第一章集合与映射 习题1.1集合 1.证明由n个元素组成的集合T={a,a,,an}有2"个子集。 解由k个元素组成的子集的个数为C,立C=1+)”=2”。 2.证明： (1)任意无限集必包含一个可列子集： (2)设A与B都是可列集，证明AUB也是可列集。 证(1)设T是一个无限集，先取a,∈T。由于T是无限集，必存在a2∈T, a2≠a。再由T是无限集，必存在a∈T,a3≠a,a≠a2。这样的过 程可以无限进行下去，于是得到可列集S={a,2,…,an,},ScT。 (2)设A-{a1,a2,,an,,B={6,b2,…,bn,…},则AUB可表示为 AUB=abaz.b2..anb.o 3.指出下列表述中的错误： (1){0=0; (2)ac{a,b,c}; (3){a,b}∈{a,b,c}: (4){a,b,{a,b}}={a,b}。 解（1){0}是由元素0构成的集合，不是空集。 (2)a是集合{a,b,c}的元素，应表述为ae{a,b,c}
第一章 集合与映射 习 题 1.1 集合 ⒈ 证明由n个元素组成的集合T a = a an { 1 2 ， ，"， }有2n个子集。 解 由k 个元素组成的子集的个数为Cn k ， ∑ 。 = = + = n k k n n Cn 0 (1 1) 2 ⒉ 证明： (1) 任意无限集必包含一个可列子集； (2) 设 A与 B都是可列集，证明 A∪ B也是可列集。 证（1）设T 是一个无限集，先取a1 ∈T 。由于T 是无限集，必存在 ， 。再由T 是无限集，必存在 a2 ∈T 2 1 a ≠ a a3 ∈T ，a3 ≠ a1，a3 ≠ a2。这样的过 程可以无限进行下去，于是得到可列集S = {a1, a2 ,", an ,"}，S ⊂ T 。 （2）设 A = { } a1, a2 ,", an ," ，B = {b1,b2 ,",bn ,"}，则 A∪ B可表示为 A B ∪ = { } a1,b1,a2 ,b2 ,",an ,bn ," 。 ⒊ 指出下列表述中的错误： (1) { }0 = ∅； (2) a ⊂ { , a b, c }； (3) { , a b } ∈{ , a b, c }； (4) { , a b,{a b, } } = { , a b }。 解 （1）{0}是由元素0构成的集合，不是空集。 （2） a 是集合{ , a b, c }的元素，应表述为 a∈ { , a b, c }。 1
(3){a,b}是集合{a,b,c}的子集，应表述为{a,b}c{a,b,c}。 (4){a,b,{a,b}是由a,b和{a,b}为元素构成的集合，所以 {a,b,{a,b}{a,b},但{a,b,{a,b}≠{a,b}。 4.用集合符号表示下列数集： ()满足0的实数全体， (2)平面上第一象限的点的全体： (3)大于0并且小于1的有理数全体： (4)方程sinxcotx=0的实数解全体。 解（1){-2<x≤3}。 (2){《x,y)川x>0且y>0}。 (3){x10<x<1且x∈Q}。 4)x=a+号eZ。 5.证明下列集合等式： (1)A∩(BUD)=(A∩B)U(A∩D); (2)(AUB)=A∩B。 证(I)设x∈An(BUD),则x∈A,并且或者x∈B,或者x∈D。于是 或者x∈AnB,或者x∈AnD,即x∈(AnB)U(AnD),因此 A∩(BUD)c(A∩B)U(A∩D); 设x∈(A∩B)U(A∩D),则或者x∈AnB,或者x∈AnD。于是x∈A, 并且或者x∈B,或者x∈D,即x∈An(BUD),因此 A∩(BUD)D(A∩B)U(A∩D)· 2
（3） {a,b}是集合{ , a b, c }的子集，应表述为{a,b}⊂ { , a b, c }。 （ 4 ） 是 由 和 为元素构成的集合，所以 ，但 {a,b,{a,b}} a,b { , a b } {a,b,{a,b}} ⊃ { , a b } {a,b,{a,b}} ≠ { , a b }。 ⒋ 用集合符号表示下列数集： (1) 满足 x x − + ≤ 3 2 0的实数全体； (2) 平面上第一象限的点的全体； (3) 大于 0 并且小于 1 的有理数全体； (4) 方程sin x cot x = 0的实数解全体。 解（1）{ } x | −2 < x ≤ 3 。 （2）{ } (x, y)| x > 0且 y > 0 。 （3）{ } x | 0 < x <1且x∈Q 。 （4） ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ x x = k + ,k ∈ Z 2 | π π 。 ⒌ 证明下列集合等式： (1) A B ∩ ∪ ( ) D = ( A∩ B)∪( A∩ D) ； C (2) ( ) A B ∪ ∩ C C = A B 。 证（1）设 x ∈ A ∩ (B ∪ D) ，则 x ∈ A，并且或者 x ∈ B，或者 。于是 或者 ，或者 ，即 x ∈ D x ∈ A∩ B x ∈ A∩ D x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D)，因此 A ∩ (B ∪ D) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D)； 设 x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D)，则或者 x ∈ A∩ B ，或者 x ∈ A∩ D 。于是 ， 并且或者 ，或者 ，即 x ∈ A x ∈ B x ∈ D x ∈ A ∩ (B ∪ D)，因此 A ∩ (B ∪ D) ⊃ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D)。 2
