)草AWUN后退卜的数子群网 息带来的效益。 5.13符号判决 数程 符号判决 ej@,+响 符号空时同步，△符 载波恢复A@ ·我波解词 基带解 ,符号判决 ◆符号判决原理上属于特征空间中模式识别的范畴不同调制方式所采用的特征空 间和模式分类方法不同。 ◆符号判决的关键是如何定义两个矢量（例如了，与v)的差异大小或相似度，也就 是采用什么准则进行判决。 ◆当输入的符号特征矢量（即被检测量）的概率密度函数已知时，采用最大后验概 率(MAP)准则进行符号判决，其错误概率是最低的，因而称为最佳检测： ◆在发送符号等概率分布时MAP判决准则可以简化为最大似然(ML)准则。 ◆当符号判决时需要利用符号矢量的相位信息时，应该采用相干解调所得符号矢 量，否则采用非相干解调所得符号矢量；前者的误码特性显著优于后者。 ◆此外，对于有记忆调制，因前后符号相关联而不能各个符号独立判决，最佳检测 方法也不相同。 (I)最大后验概率(MAP)检测 先考虑基于单一成形波无记忆调制信号的相干解调MAP检测。 v=v+n=v(m+ m=0,1,2,M-1 (5-1-12) 7的条件PDF为： p()=-1 元exp-二x+(-m)21m=0.L2.-,M-1 (6-1-13a) No 或表示为 m=0,1,2,M-1 (5-1-136) N。 根据贝叶斯公式计算在了=V己知的条件下各种符号的后验概率： p(v=)P() m=0,12.,M-1 p=) (61-14) 西安电子科技大学
第 5 章 AWGN信道下的数字解调 西安电子科技大学 6 息带来的效益。 5.1.3 符号判决 r t( ) ˆ ( ) l s t { } ˆ i v Dt Dw Dj ( ) ˆ ˆ c c j t e - + w j u 符号判决原理上属于特征空间中模式识别的范畴；不同调制方式所采用的特征空 间和模式分类方法不同。 u 符号判决的关键是如何定义两个矢量(例如 ˆ i v 与 ( ) m v )的差异大小或相似度，也就 是采用什么准则进行判决。 u 当输入的符号特征矢量（即被检测量）的概率密度函数已知时，采用最大后验概 率（MAP）准则进行符号判决，其错误概率是最低的，因而称为最佳检测； u 在发送符号等概率分布时 MAP 判决准则可以简化为最大似然（ML）准则。 u 当符号判决时需要利用符号矢量的相位信息时，应该采用相干解调所得符号矢 量，否则采用非相干解调所得符号矢量；前者的误码特性显著优于后者。 u 此外，对于有记忆调制，因前后符号相关联而不能各个符号独立判决，最佳检测 方法也不相同。 (1) 最大后验概率(MAP)检测 先考虑基于单一成形波无记忆调制信号的相干解调 MAP 检测。 v% = v + η= ( ) m v + η m M = - 0,1,2,., 1 (5-1-12) v% 的条件 PDF 为： ( ) ( | ) m p v v % ( ) 2 ( ) 2 0 0 1 ( ) ( ) exp[ ] m m x x y y p N N - + - = - % % m M = - 0,1,2,., 1 (5-1-13a) 或表示为 ( ) ( | ) m p v v % ( ) 2 0 0 1 | | exp[ ] m p N N - = - v v % m M = - 0,1,2,., 1 (5-1-13b) 根据贝叶斯公式计算在 v% = vˆ 已知的条件下各种符号的后验概率： ( ) ( | )ˆ m p v v v % = ( ) ( ) ( | ). ( ) ( )ˆ m m p P p = = v v v v v % % m M = - 0,1,2,., 1 (5-1-14)
