前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”“连接直线外 一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短 路径问题
问题1如图13.4-1,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然 后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短? B A 图13.4-2 图13.4-1 如果把河边近似地看成一条直线(图13.3-2),C为直线l上的一个动 点,那么,上面的问题可以转化为:当点C在l的什么位置时,AC与CB的 和最小
由这个问题,我们可以联想到下面的问题: 如图13.4-3,点A,B分别是直线l异侧的两个点,如何在L上找到一个 点,使得这个点到点A、点B的距离的和最短? A B 图13.4-3 利用已经学过的知识,可以很容易地解决上面的问题,即:连接AB,与 直线l相交于一点,根据“两点之间,线段最短”,可知这个交点即为所求
现在,要解决的问题是:点A,B分别是直线l同侧的两个点,如何在l 上找到一个点,使得这个点到点A、点B的距离的和最短? 如果我们能把点B移到l的另一侧B处,同时对直线l上的任一点C,都 保持CB与CB的长度相等,就可以把问题转化为“图13.4-3”的情况,从而 使新问题得到解决.你能利用轴对称的有关知识,找到符合条件的点B吗? 如图13.4-4,作出点B关于l的对称点B',利用轴对称的性质,可以得 到CB=CB.这样,问题就转化为:当点C在l的什么位置时,AC与CB们的 和最小? 图13.4-4 图13.4-5 如图13.4-5,在连接A,B两点的线中,线段AB最短.因此,线段 AB与直线l的交点C的位置即为所求 为了证明点C的位置即为所求,我们不妨在直线上另外任取一点C(图 13.4-5),连接AC,BC,BC",证明AC+CB<AC+CB.你能完成这个 证明吗?
1.如图,A、B两地在一条河的两岸,现要在 河上建一座桥MN,桥造在何处才能使从A到 B的路径最短?(假设河的两岸是平行的直线, 桥要与河垂直)
1. 如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在 河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到 B的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线， 桥要与河垂直） . A· B M N E