第9讲 3.5线形定常系统的稳定性 对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。 稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。 ①分析系统的稳定性问题。 ②提出保证系统稳定的措施,是自动控制理论的基本任务之 3.5.1稳定的基本概念和系统稳定的充要条件 ①基本概念控制系统在实际运行过程中,总会受到外界和内部一些因素的干扰,例 如,负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。这些因素总是存在的, 如果系统设计时不考虑这些因素,设计出来的系统不稳定,那这样的系统是不成功的, 需要重新设计,或调整某些参数或结构 例如:三轴摇摆台的飞车问题是控制系 统不稳定、发散的一个典型实例。指令输入信号50°/s走速率时,输出不跟踪指令,而 是越走越快。陀螺会跟不上,力反馈拉不住。 有关稳定性的定义和理论较多 (1)控制系统稳定性的严格定义和理论阐述是由俄国学者李雅普诺夫于1892年提出的 它主要用于判别时变系统和非线性系统的稳定性。 (2)设一线性定常系统原处于某一平衡状态,若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的 平衡状态,当此扰动撤消后,系统仍能回到原有的平衡状态,则称该系统是稳定的。反 之,系统为不稳定。由此可知:线形系统的稳定性取决于系统的固有特征(结构、参数), 与系统的输入信号无关。 基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况,它与系统的输入信号无关, 只取决于系统本身的特征,因而可用系统的脉冲响应函数来描述。 如果脉冲响应函数是收敛的,即有 lim g(t)=0 表示系统仍能回到原有的平衡状态,因而系统是稳定的。由此可知,系统的稳定与其脉 冲响应函数的收敛是一致的
77 第 9 讲 3.5 线形定常系统的稳定性 对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。 稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。 ① 分析系统的稳定性问题。 ② 提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。 3.5.1 稳定的基本概念和系统稳定的充要条件 ①基本概念 控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的干扰，例 如，负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。这些因素总是存在的， 如果系统设计时不考虑这些因素，设计出来的系统不稳定，那这样的系统是不成功的， 需要重新设计，或调整某些参数或结构。 例如：三轴摇摆台的飞车问题是控制系 统不稳定、发散的一个典型实例。指令输入信号 50/s 走速率时，输出不跟踪指令，而 是越走越快。陀螺会跟不上，力反馈拉不住。 有关稳定性的定义和理论较多。 ⑴控制系统稳定性的严格定义和理论阐述是由俄国学者李雅普诺夫于 1892 年提出的， 它主要用于判别时变系统和非线性系统的稳定性。 ⑵设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的 平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反 之，系统为不稳定。由此可知：线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数）， 与系统的输入信号无关。 基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关， 只取决于系统本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。 如果脉冲响应函数是收敛的，即有 ( ) 0 lim = → g t t (3-52) 表示系统仍能回到原有的平衡状态，因而系统是稳定的。由此可知，系统的稳定与其脉 冲响应函数的收敛是一致的
