第十四章稳定状态模型 虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义 下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以 动态过程的变化趋势。譬如在什么情况「 描述过程的变量会越来越接 定的数值 些数 闲用微 性理 析这种稳 律常常不需要求解微分方程，而可 :平 u1们 本章先介绍 然后列举 个这方面的建模例子。 §1微分方程稳定性理论简介 定义1称一个常微分方程（组）是自治的，如果方程（组） 「f(x.t) dx =F(x,1) ar f() 中的F(x,)=F(x),即在F中不含时间变量1 事实上，如果增补一个方程，一个非自治系统可以转化自治系统，就是说，如果定 x] 「F(x,)] y= ,G(y) 1 且引入另一个变量5，则方程(1)与下述方程 dy=G(y) 是等价的。这就是说自治系统的概念是相对的。下面仅考虑自治系统，这样的系统也称 为动力系统。 定义2系统 di=F(x) (2) 的相空间是以(x,x)为坐标的空间R”,特别，当n=2时，称相空间为相平面。 空间R”中的点集 称为系统(2) 的轨线 所有轨线在相空间中的分布图称为相图， 定义3相空间中满足F(x)=0的点x称为系统(2)的奇点（或平衡点）。 奇点可以是孤立的，也可以是连续的点集。例如，系统 (dx(t)=ax+by (3) 0=cx+山 dt 当ad-bc=0时，有一个连续的奇点的集合。当ad-bc≠0时，(0,0)是这个系统的 唯一的奇点。下面仅考虑孤立奇点。 为 了知道何时有孤立奇点，给出下述定理 -167-
-167- 第十四章 稳定状态模型 虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义 下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可 以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。 本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。 §1 微分方程稳定性理论简介 定义 1 称一个常微分方程（组）是自治的，如果方程（组） ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ( ) ( , ) ( , ) 1 f t f x t F x t dt dx N M （1） 中的 F(x,t) = F(x) ，即在 F 中不含时间变量t 。 事实上，如果增补一个方程，一个非自治系统可以转化自治系统，就是说，如果定 义 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = t x y ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 ( , ) ( ) F x t G y 且引入另一个变量 s ，则方程（1）与下述方程 G( y) ds dy = 是等价的。这就是说自治系统的概念是相对的。下面仅考虑自治系统，这样的系统也称 为动力系统。 定义 2 系统 F(x) dt dx = （2） 的相空间是以( , , ) 1 n x L x 为坐标的空间 n R ，特别，当n = 2 时，称相空间为相平面。 空间 n R 中的点集 {(x1,L, xn ) | xi = xi(t)满足(2),i =1,L,n} 称为系统（2）的轨线，所有轨线在相空间中的分布图称为相图。 定义 3 相空间中满足 F(x0 ) = 0的点 0 x 称为系统（2）的奇点（或平衡点）。 奇点可以是孤立的，也可以是连续的点集。例如，系统 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + cx dy dt dy t ax by dt dx t ( ) ( ) （3） 当 ad − bc = 0时，有一个连续的奇点的集合。当 ad − bc ≠ 0时，(0,0) 是这个系统的 唯一的奇点。下面仅考虑孤立奇点。为了知道何时有孤立奇点，给出下述定理：
定理1设F(x)是实解析函数，且x,系统(2)的奇点。若F(x)在点x,处的 Jacobian矩阵 是非奇异的，则。是该系统的孤立奇点 定义4设x是(2)的奇点，称 (i)x是稳定的，如果对于任意给定的5>0，存在一个6>0，使得如果 x(O)-x。K6,则|x()-xkE对所有的1都成立。 (i)x是渐近稳定的，如果它是稳定的，且Iimx()-xo上0 这样，如果当系统的初始状态靠近于奇点，其轨线对所有的时间1仍然接近它，于 是说x是稳定的。另一方面，如果当1→∞时这些轨线趋于x,则x是渐近稳定的。 于常系数齐》 定理2 x0是系统（3)的通解。则 零解是 (3)的系数矩阵A的一切特征根的实部都是负的，则系统(3)的 E 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统(3)的零解是不稳 定的 ()如果A的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统(3)的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的， 定理2告诉我们：系统(3)的零解渐近稳定的充分必要条件是A的一切特征根的 实部都是负的。 对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解。 定义6设x。是系统(2)的一个孤立奇点。称系统在x。点几乎是线性的，如果F 在x的Jacobian矩阵是非奇异的，即detJ(xo)≠0. 设F(x)在x=0的某邻域内连续，并有直到二阶连续偏导数，则由多元函数的 Taylor公式，可将F(x)展开成F(x)=Ax+Ox),其中 「所 . a可 是一个常数矩阵，这样得到的线性系统 dx dr Ax (4) 称为系统(2)的线性近似。 一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的 -168
