第2章数字通信的数学基础 第2章数字通信的数学基础 2.1信号 2.1.1信号的基本特性 信号就是一个以时间作为自变量的函数，例如x(),或一个离散时间序列，例如{x(;， 其取值一般是实数或复数：如果是N维函数，可表示为矢量函数[x()x,).xw(), 它在任一时刻都是一个N维矢量。 ·确知信号与随机信号 如果x)或x(}在任一时刻的值都是确知量，那么这个信号就是确知信号：如果x)或 {x()}在任一时刻的值是随机变量或随机向量，那么这个信号就是随机信号：随机信号是 种随机过程，离散随机过程也称随机序列。 如果某个函数中的参数都是已知的，例如函数asin(o+p)中a、o和p都已知，那么它 所表示的信号就是确知信号。从一个随机过程中获取一个现实，例如记录得到的一段信号波 形，也是一个确知信号，尽管它因各态历经性而可能隐含了该随机过程的一些统计特性。 ·周期性信号和非周期性信号 如果对于任意整数k,信号x)或{x(n)}满足关系式x)=x1+kT)或x(m)=xn+kT),那 么它们是周期性信号，其周期分别为时间T或T个样点。如果信号没有周期性地重复的现象， 便属于非周期信号。 2.12几种常见的特殊信号 ()门函数或矩形函数 准挂形式-仁 离散形式R四-0 1n∈{0，l,N-l9 其它 (2)单位阶跃函数 连续形式：0={01<0 11>0 1ne{0,12.} 离散形式：=0”其它 (③)单位冲激函数(6函数) 西安电子科技大学
第 2 章 数字通信的数学基础 西安电子科技大学 1 第 2 章 数字通信的数学基础 2.1 信号 2.1.1 信号的基本特性 信号就是一个以时间作为自变量的函数，例如 x(t)，或一个离散时间序列，例如{x(n)}， 其取值一般是实数或复数；如果是 N 维函数，可表示为矢量函数 1 2 [ ( ) ( ) . ( )]t N xx x tt t ， 它在任一时刻都是一个 N 维矢量。 z 确知信号与随机信号 如果 x( )t 或{ ( )} x n 在任一时刻的值都是确知量，那么这个信号就是确知信号；如果 x( )t 或 { ( )} x n 在任一时刻的值是随机变量或随机向量，那么这个信号就是随机信号；随机信号是一 种随机过程，离散随机过程也称随机序列。 如果某个函数中的参数都是已知的，例如函数a t sin( ) ω +ϕ 中a 、ω 和ϕ 都已知，那么它 所表示的信号就是确知信号。从一个随机过程中获取一个现实，例如记录得到的一段信号波 形，也是一个确知信号，尽管它因各态历经性而可能隐含了该随机过程的一些统计特性。 z 周期性信号和非周期性信号 如果对于任意整数k ，信号 x( )t 或{ ( )} x n 满足关系式 x(t) = x(t + kT) 或 x(n)= x( ) n kT + ，那 么它们是周期性信号，其周期分别为时间T 或T 个样点。如果信号没有周期性地重复的现象， 便属于非周期信号。 2.1.2 几种常见的特殊信号 (1) 门函数或矩形函数 连续形式 2 2 1 || ( ) 0 || t g t t τ τ τ < = > ⎧ ⎨ ⎩ 离散形式 1 {0,1,., 1} ( ) 0 N n N R n ∈ − = ⎧ ⎨ ⎩ 其它 (2) 单位阶跃函数 连续形式： 1 0 ( ) 0 0 t u t t > = < ⎧ ⎨ ⎩ 离散形式： 1 {0,1, 2,.} ( ) 0 n u n ∈ = ⎧ ⎨ ⎩ 其它 (3) 单位冲激函数(δ 函数)
第2章数字通信的数学基础 「0t=0 Dirac函数：广dud=上du 01≠0 Kronecker函数：im=n=0 0其它 三者之间的关系为： 6w=g8.@.g u0=八65d (2-1-0 Dirac-6函数的主要特性有： a)x0)6t-t)=x(r)61-t） b)x(t）*6(t-r)=x(t-r) (2-1-2) c)60=-) Kronecker-i函数的主要特性有： a)3x(n)on-m)=xm） b)x(n)*6(n-m)=x(n-m) (2-1-3) c)6(n)=6(-nm) 2.2信号的空间表示 2.2.1信号的复数形式表示 本书所讨论的通信系统，主要是基于载波调制的通信系统，其通信信号和通信系统都是 带通型的，而带通信号或系统与它们的复包络，具有最简单的线性频移关系。