第8讲 3.3二阶系统的时域分析 二阶系统:凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统,称为二阶系统 3.3.1二阶系统的数学模型 随动系统(位置控制系统)如图3-6所示。 输入电位计 输出电位计 反馈信号 ec 发送 输入装置 RI KAe 负载 误差测量装置 放大器电动机齿轮传动 图3-6随动系统原理图 (1)该系统的任务:控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。 (2)工作原理:用一对电位计作系统的误差测量装置,它们可以将输入和输出位置信号, 转换为与位置成正比的电信号。 输入电位计电刷臂的角位置b,由控制输入信号确定,角位置b就是系统的参考输入量, 而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比,输出电位计电刷臂的角位置O,由输出轴 的位置确定。 电位差e=K,(en-e)就是误差信号。K,桥式电位器的传递函数 该信号被增益常数为K,的放大器放大,(K,应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗) 放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上 电动机激磁绕组上加有固定电压 如果出现误差信号,电动机就产生力矩以转动输出负载,并使误差信号减少到零。 (3)当激磁电流固定时,电动机产生的力矩(电磁转距)为 M=C M(s=CLI,(s) (3-10) Cn:电动机的转矩系数 i:为电枢电流
56 第 8 讲 3.3 二阶系统的时域分析 二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。 3.3.1 二阶系统的数学模型 随动系统（位置控制系统）如图 3-6 所示。 + 图 3-6 随 动 系 统 原 理 图 输 入 电 位 计 输 出 电 位 计 θr θc 发 送 反 馈 信 号 SM θc ia 输 入 装 置 e1 KA KAe La R1 R1 R2 θ i 放 大 器 电 动 机 齿 轮 传 动 负 载 误 差 测 量 装 置 Ra ⑴该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。 ⑵工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号， 转换为与位置成正比的电信号。 输入电位计电刷臂的角位置 r ，由控制输入信号确定，角位置 r 就是系统的参考输入量， 而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置 c ，由输出轴 的位置确定。 电位差 ( ) s r c e = K e − e 就是误差信号。 : Ks 桥式电位器的传递函数 该信号被增益常数为 KA 的放大器放大，（ KA 应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗） 放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。 电动机激磁绕组上加有固定电压。 如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零。 (3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为： m a M = C i M(s) C I (s) = m a （3-10） : Cm 电动机的转矩系数 : a i 为电枢电流
对于电枢电路 La a+Ri+kb=kk e (3-11) d t (LS+RI,(S)=KKsE(s)-kbSe(s) LR.:电动机电枢绕组的电感和电阻 Kb:电动机的反电势常数,O:电动机的轴的角位移。 电动机的力矩平衡方程为: d-e +f==M=Cm(3-12) (S2+AS)(s)=M(s) J:为电动机负载和齿轮传动装置,折合到电动机轴上的组合转动惯量。 f:为电动机负载和齿轮传动装置,折合到电动机轴上的粘性摩擦系数, 62(s)=-6(s) (3-13) 3-11 3-10 3-12 M JS+S KbS(s) KbS 图37随动系统方块图 根据图3-7,可以求出系统的开环传递函数(即前向通路传递函数)因为反馈回路传递 函数为1 62(s)H(s) E(S) C K.K,L2S+Rn"A2+/.1= KsK,Cm/ Cn·K,S i(LoS+R,JS2+fS)+CK,S (3-14) LoS+ROS+fs 如果略去电枢电感L
57 对于电枢电路 K K e dt d R i K dt di L a a b A s a a + + = （3-11） (L S R )I (s) K K E(s) K S (s) a + a a = A S − b : : La Ra 电动机电枢绕组的电感和电阻。 : Kb 电动机的反电势常数， : 电动机的轴的角位移。 电动机的力矩平衡方程为： m a M C i dt d f dt d J + = = 2 2 （3-12） ( ) ( ) ( ) 2 JS + fS s = M s J:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。 f:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。 i c 1 = ( ) 1 ( ) s i s c = （3-13） Ks KA Cm i 1 KbS θr(s) E(s) E1(s) Ia(s) M(s) θ(s) θc(s) 3-11 3-10 3-12 KbSθ(s) 图 3-7 随 动 系 统 方 块 图 根据图 3-7，可以求出系统的开环传递函数（即前向通路传递函数）因为反馈回路传递 函数为 1 ( ) ( ) ( ) ( ) E s s H s G s c = L S R JS f S C K S K K C i i L S R JS f S C K S JS f S C L S R K K a a m b S A m a a m b m a a S A + + + = + + + + + = ( )( ) 1 ( )( ) 1 1 1 2 2 2 （3-14） 如果略去电枢电感 La
G(s)= A Cm/ir K/F K (3-15) S(S+f+ S(S+ F) S(S+1) S(TS+D) K1=KKCm/R。增益 F=∫+-m阻尼系数,由于(K)电动机反电势的存在,增大了系统的粘性摩擦。 R K=K1/F开环增益 Tn=J/F机电时间常数 那么,不考虑负载力矩的情况下,随动系统的开环传递函数可以简化为: K G(s)= (3-16) S(TMS+D) 相应的闭环传递函数()=aA0=,(s) K (3-17) 8(s 1+G(s) T S+S+K K K 为了使研究的结果具有普遍意义,可将式(3-17)表示为如下标准形式 o()=C(s) (3-18) R(s)S2+250n+0n K VT On 5 2√TK ω,一自然频率(或无阻尼振荡频率) 2一阻尼比(相对阻尼系数) 二阶系统的标准形式,相应的方块图如图3-8所示 C(s) S(S+2EOn) 图3-8标准形式的二阶系统方块图
