《复变函数论 Functions of a Complex Variable》课程教学资源（参考文献）应力和位移的复势函数方法

力与位移的复势表达 1.复势应力函数 可化为面力 平面弹性平衡，体力为常量，应力函数U,满 V4=0 引入2=x+y豆=x-y Oz 二1， 8 02二i, ax =1, =-i (1) 8x ay 可得 aU aU az aU az U, 8x 8z 8x 0 0x (3-1) aU aU az aU az =l ay dz dy o dy

力与位移的复势表达 1. 复势应力函数 0 4  U = 平面弹性平衡，体力为常量，应力函数U，满 足 可化为面力 引入 z x iy = + z x iy = − 1, ; 1, z z z z i i x y x y     = = = = −     (1) 可得 , , U U z U z U x z x z x z z U U z U z i U y z y z y z z           = + = +                         = + = −              (3-1)

aU ∂U =2 aU aU ∂U ∂U +i 2 (3-2) Ox dy dy 82 由3-1)式，得： a'U aU 、2 a dx2 2 U, (3-3) V2U=4 ∂2J 8z8Z (3-4) 相容方程74U=0为 ∂4J =0 0z20z2 (3-5) 积分两次 XMuNMw0gW

积分两次 2 2 4 . U U z z   =   (3 -4) 0 2 2 4 =   z zU (3 -5) 由(3 -1)式，得 ： 2 , 2 . U U U U U U i i x y z x y z       + = − =       (3 -2) 2 2 2 2 2 2 , , U U U U x z z y z z           = + = − −               (3 -3) 相容方程 0 4  U = 为

U=(z)+(z)+()+f4() (2) 其中、、、f4均表示任意函数。左边U是实函 右边四项一定两两共轭，即 (@)=f(a),(@)=(a) 故U=f()+或(2)+(2)+z5(2) 令f)9ee59e)，得古萨公式 U=Re[Ep(=)+0(2)] (3-6) 0(2),(2)称之为复势应力函数。 2应力和位移的复势 wXaH心yW

故 1 2 1 2 U f z zf z f z z f z = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 其中f 1、f 2、f 3、f 4均表示任意函数。左边U是实函数， 右边四项一定两两共轭，即 3 1 4 2 f z f z f z f z ( ) ( ), ( ) ( ) = = 令 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ), ( ) ( ) 2 2 f z z f z z = =   ，得古萨公式 1 1   ( ), ( ) z z 称之为复势应力函数。 2应力和位移的复势 1 2 3 4 U f z zf z f z zf z = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) (2) U z z z = + Re ( ) ( )    1 1  (3-6)

应力复势 不计体力 a'U aU aU ,= (3-7) Oxay 注意到式(3-4)得 a'U OU aU o,+0x= 十 =4 0x2 0y2 0z0z 将式(3-6)代入得 o,+ox=2[p(z)+0(2】=4Rep(z) (3-8) 由式(3-7) 0,-0:+2irw= u-a2℃-29 XuM人NMw心Yy

应力复势 不计体力 注意到式(3-4)得 2 2 2 2 2 y x 4 U U U x y z z      + = + =     将式(3-6)代入得 由式(3-7) 2 2 2 2 2 2 2 2 y x xy U U U i i i U x y x y x y           − + = − − = −           2 2 2 2 2 , , x y xy U U U y x x y       = = = −     (3-7) 1 1 1 2[ ( ) ( )] 4Re ( ) y x      + = + =    z z z (3-8)

注意到式(3-2)得 o,-0x+2iry=2[zp(z)+0(2)] (1) 设4(2)=0(z) 0,-0.+2inw=2[E0(2)+y4(a)] (3 式(3-8)和(3-9)平面应力分量的复势形式。 位移复势 平面应力，由几何方程与广义虎克定律 Ou =o,-o,=(a+,)-1+a E (2) =0,-ox=(ox+0,)-(1+V)ox (3) KLUXK6K6D64620M小Y

注意到式(3-2)得 1 1 设   ( ) ( ) z z =  式(3-8)和(3-9)平面应力分量的复势形式。 位移复势 平面应力，由几何方程与广义虎克定律      y x xy − + = + 2 2 ( ) ( ) i z z z  1 1    (1)      y x xy − + = + 2 2 ( ) ( ) i z z z  1 1    (3-9) ( ) (1 ) x y x y y u E x        = − = + − +  (2) ( ) (1 ) y x x y x v E y        = − = + − +  (3)