将带通信号及 其线性系统的描述，等效为等效低通基带信号和等效低通线性系统来描述，基于复数的表示 形式不仅简明而直观，而且与基于数字信号处理的实现过程相对应，有助于应用和理解， 信号的复数形式表示是一种空间表示法，因为复数域本身就是一种二维正交空间。 (山复数 任一复数，可以采用以下两种常用形式表示： 直角坐标形式：c=a+b a和b分别为实部和虚部： 极坐标形式：c=pem p称为模，中称为相角： 其中j=√1；e=cos中+jsin。这两种表示方式等价，其相互转换公式及几何关系如下： p=c=va+ =arglc]=arctan(b/a) a=Relc]=pcos(o) b=Im[c]=psin() 实部 西电子科技大学
第 2 章 数字通信的数学基础 西电子科技大学 2 Dirac 函数： ( ) 1; ( ) 0 0 0 t dt t t t δ δ +∞ −∞ = ≠ ⎧∞ = ⎨ ⎩ ∫ Kronecker 函数： 1 0 ( ) 0 n δ n = = ⎧ ⎨ ⎩ 其它 三者之间的关系为： 0 ( ) ( ) ( ) lim g t du t t dt τ τ δ → τ = = () ( ) t ut d δ ξ ξ −∞ = ∫ (2-1-1) Dirac-δ 函数的主要特性有： ) () ( ) ( ) ( ) ) ( )* ( ) ( ) ) () ( ) a xt t x t b xt t xt ct t δ τ τδ τ δτ τ δ δ −= − −= − = − (2-1-2) Kronecker-δ 函数的主要特性有： ) ()( ) ( ) ) ( )* ( ) ( ) ) () ( ) a xn n m xm b xn n m xn m cn n δ δ δ δ − = −= − = − (2-1-3) 2.2 信号的空间表示 2.2.1 信号的复数形式表示 本书所讨论的通信系统，主要是基于载波调制的通信系统，其通信信号和通信系统都是 带通型的，而带通信号或系统与它们的复包络，具有最简单的线性频移关系。将带通信号及 其线性系统的描述，等效为等效低通基带信号和等效低通线性系统来描述，基于复数的表示 形式不仅简明而直观，而且与基于数字信号处理的实现过程相对应，有助于应用和理解。 信号的复数形式表示是一种空间表示法，因为复数域本身就是一种二维正交空间。 (1) 复数 任一复数 c，可以采用以下两种常用形式表示： 直角坐标形式：c = a + jb a 和b 分别为实部和虚部； 极坐标形式： j c e ϕ = ρ ρ称为模，φ 称为相角； 其中 j = −1 ； φ φ φ e cos jsin j = + 。这两种表示方式等价，其相互转换公式及几何关系如下： 2 2 arg[ ] arctan( / ) Re[ ] cos( ) Im[ ] sin( ) c ab c ba a c b c ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ == + = = = = = = 实部 虚部 a b ρ φ
第2章数字通信的数学基础 (2)实信号的复数形式表示 实信号s)的频谱Sf)具有共轭对称性，即Sf)=S'(-)；幅度谱关于纵坐标轴对称而 相位谱关于纵坐标轴反对称，即IS)曰S(-)儿，ArgS)=-ArgS(-f):实际频谱是正频 率一侧的，负频率频谱是实际频谱的镜像。 实信号)的复解析信号s()定义为 s(1)=s()+is() (2-2-1a) 其中s)为st)的Hilbert变换，即 0=0动上积 (2-2-1b) ()的频谱函数为 snansn-fd (2-2-2) 因此，s)的频谱S(f)与其复解析信号s)的频谱s(f)的关系式为 n-n (2-2-3) 可见实信号的复解析信号的频谱只有正频率部分，而没有负频率镜像频谱。 如果5)是能量有限信号，其复解析信号s)的能量等于s)能量的2倍，即 E=Is(t)fd=2 [s()di=2E, (2-2-40 从(2-2-2)式所示的Hilbert变换的频谱函数的特点可以看出，要想求一个离散信号 {s(n)}的Hilbert变换{3(m)},只要将{s(n)通过一个频率响应特性如(2-2-2)式所示的离散线性 系统就可以得到：该线性系统称为Hilbert变换器，它既可以是FR形式的，也可以是R 形式的，它是一种实现90度相移的全通型滤波器：它能使一个低通型信号中所有频率成分同 时移相90度，这是采用模拟电路无法直接实现的。 (③)实信号的复指数形式表示 根据正弦模型理论，任一实信号s()都可以表示为幅度、相位随时间而变的正弦函数： s)=A)sinl[2πft+p0+π/2]=Re{L4)e]e2ae} (2-2-5) 其中的复信号[A)eo]e2P就是s)的复指数表示形式，即 5()=A().ea(t)+jb()le (2-2-6) 其中a)+jb)=A)e)。显然有 s0=s)+s(01V2 (2-2-7 西安电子科技大学