由于单位脉冲函数的拉氏反变换等于1,所以系统的脉冲响应函数就是系统闭环传递函 数的拉氏反变换。如同上节所假设的那样,令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和 r对复数极点,则式(3-46)可改写为 K∏(S+Z;) G(s)=p(s)= (3-53) Ⅱ(s+P)田(S+250aS+Ca) 式中q+2=m式③3-53)用部分公式展开,得g+2r=n+2=my用部分分式展开 (s) B,(S+5,Onk)+CKOnkv s+p 对上式取拉氏反变换,求得系统的脉冲响应函数为 g()=S4"+∑ e-sod coso A、小-521+ Ce-saont sin o ≥0(3-54) kel 由式(3-54)可见,若lmg()=0即系统稳定,则闭环特征方程式的根须都位于S的左 →0 半平面,每一个特征根不论是是实根还是复根都要具有负实部,这就是系统稳定的充要 条件。如果系统的特征根中只要有一个正实根或一对实部为正的复数根,则其脉冲响应 函数就是发散形式,系统永远不会再回到原有的平衡状态,这样的系统就是不稳定系统。 P52物理系统的输出量只能增加到一定的范围,此后或者受到机械止动装置的限制, 或者系统遭到破坏,也可能当输出量超过一定数值后,系统变成非线性的,(而使线性 微分方程不再适用。)由于非线性因素存在,仅表现为等幅振荡。 稳定 不稳定 实际 理论 5>0.4 图3-20系统稳定性示意图 以上讨论了在零输入系统的稳定性问题,人们也许会提出这样一个问题 即一个在零输入下稳定的系统,会不会因某个参考输入信号的加入而使其稳定性受到破
78 由于单位脉冲函数的拉氏反变换等于 1，所以系统的脉冲响应函数就是系统闭环传递函 数的拉氏反变换。如同上节所假设的那样，令系统的闭环传递函数含有 q 个实数极点和 r 对复数极点，则式(3-46)可改写为 (3 53) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 − + + + + = = = = = k n k n k r k j q j i m i S P S S K S Z G s s 式中 q + 2r = n。式（3−53）用部分公式展开，得 q + 2r = n q+2r=ny 用部分分式展开 = = + + + + − + + = r k k nk nk k k nk k nk k q j j j S S B S C S P A G s 1 2 2 2 1 2 ( ) 1 ( ) 对上式取拉氏反变换，求得系统的脉冲响应函数为 ( ) [ cos 1 sin 1 ] , 0 (3 54) 2 2 1 1 = + − + − − − = = − − g t A e B e t C e t n k k t k k q j r k n k t k p t j j k n k k n k 由式(3-54)可见，若 ( ) 0 lim = → g t t 即系统稳定，则闭环特征方程式的根须都位于 S 的左 半平面，每一个特征根不论是是实根还是复根都要具有负实部，这就是系统稳定的充要 条件。如果系统的特征根中只要有一个正实根或一对实部为正的复数根，则其脉冲响应 函数就是发散形式，系统永远不会再回到原有的平衡状态，这样的系统就是不稳定系统。 P52 物理系统的输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制， 或者系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，（而使线性 微分方程不再适用。）由于非线性因素存在，仅表现为等幅振荡。 不 稳 定 稳 定 0.4 4 t s 0 实 际 理 论 图 3-20 系统稳定性示意图 以上讨论了在零输入系统的稳定性问题，人们也许会提出这样一个问题： 即一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输入信号的加入而使其稳定性受到破
坏?回答是否定的。下面以单位阶跃函数,即R(s)=1,则系统的输出为 K∏(S+S) G(s)=p(s)= II(S+P)I(S+25,@nkS 显然,上式就是上节所述的式(3-47),因而对应的单位阶跃响应表达式就是式(3-49)。 由该式可见,等号右方第一项A是系统的稳态分量,它表示在稳态时,系统的输出量 c(完全受输入量()控制第二、第三项为系统响应的瞬态分量,它们是由系统的结 构和参数确定的。 如果所研究的系统在零输入下是稳定的,即系统所有的特征根都具有负实部,则输出响 应中各瞬态分量都将随着时间的推移而不断地衰减,经过充分长的时间后,系统的输出 量最终将趋向于稳态分量的一个无限小的领域,系统进入稳态运行。这表明了一个在零 输入下的稳定系统,在参考输入信号作用下仍能将继续保持稳定, 综上所述,控制系统稳定与否完全取决于它本身的结构和参数,即取决于系统特征方程 式根实部的符号,与系统的初始条件和输入无关。如果系统特征方程式的根都具有负实 部,则系统是稳定的。反之,若系统特征方程式的根中有一个或一对以上实部为正的根, 则对应的瞬态分量将随着时间的推移而不断地增大,并成为输出响应的主要成分,而稳 态分量与之相比都变得无足轻重了。显然,这种系统是不稳定的。如果系统特征方程式 的根中有一对共轭虚根,其余的根均在S的左半平面,则对应的系统为临界稳定。此时 系统的响应函数中含有等幅振荡的分量,基于系统的参数和外部环境的变化,这种等幅 振荡不可能持久地维持下去,系统最后很可能会不稳定。因此,在控制工程中通常把临 界稳定亦当作不稳定处理。 3.5.2劳斯稳定判据 3.5.2.1劳斯表 线性系统稳定的充要条件是◇闭环特征方程式的根必须都位于S的左半平面。能否找 到一种不用求根而直接判别系统稳定性的方式,称为稳定判据。 令系统的闭环特征方程为 aoS"+aS"-+a,S"-+.+a,S+a,=0 ao>0 如果方程式的根都是负实部,或其实部为负的复数根,则其特征方程式的各项系数均为 正值,且无零系数 证明、说明:设-p1,-P2…为实数根,-ax1±jB12-a2±jB2…为复数根