-168- 定理 1 设 F(x) 是实解析函数，且 0 x 系统（2）的奇点。若 F(x) 在点 0 x 处的 Jacobian 矩阵 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ = j i x f J (x ) 0 是非奇异的，则 0 x 是该系统的孤立奇点。 定义 4 设 0 x 是（2）的奇点，称 （i） 0 x 是稳定的，如果对于任意给定的 ε > 0 ，存在一个 δ > 0 ，使得如果 | x(0) − x0 |< δ ，则| ( ) − |< ε 0 x t x 对所有的t 都成立。 （ii） 0 x 是渐近稳定的，如果它是稳定的，且lim | ( ) − 0 |= 0 →∞ x t x t 。 这样，如果当系统的初始状态靠近于奇点，其轨线对所有的时间t 仍然接近它，于 是说 0 x 是稳定的。另一方面，如果当t → ∞ 时这些轨线趋于 0 x ，则 0 x 是渐近稳定的。 定义 5 一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。 对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。 定理 2 设 x = x(t)是系统（3）的通解。则 （i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。 （ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。 （iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。 定理 2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。 对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解。 定义 6 设 0 x 是系统（2）的一个孤立奇点。称系统在 0 x 点几乎是线性的，如果 F 在 0 x 的 Jacobian 矩阵是非奇异的，即det J (x0 ) ≠ 0 。 设 F(x) 在 x = 0 的某邻域内连续，并有直到二阶连续偏导数，则由多元函数的 Taylor 公式，可将 F(x) 展开成 ( ) (| | ) 2 F x = Ax + O x ，其中 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = n n n n x f x f x f x f A L M M M L 1 1 1 1 是一个常数矩阵，这样得到的线性系统 Ax dt dx = （4） 称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的
作来人们我 原系 ,这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 条件 理用 原 问题，我 渐近稳定 或不 果系统(4)的零解是 定的 则原东统的 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。 系统(8》在其系数矩阵4巴]的行列式d4学0的条作下，可知0)是 系统(3)的唯一的平衡点，它的稳定性由特征方程： det(=0 的根入（特征根）决 定理4 设线性系统(3)所对应的特征方程是 2+p1+q=0 其中p=-(a+d),q=ad-bc。设入和元2是它的根，则当g≠0时关于奇点O(0,0) 有下述结论： )乙<元<0，O是稳定结点 (i)入=2<0，O是稳定退化结点： ()2>乙2>0,0是不稳定结点： (iv)=2>0，O是不稳定退化结点 (v)入<0<入，O是不稳定鞍点： (vi)乙、=土顶，<0，O是稳定焦点： (vi)乙，=C±所.风>0，O是不稳定焦点： (vi)A2=a±，a=0,O是不稳定中心 定理5设非线性系统 dx =ax+by+p(x,y) (5 c =ax+by+w(x.v) 中的o和w满足条件： ()在点O的某邻域内存在连续的一阶偏导数 )存在常数6>0，使得 m=m=0.(r=+y) §2再生资源的管理和开发 渔业资源是一种再生资源，再生资源要注意适度开发，不能为了一时的高产“竭泽 而渔”，应该在持续稳产的前提下追求最高产量或最优的经济效益。 -16