第 2 章 数字通信的数学基础 西安电子科技大学 3 (2) 实信号的复数形式表示 实信号 s t( ) 的频谱 S f ( ) 具有共轭对称性，即 S f ( ) = * S f ( ) − ；幅度谱关于纵坐标轴对称而 相位谱关于纵坐标轴反对称，即| S f ( ) |=| S f ( ) − |，Arg[ S f ( ) ]= − Arg[ S f ( ) − ]；实际频谱是正频 率一侧的，负频率频谱是实际频谱的镜像。 实信号s t( )的复解析信号s( )t 定义为 () s t = () s t + j s t ( ) (2-2-1a) 其中s t ( ) 为s t( )的 Hilbert 变换，即 s t ( ) = s t( ) * 1 πt = 1 () s d t τ τ π τ ∞ −∞ − ∫ (2-2-1b) s t ( ) 的频谱函数为 S f ( ) = − j f sgn( ). S f ( ) = () 0 () 0 jS f f jS f f − > < ⎧ ⎨ ⎩ (2-2-2) 因此，s t( )的频谱 S f ( )与其复解析信号s( )t 的频谱S( ) f 的关系式为 S( ) f = 2() 0 0 0 Sf f f > < ⎧ ⎨ ⎩ (2-2-3) 可见实信号的复解析信号的频谱只有正频率部分，而没有负频率镜像频谱。 如果 s t( )是能量有限信号，其复解析信号s( )t 的能量等于 s t( )能量的 2 倍，即 Ex = 2 | ( )| t dt ∞ ∫−∞ s =2 2 [ ( )] s t dt ∞ ∫−∞ =2 Ex (2-2-4) 从(2-2-2)式所示的 Hilbert 变换的频谱函数的特点可以看出，要想求一个离散信号 {s n( ) }的 Hilbert 变换{s n ( )}，只要将{s n( ) 通过一个频率响应特性如(2-2-2)式所示的离散线性 系统就可以得到；该线性系统称为 Hilbert 变换器，它既可以是 FIR 形式的，也可以是 IIR 形式的，它是一种实现 90 度相移的全通型滤波器；它能使一个低通型信号中所有频率成分同 时移相 90 度，这是采用模拟电路无法直接实现的。 (3) 实信号的复指数形式表示 根据正弦模型理论，任一实信号s t( )都可以表示为幅度、相位随时间而变的正弦函数： s t( ) = ( )sin[2 ( ) / 2] At ft t π c + + ϕ π = Re{ ( ) 2 [ () ] c j t j ft Ate e ϕ π } (2-2-5) 其中的复信号 ( ) 2 [ () ] c j t j ft Ate e ϕ π 就是s t( )的复指数表示形式，即 s( )t = A t( ) . [2 ( )] c j ft t e π ϕ+ =[ a t jb t () () + ] 2 c j ft e π (2-2-6) 其中a t jb t () () + = ( ) ( ) j t Ate ϕ 。显然有 s t( ) =[s( )t + * s ( )t ]/2 (2-2-7)
第2章数字通信的数学基础 注意s)的复指数信号s()不一定等价于)的解析信号s):但是，如果f大于s)频 带宽度的12，那么其复指数信号s)便精确地等于其解析信号s)。否则，因零频附近的频 谱分量存在混叠现象而使二者之间存在误差；该误差信号ε)=s)-s)可由二者频谱函数之 差的反傅里叶变换得到。 带通实信号s)的解析信号s)=4)e1e2P,那么定义 s)=4Au)ep=a)）+jb0 (2-2-8) 那么s,()就是s()的等效低通信号（复包络）。