弟)草AWUN信坦下时数子群调 PM(v()=p(v(m).P(v(m)m=0.1.2.M-1 (5-1-15a) MAP判决可表示为 m=经M1PMI (6-1-15b) 其意思是：当PMw1)ln>PM(v1)livm时判为第m种符号. 【例】以BPSK调制信号为例，设发送信号符号v四=-v,=√E。,若先验概率 P(v)=p,P(v)=1-p,则接收信号的某个符号的特征矢量是=√E。+1或 =-√E,+n,其中n是方差为N。/2的高斯随机变量。因此条件PDF为： p|v)= 1 +E,P -exp (5-1-16a) √πN。 1 p(|v)= |-v√E exp (5-1-16b) N。 得到最佳MAP检测度量为： PM(v.v0)-p.p(vlv)=-P I+√E, (6-17a) N。 PM(F.v")=(I-p).p(vIv)=1-Pexp I-EP (5-1-17b) √πN。 N。 于是，对于接收符号矢量7=，MAP判决规则为： 当PM(,vo)>PM,v)时判为vo (5-1-18c) 当PM(,vo)≤PM(,v)时判为v四 (2)基于相干解调的最大似然(ML)检测 ·基于单一成形波无记忆调制信号的相干解调ML检测 如果令V=,并将它看作已知量，将vm)看作是变量，则(5-1-13)式所示的条件PDF (v)就变成似然函数了，再取对数并忽略常数因子，即得到对数似然函数： A(v)=-|9-vmP/N。 (5-1-19) 西安电子科技大学
第 5 章 AWGN信道下的数字解调 西安电子科技大学 7 ( ) ( | )ˆ m PM v v = ( ) ( ) (ˆ | ). ( ) m m p P v v v m M = - 0,1,2,., 1 (5-1-15a) MAP 判决可表示为 ( ) 0,1, 2,. 1 max ˆ [ ( | ˆ)] m m M Arg m PM = - = v v (5-1-15b) 其意思是：当 ( ) ( | )ˆ m PM v v ˆ |m m= > ( ) ˆ ( | )ˆ m PM v v ˆ ( ) |m¹ " m m 时 vˆ 判为第 mˆ 种符号。 【例】以 BPSK 调制信号为例，设发送信号符号 (1) (0) = - = Eb v v ，若先验概率 (0) P p ( ) v = ， (1) P p (v ) 1 = - ，则接收信号的某个符号的特征矢量是 = + Eb v% η 或 = - + Eb v% η，其中η是方差为 0 N / 2 的高斯随机变量。因此条件 PDF 为： (0) p(v v % | ) 2 0 0 1 | | exp Eb p N N È ˘ + = -Í ˙ Í ˙ Î ˚ v% (5-1-16a) (1) p(v v % | ) 2 0 0 1 | | exp Eb p N N È ˘ - = -Í ˙ Í ˙ Î ˚ v% (5-1-16b) 得到最佳 MAP 检测度量为： (0) PM (v v %, ) = (0) p p. (v v % | ) 2 0 0 | | exp p Eb p N N È ˘ + = -Í ˙ Í ˙ Î ˚ v% (5-1-17a) (1) PM (v v %, ) = (1) (1- p p ). (v v % | ) 2 0 0 1 | | exp p Eb p N N - È ˘ - = -Í ˙ Í ˙ Î ˚ v% (5-1-17b) 于是，对于接收符号矢量 v% = vˆ ，MAP 判决规则为： 当 (0) PM (v v ˆ, ) > (1) PM (v v ˆ, ) 时判为 (0) v 当 (0) PM (v v ˆ, ) £ (1) PM (v v ˆ, ) 时判为 (1) v (5-1-18c) (2) 基于相干解调的最大似然(ML)检测- l 基于单一成形波无记忆调制信号的相干解调 ML 检测 如果令 v% = vˆ ，并将它看作已知量，将 ( ) m v 看作是变量，则(5-1-13)式所示的条件 PDF ( ) ( | ) m p v v % 就变成似然函数了，再取对数并忽略常数因子，即得到对数似然函数： ( ) ( ) m LL v ( ) 2 0 | ˆ | / m = - - v v N (5-1-19)