(2)设x∈(AUB)C,则xAUB,即xEA且xB,于是x∈AC∩BC,因 此 (AUB)CcAC∩BC; 设x∈AC∩BC,则xEA且xEB,即XEAU B,于是x∈(AUB)C,因此 (AUB)CDA∩BC。 6.举例说明集合运算不满足消去律： (1)AUB=AUC≠今B=C; (2)A∩B=A∩C≠今B=C。 其中符号“≠今”表示左边的命题不能推出右边的命题。 解(1)设A={a,b,c,B=b,c,d,C={c,d,则AUB=AUC,但B≠C。 (2)设A={a,b,c},B={c,d,e,C={c,d,则AnB=AnC,但B≠C。 7.下述命题是否正确？不正确的话，请改正。 (I)xEA∩B白xEA并且xEB; (2)xEAUB台xEA或者xEB。 解(1)不正确。xEA∩B台xEA或者x∈B。 (2)不正确。xE AUB一xEA并且xEB
（2）设 x ∈ (A∪ B) C ，则 x∈A∪ B ，即 x∈A且 x∈B ，于是 ，因 此 C C x ∈ A ∩ B C C C (A ∪ B) ⊂ A ∩ B ； 设 x ∈ AC ∩ BC ，则 x∈A且 x∈B ，即 x∈A∪ B，于是 x ∈ (A ∪ B) C，因此 (A ∪ B) C ⊃ AC ∩ BC 。 ⒍ 举例说明集合运算不满足消去律： (1) A B ∪ = A∪C ≠> B = C； (2) A B ∩ = A∩C ≠> B = C。 其中符号“ ≠> ”表示左边的命题不能推出右边的命题。 解 （1）设 A = {a,b,c}，B = {b,c,d}，C = {c,d}，则 A B ∪ = A∪C，但B ≠ C 。 （2）设 A = { } a,b,c ，B = { } c,d,e ，C = {c,d}，则 A B ∩ = A∩C，但B ≠ C 。 ⒎ 下述命题是否正确?不正确的话，请改正。 (1) x ∈ A∩ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B； (2) x ∈ A∪ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B。 解（1）不正确。 x ∈ A∩ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B。 （2）不正确。 x ∈ A∪ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B。 3
习题1.2映射与函数 1.设S={a,B,y},T-{a,b,c,问有多少种可能的映射f:S→T?其中 哪些是双射？ 解有3=27种可能的映射，其中有3=6种是双射，它们是 →a →a a→b a→b C→c a→c f:{B→b,f:B→c,f:B→c,f:B→a,f: B→a,f:{B→b。 y→c y→b y→a y→C Y→b y→a 2.(1)建立区间[a,b]与[0,1]之间的一一对应： (2)建立区间(0,1)与(-0，+0)之间的一一对应。 解（1)f:[a,b1→[0，] x-a x→y= b-a (2)f:(0,1)→(-0，+o) x→tan(x-7r=-cot(rx)。 3.将下列函数∫和g构成复合函数，并指出定义域与值域： (1)y=f(u)=log,u,u=g(x)=x2-3; (2)y=f(u)=arcsinu,u=g(x)=e*; (3)y=f(u)=Vu2-1,u=g(x)=secx; (4y=f0=a,u=g)=x x+1o 解(1)y=logn(x2-3),定义域：，-VU5,+o,值域：(-o,+o): (2)y=arcsin3，定义域：人m,0,值域：0引 （3》=am定义城：r-号虹+引值城：bo
习 题 1.2 映射与函数 1. 设S = {α, β,γ }, T ，问有多少种可能的映射 ? 其中 哪些是双射? = { , abc, } f ：S → T 解 有33 = 27种可能的映射，其中有3!= 6种是双射，它们是 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ c b a f 6 6 6 γ β α : ， ， ， ， ， 。 