) 形式表示. 其中 2 2 r z x y = = + 称为复数 z 的模； =Arg arg 2 z z k = + （ k 取整数）称为 z 的辐角. 当 k = 0 时，对应于辐角的主值 0 = arg z ，在本书中规定为 − π arg z π ； 3.复数的运算 （1）复数满足常规的四则运算规律. （2）若 z r 1 1 1 1 = + (cos isin )， z r 2 2 2 2 = + (cos isin ) ，则 z z r r 1 2 1 2 1 2 1 2 = + + + cos isin ( ) ( ) (z2 0) （3）方根：设 z r = + (cos isin ) ，则 ( 2 π) ( 2 π) cos isin n n k k z r n n + + = + k n = − 0,1,2, , 1 关于复数的模和辐角有以下运算公式 1 2 1 2 z z z z = ； 1 1 2 2 z z z z = (z2 0) Arg Arg Arg (z z z z 1 2 1 2 ) = +
4.区域和平面曲线 本章我们给出了系统的有关区域和平面曲线的概念. (I)区域：严格的定义是指同时满足下列两个条件的点集D:(1)全由内点组成： ()具有连通性：即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来，且折线上的点全都 属于该点集：满足这两个条件的点集D称为区域。 连通的开集称为区域，区域与它的边界一起构成的点集称为闭区域.区域可分为有界 区域和无界区域，区域还有单连通区域与复连通区域之分. (2)简单曲线：没有重点的连续曲线，称为简单曲线.简单闭曲线：如果简单曲线的 两个端点重合，则称为简单闭曲线。 5.复变函数 极限与连续 函数()=x)+iw(x,)的极限等价于两个二元实函数“=u(飞，)和v=(x,)的 极限. 函数f白)=uk,)+i(x,)在点。=+以处的连续性等价于两个二元实函数 u(xy)和（化，）在该点的连续性。 解题思路： 例研究什么原像通过映射w=z后变为相互垂直的直线u=a,v=b,(a,b>0) 【解】由w=2之=(x+)=x一少+i2y，,可以视为从y平面到m平面的映射， 即为从：平面（原像）到w平面（像）的映射，易得 u=x2-y2,v=2xy 我们具体考察在w平面的像为相互垂直的直线，原像应该是什么？由题得到 u=x2-y2=a,v=2xy=b,(a,b>0) 即有 x2-y2=a,(a>0)显然原像为双曲线，如图111(@)实线所示： 即有 v=2y=b,(亿>0)显然原像为双曲线，如图1.11(@)虚线所示。 另外我们还可以进一步观察双曲线对应的变化关系 特别地，当原像点在如图1.11(a)的双曲线右分支实线上时，由u=a且0=2灯y,得到， v=2y√少+a因此双曲线的右分支的像可以表示为参数形式： u=a,v=2yy +a u=a>0 -2=b>0 (-0<y<0) 0 u 很明显， 当点(x,)沿 (b) 图1.11 着右分支实线 向上运动时，它的像如图1.11(b)沿直线4=a向上运动.同样，双曲线左分支的像的参数形式 表示为 u=a, v=-2wy+a (-0<y<∞) 当左分支上的点沿曲线向下运动时，它的像也沿直线=a向上运动 同样地可以分析：另一双曲线
4.区域和平面曲线 本章我们给出了系统的有关区域和平面曲线的概念. （1）区域：严格的定义是指同时满足下列两个条件的点集 D：(i) 全由内点组成； (ii)具有连通性: 即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来，且折线上的点全都 属于该点集；满足这两个条件的点集 D 称为区域. 连通的开集称为区域，区域与它的边界一起构成的点集称为闭区域.区域可分为有界 区域和无界区域，区域还有单连通区域与复连通区域之分. （2）简单曲线:没有重点的连续曲线,称为简单曲线.简单闭曲线: 如果简单曲线的 两个端点重合，则称为简单闭曲线. 5.复变函数 极限与连续 函数 f z u x y x y ( ) = + ( , i , ) v ( ) 的极限等价于两个二元实函数 u u x y = ( , ) 和 v v = ( x y, ) 的 极限. 