)草AWUN坦卜的数子群网 ■M检测就是从M种符号的基准矢量{vm,m=0,1,2,M-1}中寻找一个 能使对数似然值Λ(v)最大的符号vm。 ■对数似然值A(m)最大的准则，等价于欧几里德距离D(,v)最小的准则， m=-D.) (5-1-20a) 其中欧氏距离定义为 D(v,v(m)=v-v(m (5-1-20b) ·M元正交波形调制信号的相干解调ML检测 了的条件PDF应为M维高斯随机矢量的PDE,即 P(VIV)= (N)pl-IV-VPIV-Vl 1 No (6-1-22a) 际m- 取自然对数就得到对数似然函数，忽略其中的常数因子，有 M(V)-V-VTIV-V]-x (5-1-22b) =0 ML检测就是从M种矢量中选择一种矢量V=[x,xxM-,使A(V)最大。注意到这里 元=R©(m】就是第m中符号波形与接收信号波形的互相关值的实部，而上式可展开为 -∑加氏。-x了=2∑xn-∑(+x) 其中后一项与xox4-的选择无关从M种符号矢量V=[xxx-选择一个使 前一项最大，等价于从{，无，}中挑选最大者：如果元最大，就判为第m种符号 (③)基于非相干解调的判决准则 前面介绍的M元正交波形调制的解调常常采用非相干解调，输出的判决量是互相关量 的幅度值，即采用如(5-110)式所描述的最大相关幅度准则进行符号判决。这种不利用相位 信息的判决方法，其误码特性比基于相干解调判决方法的要差3B： 西安电子科技大学
第 5 章 AWGN信道下的数字解调 西安电子科技大学 8 n ML 检测就是从M 种符号的基准矢量{ ( ) m v ，m M = - 0,1,2,., 1 }中寻找一个 能使对数似然值 ( ) ( ) m LL v 最大的符号 ( ) mˆ v 。 n 对数似然值 ( ) ( ) m LL v 最大的准则，等价于欧几里德距离 ( ) (ˆ, ) m D v v 最小的准则， 即 mˆ = ( ) 0,1, 2,., 1 min (ˆ, ) m m M Arg D = - v v (5-1-20a) 其中欧氏距离定义为 ( ) (ˆ, ) m D v v =| vˆ - ( ) m v | (5-1-20b) l M 元正交波形调制信号的相干解调 ML 检测 V% 的条件 PDF 应为M 维高斯随机矢量的 PDF,即 p(V V| ) % /2 0 0 1 [ ] [ ] exp[ ] ( ) H M p N N - - = - V% % V V V 1 2 /2 0 0 0 1 | | exp[ ] ( ) M m m M m x x p N N - = - = -Â % (5-1-22a) 取自然对数就得到对数似然函数，忽略其中的常数因子，有 ( ) LL V = ˆ ˆ [ ] [ ] T - V - - V V V 1 2 0 [ ] ˆ M m m m x x - = = - - Â (5-1-22b) ML 检测就是从 M 种矢量中选择一种矢量V = 0 1 1 [ . ]T M x x x - ，使 ( ) LL V 最大。注意到这里 ˆm x =Re[vˆ(m)] 就是第m 中符号波形与接收信号波形的互相关值的实部，而上式可展开为 1 2 0 [ ] ˆ M m m m x x - = - - Â = 1 1 2 2 0 0 2 ˆ ( ) ˆ M M m m m m m m x x x x - - = = Â Â- + 其中后一项与 0 1 1 [ . ]T M x x x - 的选择无关；从 M 种符号矢量 V = 0 1 1 [ . ]T M x x x - 选择一个使 前一项最大，等价于从{ 0 1 1 ˆ , ˆ ,., ˆM x x x - }中挑选最大者；如果 ˆm x 最大，就判为第mˆ 种符号。 (3) 基于非相干解调的判决准则 前面介绍的 M 元正交波形调制的解调常常采用非相干解调，输出的判决量是互相关量 的幅度值，即采用如(5-1-10)式所描述的最大相关幅度准则进行符号判决。这种不利用相位 信息的判决方法，其误码特性比基于相干解调判决方法的要差 3dB；