79 坏？回答是否定的。下面以单位阶跃函数，即 s R s 1 ( ) = ，则系统的输出为 ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 k n k n k r k j q j i m i S S P S S K S S G s s + + + + = = = = = (3-47) 显然，上式就是上节所述的式(3-47)，因而对应的单位阶跃响应表达式就是式(3-49)。 由该式可见，等号右方第一项 A0 是系统的稳态分量，它表示在稳态时，系统的输出量 c(t)完全受输入量r(t)的控制。 第二、第三项为系统响应的瞬态分量，它们是由系统的结 构和参数确定的。 如果所研究的系统在零输入下是稳定的，即系统所有的特征根都具有负实部，则输出响 应中各瞬态分量都将随着时间的推移而不断地衰减，经过充分长的时间后，系统的输出 量最终将趋向于稳态分量的一个无限小的领域，系统进入稳态运行。这表明了一个在零 输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍能将继续保持稳定。 综上所述，控制系统稳定与否完全取决于它本身的结构和参数，即取决于系统特征方程 式根实部的符号，与系统的初始条件和输入无关。如果系统特征方程式的根都具有负实 部，则系统是稳定的。反之，若系统特征方程式的根中有一个或一对以上实部为正的根， 则对应的瞬态分量将随着时间的推移而不断地增大，并成为输出响应的主要成分，而稳 态分量与之相比都变得无足轻重了。显然，这种系统是不稳定的。如果系统特征方程式 的根中有一对共轭虚根，其余的根均在 S 的左半平面，则对应的系统为临界稳定。此时 系统的响应函数中含有等幅振荡的分量，基于系统的参数和外部环境的变化，这种等幅 振荡不可能持久地维持下去，系统最后很可能会不稳定。因此，在控制工程中通常把临 界稳定亦当作不稳定处理。 3.5.2 劳斯稳定判据 3.5.2.1 劳斯表 线性系统稳定的充要条件是 闭环特征方程式的根必须都位于 S 的左半平面。能否找 到一种不用求根而直接判别系统稳定性的方式，称为稳定判据。 令系统的闭环特征方程为 0 0 (3 55) 1 0 2 2 1 0 + 1 + + + − + = − − − a S a S a S an S an a n n n 如果方程式的根都是负实部，或其实部为负的复数根，则其特征方程式的各项系数均为 正值，且无零系数。 证明、说明：设− p1 ,−p2 , 为实数根，−1 j1 ,−2 j2 为复数根
其中p1,p2…;a1,a2…都是正值,则式(3-55改写为 a0{(S+PS+P)…[(S+a1-B1S+a1+B1(S+a2-jB2)S+a2+jB2)…}=0 即a{S+PXS+P2)…(S2+2a1S+a2+B2)S2+2a2S+a2+B2)}=0 因为上式等号左方所有因式的系数都为正(数)值,所以它们相乘后与各次项的系数必 然仍为正值,且不会有系数为零的项。反之,若方程中如有一个根为正实根,或有一对 实部为正的复数根,则由式(3-56)可知,对应方程式与各项的系数不会全为正值,即 定会有负系数项或缺项出现 不难证明,对于一阶和二阶线性定常系统,其特征方程式的系数全为正值,是系统稳定 的充分条件和必要条件。但对于三阶以上的系统,特征方程式的各项系数均为正值仅是 系统稳定的必要条件,而非充分条件。 劳斯稳定判据就是这种间接的方法(不用直接求根,因为求根很复杂),它是由劳斯 (E…J/oamh)于1877年首先提出的。有关劳斯判据自身的数学论证,从略。本节主要 介绍该判据有关的结论及其在判别控制系统稳定性方面的应用 设系统特征方程式如(3-55)所示,将各项系数,按下面的格式排成老斯表 aa a b, b2 b3 b4 CC? C ddd el e2 f1 表中 b=4-4,b2=4-4,b= aa6-do' b,a3 -a, b 2 b,as-a,b3 b,a,-a, b 4 f e,d2-d, e 这样可求得n+l行系数