带通信号s)可看作是s,()经正交载波调制后得 到的结果，即s)=Rs,)2P:解析信号s)就是s,)颜移人所得结果，即 s(0=s,()e (2-2-9a) 相应的频谱函数S(f)和S,()的关系是 s(f)=s (f-f.) (2-2-9b) (④)带通实信号的频谱 设带通实信号)的等效低通信号s,()的频谱为S,(),那么根据正交调制模型可推出 s)的频谱函数S(f)为： S(f)=s(t)e-di=Rels,(D)esuledr eed (2-2-10) =S,(f-f)+s(-f-f/2 带通实信号x)的能量 E=s'(t)dt=(Rels,(t)e-pu]y'dt Is,()dr+s,(r)P cos[4ft+2()ld (2-2-11) ls,(o)f dr 2.2.2带通线性系统的复数形式描述 设带通线性系统的单位冲激响应为h(),其频率响应为H(f)；设h()的复包络为h,), 相应的频率响应为H,()；则有关系式： h(t)=h,(t)es (2-2-12a) H(f)=H,(f-f) (2-2-12b) 西电子科技大学
第 2 章 数字通信的数学基础 西电子科技大学 4 注意 s t( )的复指数信号 s( )t 不一定等价于 s t( )的解析信号s( )t ；但是，如果 cf 大于 s t( )频 带宽度的 1/2，那么其复指数信号s( )t 便精确地等于其解析信号s( )t 。否则，因零频附近的频 谱分量存在混叠现象而使二者之间存在误差；该误差信号e( )t = s( )t -s( )t 可由二者频谱函数之 差的反傅里叶变换得到。 带通实信号s t( )的解析信号s( )t =[ ( ) ( ) j t Ate ϕ ] 2 c j ft e π ，那么定义 ( ) l s = t ( ) ( ) j t Ate ϕ = a t jb t () () + (2-2-8) 那么 ( ) l s t 就是s t( )的等效低通信号(复包络)。带通信号s t( )可看作是 ( ) l s t 经正交载波调制后得 到的结果，即 s t( ) =Re[ ( ) l s t 2 c j ft e π ]；解析信号s( )t 就是 ( ) l s t 频移 cf 所得结果，即 s( )t = () l s t 2 c j ft e π (2-2-9a) 相应的频谱函数S( ) f 和 ( ) l S f 的关系是 S( ) f = ( ) l c S f − f (2-2-9b) (4) 带通实信号的频谱 设带通实信号 s t( ) 的等效低通信号 ( ) l s t 的频谱为 ( ) l S f ，那么根据正交调制模型可推出 s t( )的频谱函数S f ( )为： S f ( ) 2 2 2 ( ) Re[ ( ) ] c j ft j ft j ft l s t e dt s t e e dt π π π ∞ ∞ − − −∞ −∞ = = ∫ ∫ = 1 2 2 * 2 [ () () ] 2 c c j ft j ft j ft l l s t e s t e e dt π π π ∞ − − −∞ + ∫ = * [ ( ) ( )] / 2 l cl c S S ff ff − + −− (2-2-10) 带通实信号s t( )的能量 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 ( ) {Re[ ( ) ]} | ( ) | | ( ) | cos[4 2 ( )] | ( )| c j ft l l lc l E s t dt t e dt t dt t f t t dt t dt π π φ +∞ ∞ − −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ = = =+ + ≈ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ s s s s (2-2-11) 2.2.2 带通线性系统的复数形式描述 设带通线性系统的单位冲激响应为h( )t ，其频率响应为H( ) f ；设h( )t 的复包络为 ( ) l h t ， 相应的频率响应为 ( ) l H f ；则有关系式： h( )t = ( ) l h t 2 c j ft e π (2-2-12a) H( ) f = ( ) l c H f − f (2-2-12b)
