S1,2复数的三角表示 。9 通过原点的同-…直线上。 (1.5)式与(1.6)式可以用共轭复数的性质来证明.我们以(1.6)式 为例 |1十之=（之1十22）(21十z2) =之1之1十之222十2,2十x2之1 =|1I2十|z,|?十2Re(之2). 又因为 |Re(z,2)|≤|zx,1-|z|22=z11z、 所以就有 |21+1312+21十2|之1川|=(|之.|十|22i)2, 以及 |1十z2:|11|z2尺-2|之11=（1|·|，|)”. 因此(1.6)式成立.将(1.6)式中的用-替代.就得到(1.5)式 请读者留意：不等式(1.5)及(1.6)都是对复数的模而言的.复数木 身不能比较大小，故不存在形如1≤x2的不等式. §1.2.3复数的三角表示 设之是一个不为0的复数，？是之的模，9是之的任意一个辐角.则 z=r(cos 0-i sin ) 上式右端称为复数的三角表示.反过来，对于任意的正数，与实数日， r(cos0+isin)·定是某个复数z的二角表小.事实上，该复数z一 r(cos 0+i sin 0). 一个复数的三角表示不是唯一的，因为其中的辐角有无穷多种选 择.如果有两个二角表示相等： r (cos 0.+i sin )=ra(cos 62i sin 02) 则可推出 r1=r2,8:=02+2kr, 其中，克为某个整数。 例.2写出复数1十i的三角表示式
·10· 第一章复数与复变函数 解因为1+i=√2，ag1十i)=牙，所以1+i的三角表示式 可以写成 1+i=/z(cos军+isin) π 如果取1+i的另一福角，例如取2x+至=是，则1T的元角我 示式也可写成 9 l十i=Vz(cos+isinπ) 例1.3写出复数·1-3i的三角表示式， 解先算出|一1一3i|=√10，以及 arg(-1-3i)=arctan3-π， 故所求的三角表示式写为 -1-3i v10[cos(arctan 3x)i sin (arctan 3-)]. 例1.4设x=r(cos6+isin6).求的三角表示. 解 因为日-品l=r:=rc0s9-sin0,故 ⊥=1(cos8-isin) =[cos(-0)+isin(-9]. 最后的式子就是一的三角表示. §1.2.4用复数的三角表示作乘除法 §1.2.2段已指出复数的加、减法则与向量的加、减法则相一致， 但复数的乘法与向量的数量积或向量积都不相同.不过，利用复数的三 角表示可给复数的乘法和除法以新的解释。 设之1=r1(cos6isin8),2=r(cos02+isin02)、这里， “,=之，}，8，是之，的某一个辐角(j=1,2).由(1.3)式可知
§1,2复数的三角表示 ·11 z=rr2t(cos 0 cos 02-sin 0 sin 02) +i(cos 0:sin 62 sin :cos 02)] -rr,[cos(0十02)+isin(日，+02)]. (1.7) 分别写出模与辐角的运算法则，就是 |21·22=7:r2二I21|川z2|、 (1.8) Arg(之1·之z)=0,+02十2kπ =Arg之1十Arg22 (1.9) (其中的k可取任意整数.) 请读者注意，等式(1.9)是个表达多值相等的式子.它的意义是： 对于Arg21的任意一个取定的值与Argz的任意一个取定的值之和， 必有Arg(,·之2)的某一个值同它相等；反之，对于Arg(:·之)的任意 一个取定的值，必有Argz:与Arg2的各一值使它们的和同该取定的 值相等.今后我们还会遇到这种多值相等的式子，对它们都可以作类似 上面的解释 根据(1.8)式及(1.9)式可知复数乘法有其几何意义.这就是：乘积 z:·22所表示的向量可以从之1所表示的向量旋转角度Ag之并伸长 |e2|倍获得（图1.6(a)).对特殊情形iz,其中之为任一复数，由于复数 i(或一i)的模等于1，主辐角等于无（或一），因此乘积iz(或一i)所表 1◆2 艺2 (a) (b) 图1.6
·12- 第一章复数与复变函数 示的向量就是复数：所表示的向量反时针（或顺时针）旋转一个角度受。 复数除法是乘法的逆运算，故当≠0时有 =[cos(9:-月)+isin(9,-8,)门， (1.10) 22 或者写成 到=Ag=Ng-Ng (1.11) 由此，除法也有其几何意义（图1.6(b). 例1.5用三角表示计算(1+3i)(-v3-i). 解因为 1+√3i=2cos牙+isin牙， 3-i-2[c0s(-x)+isin( 所以 (1+√3i)(-3i) =4[cos(- 8)+isin(-】=-4, 例1.6用三角表示式计算(2+i)/(1一2i). 解因为 (cos aretan+isin aren). 1-2i=5 [cos arctan(-2)++i sin arctan(-2)], 所以 (2/(12)-cosaretanarctan(2)] +i sinl arctan -arctan(-2)] -cos+i sini
令1.2复数的三角表示 ·13· §1.2.5复数的乘方与开方 设≠0是-一复数，n是一止整数，e”即是2个之相乘的积，故从乘 法法则立即可以推出乘方法则.记z=r(cos0+isin),测 z"=ir(cos 0-i sin 0)"=r"(cos n6 +i sin ne).(1.12) 公式(1.12)的-个特殊情形是r=1,即 (cos at i sin 0)"=cos n+i sin ne. (1.13) (1.13)式称为棣摩弗(De Moivre)公式.把此式的左端展开，再分开实 部与虚部，就可以得到”倍角的正弦和余弦用单角的正弦和余弦来表 达的公式.我们以=3，即以3倍角为例.由 (cos a-isin a)cos 30+isin 30, 将左端展开得到 cos36 3icos20 sin 0-3cos 0 sin20 -i sing =cos 30 i sin 30. 分别比较等式两边的实部与虚部得到 cos 30 cos6 3cos dsin20, sin 30 3cos20sin 0-sin 0. 此两式就是在中学数学中学过的3倍角公式.显然，这种方法比.二角方 法简便。 再考虑开方，开方是乘方的逆运算，对于任意一个复数之以及任意 一个正整数n,所谓之的n次方根，记作、是指这样的复数w,它满足 视=2. 如果之=0，显然行=0.因此，我们假定之≠0.为了从上式解出，我 们用三角表示.写 =r(cos a+i sin 0). w=o(cos oi sin ) 丁是有 [o(cos +i sin )=r(cos 0+i sin 0). 得到