弟)草AWUN信坦下时数子群调 但是判决量不用相位信息有时可带来重要好处，例如解调时不需锁相环，这就能 解决快速跳频信号的解调判决无法进行锁相的困难。 5.1.4有记忆线性调制信号的解调和最佳检测 ◆与无记忆调制信号的解调检测相比，其不同之处主要是一股需要进行多个符号联 合判决，而不是逐个符号独立判决，因为符号序列前后存在关联性。 ()）M进制有记亿调制的最大似然序列检测 这里以编码调制为例介绍有记忆调制的ML序列检测。 1对于记亿长度为L的M进制调制信号，其记亿关联性表现为状态矢量的函数关 系0，=f(01,0-2,0-)所描述的状态转移规则。 于是根据状态转移约束图和状态转移函数关系，可以给出一个状态转移网格图。 图5-14是N=M=4的一种无状态转移约束的网格图，例如M进制差分编码调制可 用这种网格图表示。 V。 V V. V, 图5-14ML序列检测的状态转移网格图 L+1个符号的联合条件PDF为： p(,-n,lV-1=0%t,V-41=0,V,=0) (5-1-23) on =( 如果将己经接收到的矢量序列{V。,V,}看作已知量代入上式，而把 日{0)，k=i-L,i-1+l,i}看作未知变量，那么上述PDF就变成似然函数A(Θ) ；再取对数便得到对数似然函数，再忽略常数因子，去掉负号，就得到欧氏距离的平方， 即 西安电子科技大学
第 5 章 AWGN信道下的数字解调 西安电子科技大学 9 但是判决量不用相位信息有时可带来重要好处，例如解调时不需锁相环，这就能 解决快速跳频信号的解调判决无法进行锁相的困难。 5.1.4 有记忆线性调制信号的解调和最佳检测 u 与无记忆调制信号的解调检测相比，其不同之处主要是一般需要进行多个符号联 合判决，而不是逐个符号独立判决，因为符号序列前后存在关联性。 (1) M 进制有记忆调制的最大似然序列检测 这里以编码调制为例介绍有记忆调制的 ML 序列检测。 对于记忆长度为 L 的 M 进制调制信号，其记忆关联性表现为状态矢量的函数关 系θi = 1 2 ( , ,., ) i i i L f θ - θ - - θ 所描述的状态转移规则。 于是根据状态转移约束图和状态转移函数关系,可以给出一个状态转移网格图。 图 5-1-4 是 N = M =4 的一种无状态转移约束的网格图，例如 M 进制差分编码调制可 用这种网格图表示。 v ( 0 ) v ( 1 ) v ( 2 ) v ( 3 ) v0 v1 v2 v3 v4 图 5-1-4 ML 序列检测的状态转移网格图 L +1 个符号的联合条件 PDF 为： 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( , ,., , | , ,., ) i L i L i n n n i L i L i i i L i L i p - - + v% - v% - + v% % - v v - = θ v - + = = θ v θ = ( ) 2 1 2 2 1 | | ( ) exp[ ] 2 2 k i L n L k ps s k i - + = - -Â v% θ (5-1-23) 如果将已经接收到的矢量序列{ 0 vˆ , 1 vˆ ,., ˆ i v ,.}看作已知量代入上式，而把 Q { ( ) k n θ ，k = i - L,i - +l i 1,., }看作未知变量，那么上述 PDF 就变成似然函数L Q( ) 了；再取对数便得到对数似然函数，再忽略常数因子，去掉负号，就得到欧氏距离的平方， 即
草AwUN后坦下的数子群网 do)-2,-0f (5-1-24) 注意到可能的状态共有M种，每种用上式计算一个欧氏距离，比较这些距离的大小： ◆如果体现记忆性的编码规则是分组码的形式或块传输方式，各个L+1长的码组是 相互独立的，那么按照(5224)式计算歌氏距离，则可根据欧氏距离最小准则同时 对这L+1个符号进行判决： ◆这时类似于无记亿调制，因为符号组之间不存在记亿关联性，只是组内相互关联， 而将每组符号矢量看作一个高维的大符号矢量。 ◆上述有记忆调制的ML检测，都涉及M数量级次数的欧氏距离计算，当L较 大时，例如L≥3，其计算量就增大到实际上无法进行计算。 ◆解决L较大时全路径搜索计算复杂度太高的有效办法是采用Viterbi算法。