-169- 原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理： 定理 3 如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。 系统（3）在其系数矩阵 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = c d a b A 的行列式 det A ≠ 0 的条件下，可知(0,0) 是 系统（3）的唯一的平衡点，它的稳定性由特征方程： det(A− λI) = 0 的根λ （特征根）决定。 定理 4 设线性系统（3）所对应的特征方程是 0 2 λ + pλ + q = 其中 p = −(a + d ) ，q = ad − bc 。设λ1 和λ2 是它的根，则当 q ≠ 0时关于奇点O(0,0) 有下述结论： （i） 0 λ1 < λ2 < ，O 是稳定结点； （ii） 0 λ1 = λ2 < ，O 是稳定退化结点； （iii） 0 λ1 > λ2 > ，O 是不稳定结点； （iv） 0 λ1 = λ2 > ，O 是不稳定退化结点； （v） 1 2 λ < 0 < λ ，O 是不稳定鞍点； （vi）λ1,2 = α ± βi,α < 0 ，O 是稳定焦点； （vii）λ1,2 = α ± βi,α > 0 ，O 是不稳定焦点； （viii）λ1,2 = α ± βi,α = 0 ，O 是不稳定中心。 定理 5 设非线性系统 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = + + ( , ) ( , ) ax by x y dt dy ax by x y dt dx ψ ϕ （5） 中的ϕ 和ψ 满足条件： （i）在点O 的某邻域内存在连续的一阶偏导数。 （ii）存在常数δ > 0 ，使得 0 ( , ) lim ( , ) lim 1 0 1 0 = = → +δ → +δ ϕ ψ r x y r x y r r ，（ 2 2 r = x + y ） 又设系统（5）的一次近似系统（3）的特征方程的根没有零实部，则（5）式与（3）式 的奇点O 的类型相同，并有相同的稳定性或不稳定性。 §2 再生资源的管理和开发 渔业资源是一种再生资源，再生资源要注意适度开发，不能为了一时的高产“竭泽 而渔”，应该在持续稳产的前提下追求最高产量或最优的经济效益
这是一类可再生资源管理与开发的模型，这类模型的建立一般先考虑在没有收获的 情况下资源自然增长模型，然后再考虑收获策略对资源增长情况的影响。 的动素 在建立慎型之前，做如下的基本假设 1或减少的 以，可以近 似地假设角群的数量随时间连续地，其至是可微地变化。 (ⅱ)假设鱼群生活在 一个稳定的环境中，即其增长率与时间无关。 (ⅲ)种群的增长是种群个体死亡与繁殖共同作用的结果。 (ⅳ)资源有限的生存环境对种群的繁衍，生长有抑制作用，而且这一作用与鱼群 的数量是成正比的。 记时刻1渔场中鱼量为x(t),我们可以得到x(t)所满足的Logistic模型： 0=a1-为 (6) x(0)=N。 其中r是固有增长率，N是环境容许的最大鱼量。由分离变量法求得方程(6)解为 x()= 1+e-"(N-No)/No (6)式有两个平衡点，即x=0,x=N,其中x是不稳定的，为2在正半轴内全局 22资源开发榄利 建立一个在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的 前提下，讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大。 设单位时间的捕捞量与渔场鱼量x()成正比，比例系数k表示单位时间捕捞率，k 可以进一步分解分解为k三95，E称为捕粉强度，用可以控制的参数如出海渔船数来 度量：q称为捕捞系数，表示单位强度下的捕捞率。为方便取9=1。 于是单位时间的 捕捞量为h(x)=Ex()。h(x)=常数，表示一个特定的捕捞策略，即要求捕鱼者每天 只能捕捞一定的数量。这样，捕捞情况下渔场鱼量满足方程 (0=x(I-)-E 这是一个一阶非线性方程，且是黎卡提型的。也称为Scheafer模型。 希望知道渔场的稳定角量和保持稳定的条件，即时间1足够长以后渔场鱼量x()的 趋向，并且由此确定最大持续产量。在平衡点处有止=0，方程)有两个平衡点 x=0,x2=N(1-三)。显然，它们均是方程的解。 在E<r的情况下，x2是一正平衡点。(7)式可改写为 )=-x(x-x2) (8) 易知，当0<x<x2时，)>0：x>x2时，()<0，即平衡解x,是不稳定的，而 是稳定平衡解。即在捕捞强度E<r的情况下，渔场鱼量将稳定在x,的水平，因此 -170
-170- 这是一类可再生资源管理与开发的模型，这类模型的建立一般先考虑在没有收获的 情况下资源自然增长模型，然后再考虑收获策略对资源增长情况的影响。 2.1 资源增长模型 考虑某种鱼的种群的动态。在建立模型之前，做如下的基本假设： （i）鱼群的数量本身是离散变量，谈不到可微性。但是，由于突然增加或减少的 只是单一个体或少数几个个体，与全体数量相比，这种增长率是微小的。所以，可以近 似地假设鱼群的数量随时间连续地，甚至是可微地变化。 （ii）假设鱼群生活在一个稳定的环境中，即其增长率与时间无关。 （iii）种群的增长是种群个体死亡与繁殖共同作用的结果。 （iv）资源有限的生存环境对种群的繁衍，生长有抑制作用，而且这一作用与鱼群 的数量是成正比的。 记时刻t 渔场中鱼量为 x(t) ，我们可以得到 x(t) 所满足的 Logistic 模型： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − 0 (0) ( ) (1 ) x N N x x& t rx （6） 其中 r 是固有增长率， N 是环境容许的最大鱼量。由分离变量法求得方程（6）解为 0 0 1 ( )/ ( ) e N N N N x t rt + − = − （6）式有两个平衡点，即 0 x1 = ， x2 = N ，其中 1 x 是不稳定的， 2 x 在正半轴内全局 稳定。 