第二章控制系统的数学模型 2.1引言 揿制系统是由控制对象、热行机枃放大罨檢测〔测量)装買和控制罨等组成 数学模型:在分析和设计系统时,了解这些砖砖瓦瓦的丁作原理及运动过程是很重要的 衷熏要的是深入研宠它们的动态特性,正确列写出京们的数学表达式 我们把描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型 深入了解元件及系统的动态特性,淮确建立它们的数学模型一称建模,只有得到较为進确的 数学建模才能设计出性能良妖的挖制系统g 动态特性控制系统所采用的元件种类繁多,虽然各自服从的规律,但它们有一共同点 即任何系统或元件总有物质或能量流入,同时又有某些物质或能量流出,系统通常又是有贮 存物质或能量的能力,贮存量的多少用状态变量来表示。状态变量是反应系统流入量或流出 量之间平衡的物理量,由于外部供给系统的物质或能量的速率是有限的,不可能是无穷大, 因此,系统的状态变量有一个状态变到另一个状态不可能瞬间完成,而要经过一段时间。这 样,状态变量的变化就有一个过程,这就是动态过程。例如,电路中电容上的电压是一个状 态变量,它由一个值变到另一个值不可能瞬间完成。具有一定惯量的物体的转速是一个状态 变量,转速的变化也是一个过渡过程,具有一定质量的物体的温度是一个状态变量,它由温 度T0变到T,同样有一个动态过程:又如容器中液位也是一个状态变量,液位的变化也要一 定的时间。 物理模型任何元件或系统实际上都是很复杂的,难以对它作出精确、全面的描述,必 须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的, 要根据问题的性质和求解的精确要求,来确定出合理的物理模型。 建立控制系统数学模型的方法有 分析法一对系统各部分的运动机理进行分析,物理规律、化学规律 建立系统数学模型的几个步骤 建立物理模型。 列写原始方程。利用适当的物理定律一如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能 量守恒定律等) 选定系统的输入量、输出量及状态变量(仅在建立状态模型时要求),消去中间变 量,建立适当的输入输出模型或状态空间模型 实验法一人为施加某种测试信号,记录基本输出响应 输入(已知) 输出(已知) 黑匣子 数学模型的逼近 数学模型有多种表现形式
14 第二章 控制系统的数学模型 2.1 引言 控制系统是由控制对象、执行机构、放大器、检测（测量）装置和控制器等组成。 数学模型： 在分析和设计系统时，了解这些砖砖瓦瓦的工作原理及运动过程是很重要的， 更重要的是深入研究它们的动态特性，正确列写出它们的数学表达式。 我们把描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型。 深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型－称建模，只有得到较为准确的 数学建模，才能设计出性能良好的控制系统。 动态特性 控制系统所采用的元件种类繁多，虽然各自服从的规律，但它们有一共同点： 即任何系统或元件总有物质或能量流入，同时又有某些物质或能量流出，系统通常又是有贮 存物质或能量的能力，贮存量的多少用状态变量来表示。状态变量是反应系统流入量或流出 量之间平衡的物理量，由于外部供给系统的物质或能量的速率是有限的，不可能是无穷大， 因此，系统的状态变量有一个状态变到另一个状态不可能瞬间完成，而要经过一段时间。这 样，状态变量的变化就有一个过程，这就是动态过程。例如，电路中电容上的电压是一个状 态变量，它由一个值变到另一个值不可能瞬间完成。具有一定惯量的物体的转速是一个状态 变量，转速的变化也是一个过渡过程，具有一定质量的物体的温度是一个状态变量，它由温 度T0变到T，同样有一个动态过程；又如容器中液位也是一个状态变量，液位的变化也要一 定的时间。 物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必 须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的， 要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。 建立控制系统数学模型的方法有 分析法－对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律 建立系统数学模型的几个步骤： • 建立物理模型。 • 列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能 量守恒定律等） • 选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变 量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。 实验法－人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。 黑匣子 输入（已知） 输出（已知） 数学模型的逼近 数学模型有多种表现形式