函数 f z u x y x y ( ) = + ( , i , ) v ( ) 在点 0 0 0 z x y = +i 处的连续性等价于两个二元实函数 u x y ( , ) 和 v ( x y, ) 在该点的连续性. 解题思路: 例 研究什么原像通过映射 2 w = z 后变为相互垂直的直线 u a b a b = = , , ( , 0) v . 【解】 由 2 2 2 2 w = = + = − + z x y x y xy ( i ) i2 ，可以视为从 xy 平面到 uv 平面的映射， 即为从 z 平面(原像)到 w 平面（像）的映射，易得 2 2 u x y xy = − = , 2 v 我们具体考察在 w 平面的像为相互垂直的直线,原像应该是什么？由题得到 2 2 u x y a xy b a b = − = = , 2 , ( , 0) v = 即有 2 2 x y a a − = ,( 0) 显然原像为双曲线，如图 1.11(a)实线所示； 即有 v = 2 , ( 0) xy b b = 显然原像为双曲线，如图 1.11(a)虚线所示. 另外我们还可以进一步观察双曲线对应的变化关系. 特别地，当原像点在如图 1.11(a)的双曲线右分支实线上时，由 u a = 且 v = 2xy ，得到， 2 v = + 2y y a .因此双曲线的右分支的像可以表示为参数形式： 2 u a y y a = = + , 2 v ( ) − y 很明显， 当点 ( , ) x y 沿 着右分支实线 向上运动时，它的像如图 1.11(b)沿直线 u a = 向上运动.同样，双曲线左分支的像的参数形式 表示为 2 u a y y a = = − + , 2 v (− y ) 当左分支上的点沿曲线向下运动时，它的像也沿直线 u a = 向上运动. 同样地可以分析：另一双曲线 u v u a = 0 v = b 0 x y 0 0 图 1.11 （a） (b)
2xy=b (b>0) 映像到直线v=b.变化趋势如图1.11()，(b)虚线所示，读者可自行分析 重点难点 第二章解析函数 重点：复变函数导数的定义、求导法则及可微性概念： 解析函数的概念： 保角映射的概念： 常用的初等解析函数： 解析函数与调和函数的关系 难点：多值函数产生多值性的原因： 如何找出支点以及在什么样的区域内多值函数可以划分为单值的解析分支： 从几何意义上描述解析函数的特征. 特色：(Matlab,Mathcad,Mathmatic)编程计算简单的复数方程 本章知识点摘要： 1.复变函数的导数与微分 复变函数的导数定义在形式上和一元实函数的导数定义是类似的： e)=me+-f但 微分的定义和高等数学里面一元实函数的微分定义也相似，而且可导和可微是等价的， df(=)=f()d= 2.解析函数的概念 解析函数是复变函数中一个十分重要的概念，它是用复变函数的可导性来定义的，若 f(2)在0及其一个邻域内处处可导，则称(2)在0解析.函数在某一点可导，在这点未必 解析，而在某一点解析，在这点一定可导.函数在一个区域内的可导性和解析性是等价的. 3.柯西一黎曼条件方程 复函数的解析性除了要求其实部和虚部的可微性外，还要求其实部和虚部满足柯西一 黎曼方程（即C-R方程）. 函数f(e)=+iw在区域D内解析台4，V在D内可微，且满足CR条件： 4=Vy,Vx=-4, 4.关于解析函数的求导方法 (1)利用导数的定义求导数 (2)若己知导数存在，可以利用公式 f(e)=4,+iv=v-i4,=4-i4,=v,+iw, 求导. 5初等复变函数 初等复变函数的解析性：初等函数解析性的讨论是以指数函数的解析性为基础的，因此 在研究初等解析函数的性质时，都可归结到指数函数来研究. 6解析函数与调和函数的关系 区域D内的解析函数fe)=Mx,)+ix,)的实部和虚部都是D内的调和函数.要想使得 f(e)=u+iw在区域D内解析，“和v还必须满足C-R条件.因此若己知一调和函数，可由它 构成某解析函数的实部（或虚部），并可相应地求出该解析函数的虚部（或实部），从而求出 该解析函数.平面稳定场求复势就是其典型应用，也是解析函数物理意义的体现. 解题思路