80 其中 p1 , p2 , ,1 ,2 , 都是正值，则式（3−55）改写为 a0 {(S + P1 )(S + P2 )[(S +1 − j1 )(S +1 + j1 )][(S + 2 − j 2 )(S + 2 + j 2 )]} = 0 {( )( ) [( 2 )][( 2 )] } 0 (3 56) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 即a0 S + P1 S + P2 S + S + + S + S + + = − 因为上式等号左方所有因式的系数都为正（数）值，所以它们相乘后与各次项的系数必 然仍为正值，且不会有系数为零的项。反之，若方程中如有一个根为正实根，或有一对 实部为正的复数根，则由式(3-56)可知，对应方程式与各项的系数不会全为正值，即一 定会有负系数项或缺项出现。 不难证明，对于一阶和二阶线性定常系统，其特征方程式的系数全为正值，是系统稳定 的充分条件和必要条件。但对于三阶以上的系统，特征方程式的各项系数均为正值仅是 系统稳定的必要条件，而非充分条件。 劳斯稳定判据就是这种间接的方法（不用直接求根，因为求根很复杂），它是由劳斯 (E J Routh) 于 1877 年首先提出的。有关劳斯判据自身的数学论证，从略。本节主要 介绍该判据有关的结论及其在判别控制系统稳定性方面的应用。 设系统特征方程式如（3-55）所示，将各项系数，按下面的格式排成老斯表 1 0 1 2 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 4 2 1 3 5 7 1 0 2 4 6 s f s e e s d d d s c c c s b b b b s a a a a s a a a a n n n n − − − 1 1 2 1 2 1 1 1 7 1 4 3 1 1 5 1 3 2 1 1 3 1 2 1 1 1 6 0 7 3 1 1 4 0 5 2 1 1 2 0 3 1 , , , , e e d d e f b b a a b c b b a a b c b b a a b c a a a a a b a a a a a b a a a a a b − = − = − = − = − = − = − = 表中 这样可求得 n+1 行系数
劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化,去判别特征方程式根在S平面 上的具体分布,过程如下: ①如果劳斯表中第一列的系数均为正值,则其特征方程式的根都在S的左半平面,相应 的系统是稳定的。 ②如果劳斯表中第一列系数的符号有变化,其变化的次数等于该特征方程式的根在S的 右半平面上的个数,相应的系统为不稳定。 例3-5已知一调速系统的特征方程式为 S3+41.5S2+517S+2.3×104=0 试用劳斯判据判别系统的稳定性, 解:列劳斯表 517 SSss 41.52.3×1040 2.3×104 由于该表第一列系数的符号变化了两次,所以该方程中有二个根在S的右半平面,因而 系统是不稳定的。 例3-6已知某调速系统的特征方程式为 S3+41.52+517S+1670(1+K)=0 求该系统稳定的K值范围 解:列劳斯表 517 0 41.51670(1+K)0 41.5×517-1670(1+K) 0 41.5 1670(1+K) 由劳斯判据可知,若系统稳定,则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。 可得 517-40.2(1+K)>0 16701+K)>0 ∵.-1<K<11.9 3.5.2.2劳斯判据特殊情况 在应用劳斯判据时,有可能会碰到以下两种特殊情况
81 劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式根在 S 平面 上的具体分布，过程如下： 如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在 S 的左半平面，相应 的系统是稳定的。 如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在 S 的 右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。 例 3-5 已知一调速系统的特征方程式为 41.5 517 2.3 10 0 3 2 4 S + S + S + = 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解：列劳斯表 0 4 1 2 4 3 2.3 10 38.5 41.5 2.3 10 0 1 517 0 − S S S S 由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在 S 的右半平面，因而 系统是不稳定的。 例 3-6 已知某调速系统的特征方程式为 41.5 517 1670(1 ) 0 3 2 S + S + S + + K = 求该系统稳定的 K 值范围。 解：列劳斯表 1670(1 ) 0 41.5 41.5 517 1670(1 ) 41.5 1670(1 ) 0 1 517 0 0 1 2 3 S K K S S K S + − + + 由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。 可得： + − + 1670(1 ) 0 517 40.2(1 ) 0 K K −1 K 11.9 3.5.2.2 劳斯判据特殊情况 在应用劳斯判据时，有可能会碰到以下两种特殊情况