1微分方程一输入量和状态变量都是连续的。集总参数 微分方程,分布参数 2差分方程一离散系统 、复域1传递函数 2结构图一信号流图 、频率一频率特性,波特图 续系统一微分方程1线性微分方程线性系统 2常系数线性微分方程线性定常系统线性时变系统 3偏微分方程一分布参数系统 4非线性微分方程 离散系统一差分方程 2.2控制系统的时域数学模型 2.2.1线性元件的微分方程 例2-1图2-1为由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1(t)为输入量,U2(t)为输出 量的网络微分方程。 RI R2 Cl 图2-1RC组成的四端网络 解:设回路电流i1、i2 根据克希霍夫定律,列写方程 U=RA+U U=r,i2+Uc i. dt 由④、⑤得 m≈ dU 由②导出
15 一、时 1微分方程－输入量和状态变量都是连续的。集总参数 偏微分方程，分布参数 2差分方程－离散系统 二、复域 1传递函数 2 结构图－信号流图 三、频率－频率特性，波特图 连续系统－微分方程 1线性微分方程 线性系统 时 2常系数线性微分方程 线性定常系统 线性时变系统 3偏微分方程－分布参数系统 域 4非线性微分方程 离散系统－差分方程 2.2 控制系统的时域数学模型 2.2.1线性元件的微分方程 例2-1 图2-1为由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1（t）为输入量，U2(t)为输出 量的网络微分方程。 U1 R1 R2 C1 C2 U2 图2-1 RC组成的四端网络 解： 设回路电流i1、i2 根据克希霍夫定律，列写方程 1 1 1 Uc1 U = R i + ① = i − i dt C Uc ( ) 1 1 2 1 1 ② c1 2 2 Uc2 U = R i + ③ = i dt C Uc 2 2 2 1 ④ U2 = Uc2 ⑤ 由④、⑤得 dt dU C dt dU i C c 2 2 2 2 = 2 = 由②导出
dU i1=C1,+i2 +C2 d 将i1、i2代入①、③,则得 U1=R1+R2i2 R(C14+C2)+6<U2+U2 dU dU =RC1(R2+U2)+C22]+RC2 dt R,CR dU,rhi di +r u2 dec“2 RRGC du,+(RCI+RC+RC)8U,+U2=U dt dt 这就是RC组成的四端网络的数学模型,是一个二阶线性微分方程。 例2-2试证明图2-2(a)、(b)所示的机、电系统是相似系统(即两系统具有相同的数学模型)。 解:对机械网络:输入为Xr,输出为Xc,根据力平衡,可列出其运动方程式 KI(X-X+B, (Xr-X=K,X+B2Xc (B,+B2)X+(K,+K2)X=B,X+K,X 对电气网络(b),列写电路方程如下 rai idt+R,i+idt=U UC=RI (R1+R2)+Uc ④ 利用②、③、④求出 Ur-(+Uc RI+ R2-(1+R 代入① 将①两边微分得 (R+R)+(1+1y=R,+1U 力-电压相似 机械 电气 B1阻尼R1电阻 K1弹性系数C1 弹性系数C2
16 dt dU C dt dU i C dt dU i C c c 2 2 1 2 1 1 1 = 1 + = + 将i1、i2代入①、③，则得 1 1 2 2 Uc2 U = R + R i + 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) U dt dU R C dt dU C dt dU R C c = + + + 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 [ ( ) ] U dt dU R C dt dU R i U C dt d = R C + + + + 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 U dt dU R C dt dU R C dt dU R C dt d U = R C R C + + + + 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) U U dt dU R C R C R C dt d U R R C C + + + + = 这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。 例2-2 试证明图2-2(a)、(b)所示的机、电系统是相似系统(即两系统具有相同的数学模型)。 解： 对机械网络：输入为Xr，输出为Xc，根据力平衡，可列出其运动方程式 c 2 c 2 r c K1 (Xr - Xc ) B1 (X - X ) K X B X • • • + = + r r (B1 + B2 )Xc + (K1 + K2 )Xc = B1 X + K1X • • 对电气网络(b)，列写电路方程如下： + + + = Ur idt C idt R i C R i 1 1 2 2 1 1 ① Uc2 Uc1 C1Uc1 = C2Uc2 ② c 1 c1 U = R i +U ③ 1 2 Uc1 Uc2 Ur (R + R )i + + = ④ 利用②、③、④求出 ) 1 2 1 1 2 (1 ) 2 1 (1 R C C R R Uc C C Ur i + − + − + = 代入① 将①两边微分得 c c r Ur C U R U C C R R U 1 1 1 2 1 2 1 ) 1 1 ( + ) + ( + = + • • 力-电压相似 机械 电气 B1 阻尼 R1 电阻 B2 R2 K1 弹性系数 1 1 C K2 弹性系数 2 1 C