2.2 资源开发模型 建立一个在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的 前提下，讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大。 设单位时间的捕捞量与渔场鱼量 x(t) 成正比，比例系数k 表示单位时间捕捞率，k 可以进一步分解分解为k = qE ，E 称为捕捞强度，用可以控制的参数如出海渔船数来 度量； q 称为捕捞系数，表示单位强度下的捕捞率。为方便取 q = 1，于是单位时间的 捕捞量为 h(x) = Ex(t)。 h(x) = 常数，表示一个特定的捕捞策略，即要求捕鱼者每天 只能捕捞一定的数量。这样，捕捞情况下渔场鱼量满足方程 Ex N x x&(t) = rx(1− ) − （7） 这是一个一阶非线性方程，且是黎卡提型的。也称为 Scheafer 模型。 希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，即时间t 足够长以后渔场鱼量 x(t) 的 趋向，并且由此确定最大持续产量。在平衡点处有 = 0 dt dx ，方程（7）有两个平衡点 0 x1 = ， (1 ) 2 r E x = N − 。显然，它们均是方程的解。 在 E < r 的情况下， 2 x 是一正平衡点。（7）式可改写为 ( ) ( ) 2 x& t = −x x − x （8） 易知，当 2 0 < x < x 时， x&(t) > 0 ； 2 x > x 时， x&(t) < 0，即平衡解 1 x 是不稳定的，而 2 x 是稳定平衡解。即在捕捞强度 E < r 的情况下，渔场鱼量将稳定在 2 x 的水平，因此
产量（单位时间的捕捞量）也将稳定在x,的水平，即此时可获得持续收获量。 当然，当E>r时，()<0，渔场鱼量将逐渐减少至x=0,这时的捕捞其实是 是在0=0或x(01-)=Ex()的条件下极大化所期望的“收益”，这里的“收 益”可理解为产量h=Ex(),则问题就可以数学地叙述为下述优化问题： h=max Ex(t) 约束条件为x0X1-0-Er0=0. 这里它可以归结为E的二次函数ME)=NEI-马)的最大值问题，简单的推导不 到大捞度为一宁最大背续产为一。 捕捞强度Enx是 得到最大持续捕鱼量的策略。 23 当今，对鱼类资源的开发和利用已经成为人类经济活动的一部分。其目的不是追求 最大的渔产量而是最大的经济收益。因而一个自然的想法就是进一步分析经济学行为对 鱼类资源开发利用的影响。 如果经济效益用从捕捞所得的收入中扣除开支后的利润来衡量，并且简单地设鱼的 销售单价为常数P,单位捕捞强度（如每条出海渔船）的费用为常数c,那么单位时间 的收入T和支出S分别为 T=ph(x)=pEx,S=cE 单位时间的利润为 R=T-S=pEx-cE 稳定在x=x2=NI-上)的约束条件下的Rx。即求 R(E)=pNE(1-E)-cE 的最大值。容易求出使R(E)达到最大的捕捞强度为 Ens =(1-c 最大利润下的渔场稳定鱼量 最大利润下渔场单位时间的持续产量为 D'N) -171-
-171- 产量（单位时间的捕捞量）也将稳定在 Ex2 的水平，即此时可获得持续收获量。 当然，当 E > r 时， x&(t) < 0，渔场鱼量将逐渐减少至 0 x1 = ，这时的捕捞其实是 “竭泽而渔”，当然谈不上获得持续产量了。 如何才能做到渔资源在持续捕捞的条件下为我们提供最大的收益？从数学上说，就 是在 x&(t) = 0 或 ) ( ) ( ) ( )(1 Ex t N x t rx t − = 的条件下极大化所期望的“收益”，这里的“收 益”可理解为产量h = Ex(t)，则问题就可以数学地叙述为下述优化问题： max ( ) max h = Ex t 约束条件为 ) ( ) 0 ( ) ( )(1− − Ex t = N x t rx t 。 这里它可以归结为 E 的二次函数 ( ) (1 ) r E h E = NE − 的最大值问题。简单的推导不 难得到最大持续捕捞强度为 2 max r E = ，最大持续产量为 4 max rN h = 。捕捞强度 Emax 是 得到最大持续捕鱼量的策略。 2.3 经济效益模型 当今，对鱼类资源的开发和利用已经成为人类经济活动的一部分。其目的不是追求 最大的渔产量而是最大的经济收益。因而一个自然的想法就是进一步分析经济学行为对 鱼类资源开发利用的影响。 如果经济效益用从捕捞所得的收入中扣除开支后的利润来衡量，并且简单地设鱼的 销售单价为常数 p ，单位捕捞强度（如每条出海渔船）的费用为常数c ，那么单位时间 的收入T 和支出 S 分别为 T = ph(x) = pEx ， S = cE 单位时间的利润为 R = T − S = pEx − cE 利润是渔民所关注的焦点。因此在制定管理策略时所期望极大化的“收益”，这时 就应理解为经济利润或净收入而不是鱼的产量h 。因而所讨论的问题就变成了在使鱼量 稳定在 (1 ) 2 r E x = x = N − 的约束条件下的 Rmax 。即求 cE r E R(E) = pNE(1− ) − 的最大值。容易求出使 R(E) 达到最大的捕捞强度为 (1 ) 2 max pN r c E = − 最大利润下的渔场稳定鱼量 p N c x 2 2 max = + 最大利润下渔场单位时间的持续产量为 (1 ) 4 (1 ) 2 2 2 max max max p N rN c N x h = rx − = −