2xy b = ( 0) b 映像到直线 v = b .变化趋势如图 1.11(a),(b)虚线所示，读者可自行分析. 重点难点 第二章 解析函数 重点：复变函数导数的定义、求导法则及可微性概念； 解析函数的概念； 保角映射的概念； 常用的初等解析函数； 解析函数与调和函数的关系 难点：多值函数产生多值性的原因； 如何找出支点以及在什么样的区域内多值函数可以划分为单值的解析分支； 从几何意义上描述解析函数的特征. 特色：（Matlab，Mathcad，Mathmatic）编程计算简单的复数方程 本章知识点摘要： 1.复变函数的导数与微分 复变函数的导数定义在形式上和一元实函数的导数定义是类似的： 0 ( ) ( ) ( ) lim z f z z f z f z z → + − = 微分的定义和高等数学里面一元实函数的微分定义也相似，而且可导和可微是等价的， d ( ) ( )d f z f z z = . 2.解析函数的概念 解析函数是复变函数中一个十分重要的概念，它是用复变函数的可导性来定义的，若 f z( ) 在 0 z 及其一个邻域内处处可导，则称 f z( ) 在 0 z 解析.函数在某一点可导，在这点未必 解析，而在某一点解析，在这点一定可导.函数在一个区域内的可导性和解析性是等价的. 3.柯西－黎曼条件方程 复函数的解析性除了要求其实部和虚部的可微性外，还要求其实部和虚部满足柯西－ 黎曼方程（即 C-R 方程）. 函 数 f z u ( ) i = + v 在区域 D 内解析 u,v 在 D 内可微，且满足 C-R 条件： , x y x y u u = = − v v . 4.关于解析函数的求导方法 (1) 利用导数的定义求导数 (2) 若已知导数存在，可以利用公式 ( ) i i i i x x y y x y y x f z u u u u = + = − = − = + v v v v 求导. 5 初等复变函数 初等复变函数的解析性：初等函数解析性的讨论是以指数函数的解析性为基础的，因此 在研究初等解析函数的性质时，都可归结到指数函数来研究. 6 解析函数与调和函数的关系 区域 D 内的解析函数 f z u x y x y ( ) ( , ) i ( , ) = + v 的实部和虚部都是 D 内的调和函数.要想使得 f z u ( ) i = + v 在区域 D 内解析， u 和 v 还必须满足 C-R 条件. 因此若己知一调和函数，可由它 构成某解析函数的实部（或虚部），并可相应地求出该解析函数的虚部（或实部），从而求出 该解析函数. 平面稳定场求复势就是其典型应用，也是解析函数物理意义的体现. 解题思路
例己知等势线的方程为术+y=C,求复势. 【解】若设u=r+少，则”。=2，”，=2”。+，≠0，故u不是调和函数.因而不 du=0 能构建为复势的实部（或虚部）.若令p=x+少，u=F(p),采用极坐标有p ，故 Aw=10p0+1=0 “)+ 把极坐标系中的拉普拉斯方程 pop op'pdo 简化为 18(p)=0 pop op ,即为 cu =C,∴.u=Clnp+C op Ov -=p 根据极坐标C-R条件的得到 do O=Cv=C0+C, ap 故复势为 f()=C Inp+C2 +iCo+iC=C(Inp+i)+C,+iC =C Inz+C, (C=C,+iC) 我们可以总结出，当弘，"具有(x+少)广“的函数形式时，一般采用极坐标运算较为方便。 重点雅点 第三章复变函数的积分 重点：复变函数积分的概念、性质及计算方法： 解析函数积分的基本定理—柯西积分定理： 推广得到的复合闭路定理，闭路变形定理： 由柯西积分定理推导出一个基本公式—柯西积分公式 难点：理解分别以有界单连通域、有界复连通域、无界区域对柯西积分公式进行的证明： 理解复变函数积分理论既是解析函数的应用推广 特色：尝试计算机仿真计算积分的值。 本章知识点摘要 1.本章所涉及的典型实例类型总结 第一类典型实例：给出了不同于常规教材的重要典型实例，即计算环路积分- 它可以分别用复变函数论中的理论进行求解.由此读者能应用柯西积分定理、柯西积分公式、 以及即将学习的级数展开法、留数定理以及留数和定理进行求解。由此加强各章节之间的有 机联系，使读者充分理解各定理的区别和联系， 6ld=l 第二类典型实例：复变函数模的积分（如-心）的计算方法，取模后该积分与二 元实函数的环路积分类似，故为高等数学中的环路实积分提供了新的计算方法. 第三类典型实例：若要使闭合环路积分中换元法仍然有效，则必须考虑积分变换后辐 角的改变， 2.本章系统知识概述 1).复变函数的积分 复变函数积分的概念是这一章的主要概念，它是定积分在复数域中的自然推广，和定 积分在形式上也是相似的.只是把定积分的被积函数(x)换成了复函数f(e),积分区间[a,可
