81.5复变函数 ·21* 0 () 图1.11 取一个在原点O与平面相切的球面（图飞.]4），并通过点O(南极 S)作一垂直于平面的直线与球面交于N点（北极），我们称N点为极 点，分别用直线段将点V与球面上的点L相连，其延长线交平面于一 点之，这就建立起球面上的点（不包括N点）与平面上的点（有限点）之 间的一一对应关系，点之是点Z在平面上的投影，点Z可以看作是复 数？的球面图形，这球面就叫作复数球面.现在研究平面上与极点N 相对应的点.对于平面上一个以原点O为中心的圆周(C,在球面上相应 的图形也是一个圆周T(所谓纬线).当圆周（的半径越来越大时，圆周 下便越趋近于极点N.因此，点N可看作是平面上无穷远点在球面上 的图形.这样，球面上的点与扩充平面上的点之问就完全一一对应了· 以前，我们曾设想复平面上有一个“理想点”与相对应，现在可以 形象地把这个点表示出来，因此“理想点”的设想是合理的，是有其客观 依据的. 应该注意：在实变数的情况下，十∞与一x是有区别的，它们分别 是表示“点列”无穷增大与无穷减小的记号.而在复变数的情形下，∞是 没有符号的！
·22· 第一章 复数与复变函数 §1.5 复变函数 §1.5.1复变函数的概念 设G是复平面上一点集.如果对于G中任意的一点之，有确定的 (一个或多个)复数心同它对应，则说在G上定义了一个复变函数，记 作和一f(之)（定义域与值域等名称都可从高等数学中移植过来，不再 一一叙述).如果对每个x∈G,有唯一的同它对应，则称w=f(x)为 单值函数，不是单值函数的函数称为多值函数.在一般情形，我们说到 “函数”都是指单值函数，如果(G是实轴上的一个闭区间，则=∫(） 就是实变量的复值函数.曲线的参数方程？=之(：)(u1b)就是这种 函数的一个例子 设z=x十iy,则心=f()可以写成下列形式 w=f(之)=4+i=(x,y)十iw(x,y), 其中(x,y)与(x,y)为实值函数.分开上式的实部与虚部，得到 t=(x,y),=v(r,y)、 这样，一个复变函数和=f(x)就相当于一对二元实变函数.二f(z)的 性质就取决于u=u(x,y)与v=(xy)的性质、 例1.13将定义在全平面上的复变函数=之2+1化为一对二元 实变函数. 解记之=x十iy,w=4十i,代人=x2一1得 u+iw=(x+iy)2+1=x2·2+1+2ixy. 分开实部与虚部即得 t=x2-y2+1,y=2xy. 例1.14将定义在全平面除去坐标原点的区域上的一对二元实 变函数 +y,w y (r+≠0) 化为一个复变函数
$1.)复变函数 ·23 解记x十iy=,十iw=,则 w=+i记- 2x-iy x2- 将x-+2y-京-)以及2+-代入上式，经整理后 得 + 3 (之车0). 一个复变函数也可看作一个映射（或变换），设f(之)的定义域为 G·f(之)的值的集合（即值域）为).则f(?)将点集(G的点映射为点集 D)的点.设f()将(G中的点之映射为)中的点形，集(G映射为集) 则称点：为点之的像点之为点的原像.问样称)为(G的像，G为 D的原像.因xy:和：均为变数，为避免采用四维空问的闲难，我们 用两个平面，一个是心平，将（的点描在之平面上：另一个是心平 面i,将其像描在平上（图1.15(）).例如，函数=，将点 =号+2i陕射为点-=2i:将区域G:1m>0,Re>01<1映 射为e平面上的区域)：1mx>0.'|<1(图1.15(b). ￥a (b) 图1.15 $1.5.2复变函数的极限与连续性 定义1.1设函数w=f(x)在之，的去心邻域0<1z-2<p内有 定义.若有确定的复数A(A≠)存在，对于任意纷定的>0，总存在 一个正数8，使得对满足0<|z-x|<8(06p)的一切之.都有
·24· 第一近复数与复变函数 {f(z)一A<e,则称A为数f(z)当z趋向z时的极限.记作 1imf(z)=A或f(z)→A(当z→2). 这个定义的几何意义是：当变点之在，的一个充分小的8邻域 时，它们的像点就在A的一个给定的ε邻域. 由于。是复平面上的点，因此x可以任意方式趋近于x,但不论 怎样趋近，f(z)的值总是趋近于A. 这个定义形式上与高等数学中的一元实函数的情况相同.因此，复 变函数极限有类似于实函数极限的性质.例如，当 iimf(x）=A,limg(z)=B 时有 1im[f(z)士g(之)]=A士B, limf(之)g(z)=AB, lim f(z)A eg(z)=B (B≠0) 复变函数极限的计算，可归结为实数对极限的计算，具体来说，有 下面的定理： 定理1.1设函数f(x)=u(x,y)+iw(x,y),A=n+i· zo=xo十iyo,则limf(之)=A的充要条件是 limu(z,y)=uo,limv(r,y)=vo x--o r→r0 v*'0 y)e 证 必要性：若limf(x)=A,根据极限定义，当 t*E。 0<|z-2o!<V√(r-xo)2+(y-y)2<8 时，则有 lf(z)一A|=|(u+iw)-(w。+ivo) =√(w-uo)+(℃-o)2<e, 于是显见，当0<V(x一o)2+(y一y)2<8时则有 t一uo|<e、|U一Uu'<e
§1.5复变函数 ·25· 即 limu(,y）-t.,limy(x.y）=o y+yn 充分性：当上面两式成立，即当0<√(xr)十(y-y)护<8时， 就有'u-<l-<.于是便有当0<2-w<8时， |f(x)-A|=|(u-u):i()l |r|十|℃n|<e, 即limf(z)二A. 关于含心的极限可作如下定义： imf(})-&台imf(2)二a(a为有限复数)： ◆们 2x 1 im,fa =0 limf(z)=co; lim-1,=0台limf(z)-x. f}) 定义1.2 如果Iimf(之)二f(o)成立，则称f(之)在处连续.如 果f(z)在区域D中每一点连续，则称f(之)在D内连续. 例1.15问函数2)=兰在之=0有无极限9 解f(z)的定义域是全平面除去之=0的区域.当x≠0时，设 z=r(cos0+isin8),则 f(x)=cos(-28)+isin(-28), 考虑从之=0出发方向角为。的射线1g,我1行 lim f(z)cos(-20)+i sin(-20). ￥+0 €9 显然，对于不同的。，上述极限不相同.所以在之=0，f(z)不存在极限. 例1.16求证：f(之)=argz(z≠0)在全平面除去原点和负实轴的 区域上连续，在负实轴上不连续. 证设。为全平面除去原点和负实轴的区域上任意一点.考虑允