第2章数字通信的数学基础 设带通实信号及其频谱分别为s)和S(),相应的解析信号及其频谱分别为s)和 S(f)。那么，s)通过这个带通线性系统h)所产生的输出r)为： r(t)=[s(r)h(t-r)dr (2-2-13a) 相应的频谱关系为 R()=-S(f)H) (2-2-13b) 设)的复包络为r),相应的付立叶变换为R,(),则很容易证明： r,(t)=s,(r)h,(t-t)dr (2-2-14a) R,(f)=S,(f)H,(f) (2-2-14b) 这就是说，对带通信号进行线性处理通常都可以等价地平移到基带来做。 2.2.3矢量及其内积空间 ()矢量 多维信号任一时刻的抽样都是一个矢量。一个标记为[y男.]或[.J了 的N维矢量，可看作是N维空间中以座标原点为起点、以空间座标值(y?.V)为终点 的有向线段，因此一个N维矢量常常看成是N维空间中一个点。 (2)矢量的内积 两个N维复数矢量y,=:a.w]和v,=a.w]的内积定义为： <>e (2-2-15) 并具有以下基本性质： <V1V2>=<V2,Y1> C<V,v2>=<m,v2>=<vCV2> (2-2-160 <1+2,V>=<y,v>+<2,V> 两个矢量的内积的几何意义是：一个矢量在另一个矢量上投影的长度与第二个矢量长度 的乘积，因为不难证明<Y,2>可表示为： <VIV2>=vV)(V:.V).cos0 (2-2-17 其中矢量自身内积的平方根为矢量长度，妫两矢量之间的空间夹角。如果两个矢量ⅴ，和v,的 内积为零，即两矢量之间夹角为90度，那么称这两个矢量正交，即y,上V2。 由此可见，两个矢量的内积表征了二者的相关程度，其夹角余弦值就是其相关系数， Pxy =cos0=<vV2>>.<v.V:> (2-2-18) 西安电子科技大学
第 2 章 数字通信的数学基础 西安电子科技大学 5 设带通实信号及其频谱分别为 s t( ) 和 S f ( ) ，相应的解析信号及其频谱分别为 s( )t 和 S( ) f 。那么，s( )t 通过这个带通线性系统h( )t 所产生的输出r( )t 为： () ( ) ( ) t td τ τ τ ∞ −∞ = − ∫ r sh (2-2-13a) 相应的频谱关系为 R SH () ()() f = f f (2-2-13b) 设r( )t 的复包络为 ( ) l r t ，相应的付立叶变换为 ( ) l R f ，则很容易证明： ( ) l r = t () ( ) l l τ t d τ τ ∞ −∞ − ∫ s h (2-2-14a) ( ) l R f () () l l = S Hf f (2-2-14b) 这就是说，对带通信号进行线性处理通常都可以等价地平移到基带来做。 2.2.3 矢量及其内积空间 (1) 矢量 多维信号任一时刻的抽样都是一个矢量。一个标记为[ ] 1 2 . N vv v 或[ ] 1 2 . N T vv v 的 N 维矢量，可看作是 N 维空间中以座标原点为起点、以空间座标值(vv v 1 2 . N ) 为终点 的有向线段，因此一个 N 维矢量常常看成是 N 维空间中一个点。 (2)矢量的内积 两个 N 维复数矢量 1 v =[ ] 11 12 1 . N vv v 和 2 v =[ ] 21 22 2 . N vv v 的内积定义为： 1 2 < > v v, * 1 2 1 N n n n v v = ∑ (2-2-15) 并具有以下基本性质： 1 2 < > v ,v = * 2 1 < v ,v > c 1 2 < > v ,v = 1 2 < cv ,v > = * 1 2 < > v, v c 1 2 < > v v + , v = 1 < > v , v + 2 < > v , v (2-2-16) 两个矢量的内积的几何意义是：一个矢量在另一个矢量上投影的长度与第二个矢量长度 的乘积，因为不难证明 1 2 < v v, > 可表示为： 1 2 < > v v, = 11 2 2 〈 〈 vv vv , . , cos 〉 〉. θ (2-2-17) 其中矢量自身内积的平方根为矢量长度，θ为两矢量之间的空间夹角。如果两个矢量 1 v 和 2 v 的 内积为零，即两矢量之间夹角为 90 度，那么称这两个矢量正交，即 1 v ⊥ 2 v 。 由此可见，两个矢量的内积表征了二者的相关程度，其夹角余弦值就是其相关系数： ρ XY =cosθ = 1 2 < v v, > 11 2 2 < vv vv ,., >< > (2-2-18)