可见,机系统(a)和电系统(b)具有相同的数学模型,故这些物理系统为相似系统。(即 电系统为即系统的等效网络) 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系 为我们利用简单易实现的系统(如电的系统)去研究机械系统. 因为一般来说,电的或电子的系统更容易,通过试验进行研究 例3图2-3所示为电枢控制直流电动机的微分方程,要求取电枢电压Ua(t)(v)为输入量, 电动机转速ωm(t)(rad/s)为输出量,列写微分方程。图中Ra(Ω)、La(H分别是电枢电 路的电阻和电感,M(N·M)是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值 if R la Ua Ea 负 载 Jm, fm 图2-3电枢控制直流电动机原理图 解:电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能,也就是由输入的电枢 电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t),再由电流ia(t)与激磁磁通相互作用产生电 磁转距Mm(t),从而拖动负载运动。因此,直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。 电枢回路电压平衡方程 U(1)=L di, (o) R,,(n+e Ea是电枢反电势,它是当电枢旋转时产生的反电势,其大小与激磁磁通及转速成正 比,方向与电枢电压Ua(t)相反,即 Ea=Ce om (t) Ce一反电势系数(v/rad/s)② 电磁转距方程:Mm(t)=Cmin(t) 3 m电动机转距系数(N·M/A)是电动机转距系数 Mm(t)-是由电枢电流产生的电磁转距(N·M) ·电动机轴上的转距平衡方程: do(o) +f,@m(t=M(t-M(t) Jm-转动惯量(电动机和负载折合到电动机轴上的)kg·m·s fm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数(N·m/rad/s) ③、④求出ia(t),代入①同时②亦代入①得: LJ dt+(La/m+ J)dom() dt +(r,f+CCeo(1) C dM( mU,()-La-f-RoM(o 在工程应用中,由于电枢电路电感La较小,通常忽略不计,因而⑤可简化为
17 可见，机系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即 电系统为即系统的等效网络） 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。 为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统...... 因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。 例3 图2-3 所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua(t)（v）为输入量， 电动机转速ωm（t）（rad/s）为输出量，列写微分方程。图中Ra(Ω)、La(H)分别是电枢电 路的电阻和电感，Mc(N·M)是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。 图2-3 电枢控制直流电动机原理图 SM 负 载 ＋ - ＋ - La Ra Ea Wm Jm,fm Ua if ia 解： 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢 电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia（t）与激磁磁通相互作用产生电 磁转距Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。 ·电枢回路电压平衡方程： a a a a a a R i t E dt di t U t = L + ( ) + ( ) ( ) ① Ea是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正 比，方向与电枢电压Ua(t)相反，即 Ea=Ceωm（t） Ce－反电势系数（v/rad/s） ② ·电磁转距方程： Mm(t)=Cmia(t) ③ Cm-电动机转距系数（N·M/A）是电动机转距系数。 Mm(t)-是由电枢电流产生的电磁转距（N·M） ·电动机轴上的转距平衡方程： ( ) ( ) ( ) ( ) f t M t M t dt d t J m m m c m m + = − ④ Jm－转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的） kg·m· 2 s fm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（N·m/rad/s） ③、④求出ia(t)，代入①同时②亦代入①得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 R M t dt dM t C U t L R f C C t dt d t L f R J dt d t L J a c c m a a a m m e m m a m a m m a m = − − + + + + ⑤ 在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而⑤可简化为