例 已知 等势线的方程为 2 2 x y c + = ，求复势. 【解】若设 2 2 u x y = + ，则 2, 2 0 xx yy xx yy u u u u = = + ，故 u 不是调和函数.因而不 能构建为复势的实部（或虚部）.若令 2 2 2 = + = x y u F , ( ) ，采用极坐标有 0 u = ，故 把 极 坐 标 系 中 的 拉 普 拉 斯 方 程 2 2 2 1 1 ( ) 0 u u u = + = 简化为 1 ( ) 0 u = ，即为 1 1 2 , ln u C u C C = = + 根据极坐标 C-R 条件的得到 1 1 3 , u C C = = + v v = C ， 故复势为 1 2 1 3 1 2 3 1 2 3 ( ) ln i i (ln i ) i ln , ( i ) f z C C C C C C C C z C C C C = + + + = + + + = + = + 我们可以总结出，当 u,v 具有 2 2 ( ) n x y + 的函数形式时，一般采用极坐标运算较为方便. 重点难点 第三章 复变函数的积分 重点：复变函数积分的概念、性质及计算方法； 解析函数积分的基本定理⎯⎯柯西积分定理； 推广得到的复合闭路定理，闭路变形定理； 由柯西积分定理推导出一个基本公式⎯⎯柯西积分公式. 难点：理解分别以有界单连通域、有界复连通域、无界区域对柯西积分公式进行的证明； 理解复变函数积分理论既是解析函数的应用推广 特色：尝试计算机仿真计算积分的值。 本章知识点摘要 1．本章所涉及的典型实例类型总结 第一类典型实例：给出了不同于常规教材的重要典型实例，即计算环路积分 | | 2 d 1 n z z z = − ， 它可以分别用复变函数论中的理论进行求解．由此读者能应用柯西积分定理、柯西积分公式、 以及即将学习的级数展开法、留数定理以及留数和定理进行求解. 由此加强各章节之间的有 机联系, 使读者充分理解各定理的区别和联系． 第二类典型实例：复变函数模的积分（如 2 | | | d | | | z R z z a = − ）的计算方法，取模后该积分与二 元实函数的环路积分类似，故为高等数学中的环路实积分提供了新的计算方法． 第三类典型实例：若要使闭合环路积分中换元法仍然有效，则必须考虑积分变换后辐 角的改变. 2．本章系统知识概述 1）．复变函数的积分 复变函数积分的概念是这一章的主要概念，它是定积分在复数域中的自然推广，和定 积分在形式上也是相似的．只是把定积分的被积函数 f x( ) 换成了复函数 f z( ) ，积分区间 [ , ] ab
换成了平面上的一条有向曲线C,复积分实际上是复平面上的线积分，它们的许多性质是相 似的. 如果f(e)=(x,y)+i(x,),则 f(=)d==Ju(x.y)dx-v(x.y)dy+iv(x.y)dx+u(x.y)dy 即复变函数的积分可以化为两个二元函数的曲线积分。 2).柯西定理与柯西公式 (1)柯西定理如果函数f(e)在单连通域D内处处解析，那么函数f(e)沿D内任意一条闭 曲线C的积分值为零，即 ∮.fed=0 推论如果函数f)在单连通域D内处处解析，则积分J。:灶与连结起点与终点的路 径C无关 （2)牛顿一莱布尼兹公式若f(e)在单连通域D内处处解析，G(e)为f(e)的一个原函数， 那么 e地=Ge北=Ge)G。）其中20、二1为D中任意两点. (3)复合闭路定理设L为复连通域D内的一条简单闭曲线，G,C,…,Cm是在L内的简单闭 曲线，且CC,Cn中的每一个都在其余的外部，以C,C,,C。为边界的区域全含于D如果 (e)在内解析，那么有 (①)重e灶=0，其中r为由L以及C(k=12,n)所组成的复合闭路正方向. 手e止-。：，其中L及所有的G都取道时针正方向。 (4)闭路变形原理在区域D内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在D内作 连续变形而改变积分的值，只要在变形过程中曲线不经过函数()不解析的点. 