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ b c a f 6 6 6 γ β α : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ a c b f 6 6 6 γ β α : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ c a b f 6 6 6 γ β α : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ b a c f 6 6 6 γ β α : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ a b c f 6 6 6 γ β α : 2. (1) 建立区间[ , a b ]与[ , 0 1 ]之间的一一对应； (2) 建立区间( , 0 1 )与( , −∞ +∞)之间的一一对应。 解（1） f :[a,b] →[0,1] b a x a x y − − 6 = ； （2） f :(0,1) → (−∞,+∞) ) cot( ) 2 1 x 6 tan(x − π = − π x 。 3. 将下列函数 f 和 g 构成复合函数，并指出定义域与值域： (1) y f = ( ) u = loga u , u = g( ) x = x 2 − 3; (2) y f = ( ) u = arcsin u , u = g( ) x = e x ； (3) y f = ( ) u = u 2 − 1 , u = g( ) x = sec x ； (4) y f = ( ) u = u , u = g( ) x = x x − + 1 1 。 解（1） y = loga (x 2 −3)，定义域：(− ∞,− 3)∪ ( 3,+∞)，值域：(−∞,+∞) ； （2） y = arcsin 3x，定义域：(− ∞,0]，值域： ⎥ ⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ 2 0, π ； （3） y = tan x ，定义域： ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ∈ 2 , 2 π π π kπ k k Z ∪ ，值域：[0,+∞)； 4
(4)y=,定义域：←0-Ul+w,值域：u+. 4.指出下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的： ()①）y=aresin+ 1 (2)）y=31og.(cr2-0. 3 解(1)y=arcsinu,u= ’=2+1: 1 13 (2)y=u3,u=logav,v=x2-1. 5.求下列函数的自然定义域与值域： (1)y=logsinx (a>1); (2)y=vcosx; (3)y=V4-3x-x2; (4)y=2+文 解(1)定义域：U(2kπ，(2k+1)x),值域：（←-o,0]: (2)定义域：2r-号2r+引， 值域：0,1： (3)定义域：上4，，值域： (4)定义域：（-o,0U0,+o),值域： [ 6.问下列函数f和g是否等同？ (1)f(x)=log(x2),g(x)=2logx; (2)f(x)=sec2x-tan2x,g(x)=1; (3)f(x)=sin2x+cos2x,g(x)=1. 解(1)函数f和g不等同：
（4） 1 1 + − = x x y ，定义域：(− ∞,−1)∪[1,+∞)，值域：[0,1) ( ∪ 1,+∞)。 4. 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的： (1) y x = + arcsin 1 1 2 ; (2) 1 3 2 log ( 1) 3 a y x = − 。 解（1） y = arcsin u ， v u 1 = ，v = x 2 +1； （2） 3 3 1 y = u ，u = loga v ，v = x 2 −1。 5. 求下列函数的自然定义域与值域： (1) y = loga sin x （a > 1）； (2) y x = cos ； (3) y = − 4 3x − 2 x ； (4) y x x = +2 4 1 。 解（1）定义域： ( ) 2 π ,(2 +1)π ∈ k k k Z ∪ ，值域：(− ∞,0]； （2）定义域： ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ∈ 2 ,2 2 2 π π π kπ k k Z ∪ ，值域：[0,1]； （3）定义域：[− 4,1]，值域： ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 5 0, ； （4）定义域：( ) − ∞,0 ∪ (0,+∞)，值域： ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ ,+∞ 2 3 2 3 。 6. 问下列函数 f 和 g 是否等同？ (1) f x( ) = 2 log ( ) a x ， g( ) x = 2loga x ； (2) f x( ) = 2 2 sec x − tan x , g( ) x = 1； (3) f x( ) = sin cos 2 2 x + x , g( ) x = 1。 解 （1）函数 f 和 g 不等同； 5