7ma+on()=k((0)-k2M2() T RJ Rafm+CnC。 电动机机电时间常数(s) KI R R,f+CC Raf +Cc 电动机传递系数 如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时⑥还可进一步简化为 C,O(0=U(n) 电动机的转速Wm(t)与电枢电压Ua(t)成正比,于是电动机可作为测速发电机使用 系统最基本的数学模型是它的微分方程式。建立微分方程的步骤如下: ①确定系统的输入量和输出量 ②将系统划分为若干环节,从输入端开始,按信号传递的顺序,依据各变量所遵循的物理学 定律,列出各环节的线性化原始方程 ③消去中间变量,写出仅包含输入、输出变量的微分方程式 2.2.2线性微分方程的求解 初条 列出方程 求解方程 求解微分方程 输入量 2.2.3非线性元件微分方程的线性化 具有连续变化的非线性函数的线性化,可用切线法或小偏差法。在一个小范围内,将非线 性特性用一断直线来代替。(分段定常系统) 个变量的非线性函数y=f(x) 在x0处连续可微,则可将它在该点附件用台劳级数展开 y=f(x)=f(x0)+f(x0Xx-x0)+f"(x0(x-x0)2+ 增量较小时略去其高次幂项,则有 y-y0=f(x)-f(x0)=f(x0x-x0) △y=k△x 比例系数,函数在X点切线的斜率 两个变量的非线性函数 f(x1,x2),同样可在某工作点(x10,x20)附件用台劳级数展开为 y=f(xl,x2)=f(x10,x20)+ ar1(x1-xo(xl0,x20)(x2-x20) f(x10,x20) ax 2 110x20)(x1-x1032+2y(x10.3201(x-x10x-x20 axl axlax2 a2f(x10,x20) (x1-x20)2]+ 略去二级以上导数项,并令Δy=y-f(x10,x20) △x2=x-x20
18 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 t K U t K M t dt d t T m a c m m + = − ⑥ 式中 a m m e a m m R f C C R J T + = 电动机机电时间常数（s） a m m e m R f C C C K + 1 = m m e a Raf C C R K + 2 = 电动机传递系数 如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时 ⑥还可进一步简化为 C (t) U (t) e m = a ⑦ 电动机的转速Wm(t)与电枢电压Ua(t)成正比，于是 电动机可作为测速发电机使用。 系统最基本的数学模型是它的微分方程式。建立微分方程的步骤如下： ①确定系统的输入量和输出量 ②将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学 定律，列出各环节的线性化原始方程。 ③消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。 2.2.2 线性微分方程的求解 列出方程 求解方程 求解微分方程 初条 输入量 2.2.3 非线性元件微分方程的线性化 具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或小偏差法。在一个小范围内，将非线 性特性用一断直线来代替。（分段定常系统） ·一个变量的非线性函数 y=f(x) 在x0处连续可微，则可将它在该点附件用台劳级数展开 = = + − + − + ' '' 2 ( 0)( 0) 2! 1 y f (x) f (x0) f (x0)(x x0) f x x x 增量较小时略去其高次幂项，则有 0 ( ) ( 0) ( 0)( 0) ' y − y = f x − f x = f x x − x Δy k Δx Δy=kΔx 比例系数，函数在x0点切线的斜率 ·两个变量的非线性函数 y=f(x1,x2)，同样可在某工作点（x10,x20）附件用台劳级数展开为 − + + − − − + + − − + = = + ( 1 20) ] 2 ( 10, 20) ( 10)( 20) 1 2 ( 10, 20) ( 1 10) 2 1 ( 10, 20) [ 2! 1 ( 2 20)] 2 ( 10, 20) ( 1 10) 1 ( 10, 20) ( 1, 2) ( 10, 20) [ 2 2 2 2 2 2 x x x f x x x x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x y f x x f x x 略去二级以上导数项，并令Δy＝y-f(x10,x20) Δx1=x-x10 Δx2=x-x20