第14讲 第5章线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1频率特性及其表示法 52典型环节对数频率特性曲线的绘制 5.3极坐标图( Polar plo,幅相频率特性曲线,奈奎斯特曲线 531积分与微分因子 532—阶因子 533二阶因子 534传递延迟 54对数幅相图( Nichols Chart)尼柯尔斯图 5.5奈奎斯特稳定判据 Nyquist Stability Criterion) 551预备知识 552影射定理 5.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用 554奈奎斯特稳定判据 555关于奈奎斯特稳定判据的几点说明 5.56G(s)H(s)含有位于JO上极点和或零点的特殊情况
152 第 14 讲 第 5 章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1 频率特性及其表示法 5.2 典型环节对数频率特性曲线的绘制 5.3 极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线 5.3.1 积分与微分因子 5.3.2 一阶因子 5.3.3 二阶因子 5.3.4 传递延迟 5.4 对数幅-相图(Nichols Chart)尼柯尔斯图 5.5 奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) 5.5.1 预备知识 5.5.2 影射定理 5.5.3 影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用 5.5.4 奈奎斯特稳定判据 5.5.5 关于奈奎斯特稳定判据的几点说明 5.5.6 G(s)H(s) 含有位于 j 上极点和/或零点的特殊情况
56稳定性分析 *5.6.1条件稳定系统 *5.62多回路系统 *563应用于逆极坐标图上的奈奎斯特稳定判据 *564利用改变的奈奎斯特轨迹分析相对稳定性 57相对稳定性 57.1通过保角变换迸行相对稳定性分析 572相位裕度和增益裕度 例5-8一单位反馈控制系统的开环传递函数为 0)273+5++1式中x2和均为正值,为使系统稳定,开环 增益K与时间常数T,72和7之间满足什么关系? 解 K [T1T2(jo)2+2jo+13jo+1) K T1T2T3(o)3+(72+273Xjo)2+(72+73)jo+1 1-72(71+73)02+(72+T3-T1T2T7o2)jo K 1-T2(71+7)o2-(72+73-7272o2) 此式太复杂利用上式直接令虚部 -72(71+T3)o2]2+(72+T3-T172To2)2o 为零即可
153 5.6 稳定性分析 *5.6.1 条件稳定系统 *5.6.2 多回路系统 *5.6.3 应用于逆极坐标图上的奈奎斯特稳定判据 *5.6.4 利用改变的奈奎斯特轨迹分析相对稳定性 5.7 相对稳定性 5.7.1 通过保角变换进行相对稳定性分析 5.7.2 相位裕度和增益裕度 例 5-8 一单位反馈控制系统的开环传递函数为 ( 1)( 1) ( ) 2 3 2 1 2 + + + = T T s T s T s K G s 式中 1 2 3 K,T ,T 和T 均为正值。为使系统稳定，开环 增益 K 与时间常数 1 2 3 T ,T 和T 之间满足什么关系？ 解 ： [ ( ) 1]( 1) ( ) 2 3 2 1 2 + + + = T T j T j T j K G j ( ) ( )( ) ( 2 3 ) 1 2 1 2 2 3 3 1 2 3 + + + + + = T T T j T T T T j T T j K T T T T T T T T j K 1 ( ) ( ) 2 2 3 1 2 3 2 − 2 1 + 3 + + − = 2 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 3 2 2 3 1 2 3 2 2 1 3 [1 ( ) ] ( ) 1 ( ) ( ) T T T T T T T T T T T T T T T T j K − + + + − − + − + − = 此式太复杂利用上式直接令虚部 为零即可
7+7-72=02=±+虚部为零与负实轴相交于 K G(o G-70)+)0+m 72(7+73)0=m1-72(+) 727 K q() 1-71T2O G(0+)=k-j0G(∞)=-0+j0 画出一半利用对称性画出另一半 1-2(+7)-1闭+2+1>K+17=12=27=3K=2 71T 727173 7=1,72=2,73=3,K=8 4 Real Axis 154
154 0 2 T2 +T3 −T1T2T3 = 1 2 3 2 3 T T T T T c + = 虚部为零与负实轴相交于 2 1 3 2 3 2 1 3 2 2 1 3 1 ( ) 1 ( ) ( ) T T T T T T T T K T T T K G j c c + − + = − + = = ( ) 2 3 2 2 2 2 1 2 [(1 ) ( ) ][1 ( ) ] ( ) j e T T T T K G j − + + = 3 2 1 2 2 1 ( ) arctgT T T T arctg − − = − G( j0+) = K − j0 G( j) = −0 + j0 画出一半利用对称性画出另一半。 1 1 ( ) 2 1 3 2 3 2 1 3 − + − + T T T T T T T T K ( ) 1 1 3 2 3 1 3 + + + K T T T T T T T1 =1,T2 = 2,T3 = 3,K = 2 T1 =1,T2 = 2,T3 = 3,K = 8 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -6 -4 -2 0 2 4 6 Real Axis Imag Axis
Real Axis 图5-45b例5-8题的极坐标图 G平面 K大时 K小时 图5-46G(o)= KTjo+lTJo+1).(ImJo+1) (o)"(Gj+1(2j+1)(n-m1+Dn>m的极坐标图 图5-46所示为3种具有不同开环增益值的G(jo)极坐标图。对于大 的K值,系统是不稳定的。当增益减小到一定值时,G()的轨迹通过
155 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -6 -4 -2 0 2 4 6 Real Axis Imag Axis 图 5-45b 例 5-8 题的极坐标图 Re Im 0 −1 G平面 K大时 K小时 图 5-46 ( ) (( 1)( 1) ( 1)) ( 1)( 1) ( 1) ( ) 1 2 1 2 + + + + + + = − j T j T j T j K T j T j T j G j n m n m 的极坐标图 图５-46 所示为 3 种具有不同开环增益值的 G( j) 极坐标图。对于大 的 K 值，系统是不稳定的。当增益减小到一定值时， G( j) 的轨迹通过
1+j0点。对于小的K值,系统是稳定的。 一般来说,G()的轨迹越接近与包围-1+j0-1+0点,系统响应的震 荡性越大。因此,G(o)的轨迹对-1+j0点的靠近程度,可以用来度量稳 定裕量(对条件稳定系统不适用。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表 Positive m G Plane Negative Gain Margin Phase Margin G Plane Re G(o R Positive Negative Phase Margin Gain Margin Stable System Unstable System
156 −1+ j0 点。对于小的 K 值，系统是稳定的。 一般来说， G( j) 的轨迹越接近与包围-1+j0−1+ j0 点，系统响应的震 荡性越大。因此， G( j) 的轨迹对−1+ j0 点的靠近程度，可以用来度量稳 定裕量(对条件稳定系统不适用)。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表 示。 Re Imh 1 GPlane Positive Gain Margin Positive Phase Margin -1 1 Re Im h 1 Negative Gain Margin Negative Phase Margin -1 1 Stable System Unstable System G( j) G( j) GPlane