3).柯西积分公式的几个重要推论 （1)高阶导数公式解析函数的导数仍为解析函数，它的阶导数为： "w尝e9a=a 其中C为()的解析区域D内包含0在其内部的任意一条正向简单闭曲线，且内部全属于 D: (2)解析函数的平均值公式： (3)柯西不等式： (4)刘维尔定理： (5)莫勒纳定理； 解题思路 L不包含：。 例试根据复变函数环路积分讨论公式2z-。2m, L包含0 的物理意义。 【解】设在点0有电量为4π0的点电荷，在复平面上形成二维静电场（向量场）我们知道 在点z处的场强为： E=0 4π0 (x-xo)ex +(y-yo)e, 4π,4,7e,= 2 (x-x)2+y-)月 其中e,,e,分别代表径向，x,y方向的单位矢量. 于是电场强度E的分量为：
换成了平面上的一条有向曲线 C ．复积分实际上是复平面上的线积分，它们的许多性质是相 似的． 如果 f z u x y x y ( ) ( , ) i ( , ) = + v ，则 ( )d ( , )d ( , )d i ( , )d ( , )d C C C f z z u x y x x y y x y x u x y y = − + + v v 即复变函数的积分可以化为两个二元函数的曲线积分． 2）．柯西定理与柯西公式 （1）柯西定理 如果函数 f z( ) 在单连通域 D 内处处解析，那么函数 f z( ) 沿 D 内任意一条闭 曲线 C 的积分值为零，即 ( )d 0 C f z z = 推论 如果函数 f z( ) 在单连通域 D 内处处解析，则积分 ( )d C f z z 与连结起点与终点的路 径 C 无关． （2）牛顿—莱布尼兹公式 若 f z( ) 在单连通域 D 内处处解析， G z( ) 为 f z( ) 的一个原函数， 那么 1 1 0 0 1 0 ( )d ( ) ( ) ( ) z z z z f z z G z G z G z = = − 其中 0 z 、 1 z 为 D 中任意两点． （3）复合闭路定理 设 L 为复连通域 D 内的一条简单闭曲线， 1 2 , , , C C Cn 是在 L 内的简单闭 曲线，且 1 2 , , , C C Cn 中的每一个都在其余的外部，以 1 2 , , , C C Cn 为边界的区域全含于 D 如果 f z( ) 在内解析，那么有 (i) f z z ( )d 0 = ，其中 为由 L 以及 Ck （ k n =1,2, , ）所组成的复合闭路正方向． (ii) 1 ( )d ( )d k n L C k f z z f z z = = ，其中 L 及所有的 Ck 都取逆时针正方向． （4）闭路变形原理 在区域 D 内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在 D 内作 连续变形而改变积分的值，只要在变形过程中曲线不经过函数 f z( ) 不解析的点． 3）.柯西积分公式的几个重要推论 （1）高阶导数公式 解析函数的导数仍为解析函数，它的 n 阶导数为: ( ) 0 1 0 ! ( ) ( ) d ( 1,2, ) 2πi ( ) n n C n f z f z z n z z + = = − 其中 C 为 f z( ) 的解析区域 D 内包含 0 z 在其内部的任意一条正向简单闭曲线，且内部全属于 D ； （2）解析函数的平均值公式; (3) 柯西不等式; (4）刘维尔定理; （5）莫勒纳定理; 解题思路 例 试根据复变函数环路积分讨论公式 0 0 0 d 0 2πi L z L z z z L z = − ， 不包含 ， 包含 的物理意义． 【解】设在点 0 z 有电量为 0 4π 的点电荷, 在复平面上形成二维静电场（向量场） ,我们知道 在点 z 处的场强为： 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 4π ( ) ( ) 4π 4π ( ) ( ) r x y r r Q x x y y r r r x x y y − + − = = − + − ＝ ＝ e e e E e e 其中 , , r x y e e e 分别代表径向, x y, 方向的单位矢量． 于是电场强度 E 的分量为：