该算 法在每个节点处计算前面的各种可能到达路略径的累积欧氏距离时，只保留累积距 离最小的一条，而逐步裁剪去掉累积距离较大的路径：在逐步向前推进中采用延 迟回湖的办法对前面的符号逐个进行判快，可使计算复杂度大幅度降低： ◆经验证明只要延迟回湖的长度大于3L~5L时，因路径裁剪引起误判的概率便小 到可以忽略不计。关于Viterbi算法后面还有介绍。 (2)最大后验概率(MAP)序列检测 对于由接收信号估计出的符号矢量序列(，°1，氵1，将它看作是随机矢量序列 {,V1,-L的一个现实，要判断，是属于哪种符号，即估计，=V,+n=vG)+n中 的c,必须从联合概率密度函数p(了，了，立)出发推导出后验概率公式： 根据贝叶斯公式得到的后验概率为： p(v)=v)v) (5-1-25) p,-,-t) 对于一个由接收信号经解调得到的符号矢量序列（°，1，-1对于进行符号 判决的MAP准则就是 v1-82yo1,===td (5-1-26) 5.2各种无记忆调制的误码特性 5.2.1计算相干解调器误码特性的一种通用算法 西安电子科技大学
第 5 章 AWGN信道下的数字解调 西安电子科技大学 10 d( ) Q = ( ) 2 | | k i L n k k i - = Â v% -θ (5-1-24) 注意到可能的状态共有 L 1 M + 种，每种用上式计算一个欧氏距离，比较这些距离的大小； u 如果体现记忆性的编码规则是分组码的形式或块传输方式，各个 L +1长的码组是 相互独立的，那么按照(5-2-24)式计算欧氏距离，则可根据欧氏距离最小准则同时 对这 L +1个符号进行判决； u 这时类似于无记忆调制，因为符号组之间不存在记忆关联性，只是组内相互关联， 而将每组符号矢量看作一个高维的大符号矢量。 u 上述有记忆调制的 ML 检测，都涉及 L 1 M + 数量级次数的欧氏距离计算，当 L 较 大时，例如 L ³ 3，其计算量就增大到实际上无法进行计算。 u 解决 L 较大时全路径搜索计算复杂度太高的有效办法是采用 Viterbi 算法。该算 法在每个节点处计算前面的各种可能到达路径的累积欧氏距离时，只保留累积距 离最小的一条，而逐步裁剪去掉累积距离较大的路径；在逐步向前推进中采用延 迟回溯的办法对前面的符号逐个进行判决，可使计算复杂度大幅度降低； u 经验证明只要延迟回溯的长度大于 3 L ~5 L 时，因路径裁剪引起误判的概率便小 到可以忽略不计。关于 Viterbi 算法后面还有介绍。 (2)最大后验概率(MAP)序列检测 对于由接收信号估计出的符号矢量序列{ ˆ i v , 1 ˆ i- v ,., ˆ i Lv }，将它看作是随机矢量序列 { i v% , i-1 v% ,., i Lv% }的一个现实，要判断 ˆ i v 是属于哪种符号，即估计 ˆ i v = i v + ηi = ( )i c v + ηi 中 的 i c ，必须从联合概率密度函数 1 ( , ,., ) i i i L p - - v% v v % % 出发推导出后验概率公式； 根据贝叶斯公式得到的后验概率为： ( ˆ ) ( ) ˆ ( ) ˆ 1 1 1 ( , ,., | ). ( ) ( | , ,., ) ( , ,., ) i i i c c c i i i L i i i i i i L i i i L p p p p - - - - - - = = = = v v v v v v v v v v v v v v v % % % % % % % % % (5-1-25) 对于一个由接收信号经解调得到的符号矢量序列{ ˆ i v , 1 ˆ i- v ,., ˆ i Lv }，对于 ˆ i v 进行符号 判决的 MAP 准则就是 ( ) ˆ i c v = ( ) arg max i c v ŒS ( ) 1 1 ( | ˆ , ˆ ,., ) ˆ i c i i i i i i L i L p = = - = = - - - v v v% v v% % v v v (5-1-26) 5.2 各种无记忆调制的误码特性 5.2.1 计算相干解调器误码特性的一种通用算法