第13讲 第5章线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1频率特性及其表示法 52典型环节对数频率特性曲线的绘制 53典型环节的幅相曲线的绘制 54稳定裕度和判据 5.3极坐标图( Polarplo,幅相频率特性曲线,奈奎斯特曲线 531积分与微分因子 5.32-阶因子 533二阶因子 5.3.4传递延迟 O=0 0 Re 0 低频区 +J 图5-33(a)传递延迟的极坐标图
135 第 13 讲 第 5 章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1 频率特性及其表示法 5.2 典型环节对数频率特性曲线的绘制 5.3 典型环节的幅相曲线的绘制 5.4 稳定裕度和判据 5.3 极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线 5.3.1 积分与微分因子 5.3.2 一阶因子 5.3.3 二阶因子 5.3.4 传递延迟 Re Im = 0 1 0 Re Im = 0 = 1+ jT 1 j T e − 低频区 图 5-33(a) 传递延迟的极坐标图
图5-33(b)eo, 和1+jOT的极坐标图 G(j0)=e10可以写成G(1)=1/cosO7- jsin aT 因为的幅值总为1,而相角随线性变化,所以传递延迟的极坐标图是一个单 位园圆,如图5-33(a)所示。在低频时,传递延迟与一阶环节的特性相似 如图5-33(b)所示。 当0<1时,eT=1-JT 1+≈1-07 当o>时,两者存在本质的差别。 535极坐标图的一般形状 Re n-m: 2型系统 型系统↓0型系统 0 图5-34(a)0型1型和2型系统的极坐标图(b)高频区域内的极坐标图
136 图 5-33(b) j T e − 和 1+ jT 1 的极坐标图 j T G j e − ( ) = 可以写成 G( j) =1 cosT − jsin T 因为的幅值总为 1，而相角随线性变化，所以传递延迟的极坐标图是一个单 位园圆，如图 5-33(a)所示。在低频时，传递延迟与一阶环节的特性相似， 如图 5-33(b)所示。 当 T 1 时， e j T j T − − 1 j T j T − + 1 1 1 当 T 1 时，两者存在本质的差别。 5.3.5 极坐标图的一般形状 Re Im = 0 1型系统 0型系统 2型系统 0 0 0 Re = 0 n−m=1 n−m= 2 n−m=3 图 5-34(a)0 型 1 型和 2 型系统的极坐标图(b)高频区域内的极坐标图
Go K(tJo+D(2jO+1).(tmJ@+D) (jo)(7jO+1)(2Jo+1)…(Tn-jo+1)">m =0即0型系统:极坐标图的起点=0是个位于正实轴的有限值 对应于O=00的极坐标图曲线的终点位于坐标原点,并且这一点上的 曲线与一个坐标轴相切。 v=1型系统:在总的相角中,-90°的相角是项产生的。在低频时,极 坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段。当O三∞时,幅值为零, 且曲线收敛于原点,且曲线与一个坐标轴相切。 v=2即2型系统:在总相角中-180的相角是由(o)2项产生的。 0型、1型和2型系统极坐标图低频部分的一般形状如图5-34(a)所示。如 果G()的分母多项式阶次高于分子多项式阶次,那么G()的轨迹 将沿者顺时针方向收敛于原点。当O=∞O时,G(j四)轨迹将与实轴 或虚轴相切如图5-34(b)所示。 极坐标图曲线的复杂形状都是由分子的动动态特性引起的。由分子的 时间常数决定的。 54对数幅相图( Nichols Chart)尼柯尔斯图
137 ( ) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( ) 1 2 1 2 + + + + + + = − j T j T j T j K j j j G j n m n m = 0 即 0 型系统：极坐标图的起点 = 0 是一个位于正实轴的有限值。 对应于 = 的极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的 曲线与一个坐标轴相切。 =1 1 型系统：在总的相角中，− 90 的相角是 j 项产生的。在低频时，极 坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段。当 = 时，幅值为零， 且曲线收敛于原点，且曲线与一个坐标轴相切。 = 2 即 2 型系统：在总相角中−180 的相角是由 2 ( j) 项产生的。 0 型、1 型和 2 型系统极坐标图低频部分的一般形状如图 5-34(a)所示。如 果 G( j) 的分母多项式阶次高于分子多项式阶次，那么 G( j) 的轨迹 将沿者顺时针方向收敛于原点。当 = 时， G( j) 轨迹将与实轴 或虚轴相切如图 5-34(b)所示。 极坐标图曲线的复杂形状都是由分子的动动态特性引起的。由分子的 时间常数决定的。 5.4 对数幅-相图(Nichols Chart)尼柯尔斯图
Nichols Chart Open-Loop Phase(deg) 图5-34二阶因子对数幅-相图 5.5奈奎斯特稳定判据 Nyquist Stability Criterion) R(s c(s) G(s) H(S) 图3-35闭环系统 考虑图5-35所示的闭环系统,其闭环传递函数为 S S R(s) 1+ H(SG(s) 为了保证系统稳定,特征方程
138 Nichols Chart Open-Loop Phase (deg) Open-Loop Gain (dB) -180 -135 -90 -45 0 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 图 5-34 二阶因子对数幅-相图 5.5 奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) R(s) C(s) G(s) H(s) 图 3-35 闭环系统 考虑图 5-35 所示的闭环系统，其闭环传递函数为 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H s G s G s R s C s + = 为了保证系统稳定，特征方程
1+H(s)G(S)=0 的全部根,都必须位于左半s平面。虽然开环传递函数H(s)G()的极点 和零点可能位于右半s平面,但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半S 平面,则系统是稳定的。 奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应H(O)G()与 l+H(s)G(s)在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方 法无须求出闭环极点,得到广泛应用。由解析的方法和实验的方法得到的 开环频率特性曲线,均可用来进行稳定性分析。 奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的 假设开环传递函数H(S)G(s)可以表示成s的多项式之比。对于物理 上可实现的系统,闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子 多项式的阶数,这表明,当s趋于无穷大时,任何物理上可实现系统的 H(s)G(s)的极限,或趋于零,或趋于常数。 551预备知识 F(s)=1+H(s)G(s)=0 可以证明,对于S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线,在
139 1+ H(s)G(s) = 0 的全部根，都必须位于左半 s 平面。虽然开环传递函数 H(s)G(s) 的极点 和零点可能位于右半 s 平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半 s 平面，则系统是稳定的。 奈 奎 斯 特 稳 定 判 据 正 是 将 开 环 频 率 响 应 H( j)G( j) 与 1+ H(s)G(s) 在右半 s 平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方 法无须求出闭环极点，得到广泛应用。由解析的方法和实验的方法得到的 开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析。 奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的。 假设开环传递函数 H(s)G(s) 可以表示成 s 的多项式之比。对于物理 上可实现的系统，闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子 多项式的阶数，这表明，当 s 趋于无穷大时，任何物理上可实现系统的 H(s)G(s) 的极限，或趋于零，或趋于常数。 5.5.1 预备知识 F(s) =1+ H(s)G(s) = 0 可以证明，对于 S 平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在