58 ( 1) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 + = + = + + ⎯⎯→ ⎯⎯→ = S F J S K F S JS F K F R C K S JS f K K C i R K G s a m b S A m a 令 令 ( +1) = S T S K m （3-15） S A m a K1 = K K C iR 增益 a m b R C K F = f + 阻尼系数，由于 ( ) Kb 电动机反电势的存在，增大了系统的粘性摩擦。 K = K1 F 开环增益 Tm = J F 机电时间常数 那么，不考虑负载力矩的情况下，随动系统的开环传递函数可以简化为： ( 1) ( ) + = S T S K G s m （3-16） 相应的闭环传递函数 T S S K K G s G s s s s r m c + + = + = = 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) （3-17） m n n m m m T K S T K S T S T K + + = + + = 2 1 2 2 2 为了使研究的结果具有普遍意义，可将式（3-17）表示为如下标准形式 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) n n n R s S C s s + + = = （3-18） m n T K = 2 m n T K = m n T 1 2 = 2 Tm K 1 = n －自然频率（或无阻尼振荡频率） －阻尼比（相对阻尼系数） 二阶系统的标准形式，相应的方块图如图 3-8 所示 S(S+2ξωn) ωn R 2 (s) C(s) 图3-8 标准形式的二阶系统方块图 _
二阶系统的动态特性,可以用ξ和on这两个参量的形式加以描述 二阶系统的特征方程:S2+2E0、S+.2=0(3-19) S12=-50n土On (3-20) 3.3.2二阶系统的单位阶跃响应 阻尼比是实际阻尼系数F与临界阻尼系数F的比值 F F 2√K√/F2k/F2KF F一临界阻尼系数,5=1时,阻尼系数 5<0两个正实部的特征根 发散 0<5<1,闭环极点为共扼复根,位于右半S平面,这时的系统叫做欠阻尼系统 5=1,为两个相等的根 两个不相等的根 ξ=0,虚轴上,瞬态响应变为等幅振荡 左半平面ξ>0 右半平面ξ<0 两个相等根 od=ony 1-5 =0 jon 两个不等根 图3-9二阶系统极点分布 (1)欠阻尼(0<5<1)二阶系统的单位阶跃响应 Underdamped Case S12==50n±jOn 令σ=5n-衰减系数 59
59 二阶系统的动态特性，可以用 和 n 这两个参量的形式加以描述 二阶系统的特征方程： 2 0 2 2 S + n S +n = （3-19） 1 2 S1,2 = −n n − （3-20） 3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应 阻尼比 是实际阻尼系数 F 与临界阻尼系数 FC 的比值 m FC F JK F J K F T K J K F = = = = = 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 FC －临界阻尼系数， = 1 时，阻尼系数 0 两个正实部的特征根 发散 0 1 ，闭环极点为共扼复根，位于右半 S 平面，这时的系统叫做欠阻尼系统 = 1 ，为两个相等的根 1 ，两个不相等的根 = 0 ，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡 图 3-9二 阶 系 统 极 点 分 布 左 半 平 面 ξ>0 0<ξ<1 ξ=1 两 个 相 等 根 jωn ξ=0 ωd=ωn σ jωn β ξ=0 jω 右 半 平 面 ξ<0 ξ>1 两 个 不 等 根 0 (1)欠阻尼( 0 1 )二阶系统的单位阶跃响应 Underdamped Case 2 S1,2 = −n jn 1− 令 = n －衰减系数
=-G±J 阻尼振荡频率 R(s)=,由式(3-18)得 C()=p(s)R(S)= S+220S+o-S s(S+5o)2+o2(S+5on)2+ B 对上式取拉氏反变换,得单位阶跃响应为 h(1) Icoso t dt+B) 稳态分量 瞬态分量 B=arct arccos 稳态分量为1,表明图3-8系统在单位阶跃函数作用下,不存在稳态位置误差,瞬 态分量为阻尼正弦振荡项,其振荡频率为ω』一阻尼振荡频率 包络线1±e/h-52决定收敛速度 5=0时,h(t)=1-sn 这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡,其振荡频率为ω,一故称为无阻尼 振荡频率。On由系统本身的结构参数K和T’或K和J确定,ω,常称自然频率 ·实际控制系统通常有一定的阻尼比,因此不可能通过实验方法测得on,而只能 测得4,且ω<ωn,5≥1,ω不复存在,系统的响应不再出现振荡。 (2)临界阻尼(5=1) Critically Damped Case
60 d = − j 2 d = n 1− －阻尼振荡频率 S R s 1 ( ) = ，由式（3-18）得 S S S C s s R s n n n 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 + + = = 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 n d n n d n S S S S + + − + + + = − 2 2 1 1 − = − = d n n d d n d 对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为 1 2 1− sin ] 1 ( ) 1 [cos 2 h t e t t d d t n − = − + − sin( ) 0 1 1 1 2 + − = − − e t t d t n （3-21） 稳态分量 瞬态分量 arccos 1 2 = − = arctg 稳态分量为 1，表明图 3-8 系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差，瞬 态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为 d －阻尼振荡频率 包络线 2 1 1 − − t n e 决定收敛速度 = 0 时， h(t) =1− sin n t t 0 （3-23） 这是一条平均值为 1 的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为 n －故称为无阻尼 振荡频率。 n 由系统本身的结构参数 K 和 Tm ，或 K1 和 J 确定， n 常称自然频率。 ·实际控制系统通常有一定的阻尼比，因此不可能通过实验方法测得 n ，而只能 测得 d ，且 d n ， d 1, 不复存在，系统的响应不再出现振荡。 (2)临界阻尼( = 1 ) Critically Damped Case