西安电子科技大学：《数字通信理论与系统》课程教学课件（研究生）第6章 载波跟踪与符号同步

第6章找波跟踪与符号同步 第6章载波跟踪与符号同步 对于有载波调制的带通性数字调制信号的接收，一般采用正交解调器进行载波解调，提 取零中频信号。由于发送和接收设备的频率源不同，而且可能因相对运动而引入多普勒频移， 所得到的零中频信号中难免存在频率偏差和相位偏差，没有实现完全的载波解调。要实现完 全的截波解调，必须使正交解调器中的本地振荡跟踪接收信号中隐含的载波频率和瞬时相位： 这就是载波跟踪，或称载波同步。 相干解调器要求有很好的载波跟踪，以便使所得到的零中频信号是发送信号复包络的正确 估计，即无频偏和相偏的估计，用于进行与相位信息有关的符号判决。 基于非相干解调的符号判决，不需利用相位信息，而只需利用幅度信息，因此不仅允许存 在相偏，而且允许存在一定范围的频偏。 在基带解调中，由于发送机到接收机传播延迟一般是未知的，则需要从接收信号准确地 检测到每个符号波形的中点或起始时刻，这就是符号定时同步。 6.1载波同步误差与符号同步误差的估计 6.11载波同步误差与符号同步误差的影响 接收端载波解调时如果残留有相位偏差较大时，系统的误码特性出现平层效应；此时无 论信噪比增大多少，都不能使误码率显著降低。下面以BPSK信号为例分析其影响。 假定载波残留相偏为服从零均值高斯分布的随机变量，用·表示。当·≠0时，则相关器 输入信号为()c0s中，相关器输出将会有一衰减因子c0s中。依据第五章公式(5-2-3b),此时 d=2√E,c0s,因此对于特定中，误码率公式为： w时 (6-1-la) 对不同的·，平均误码率为： =gwaqo 其中o。为相位中的方差。 对于不同的σ6，其误码特性如图6-1-1(a)所示；当o大于0.5时开始出现误码平层效应。 西安电子科技大学 -1

第 6 章 载波跟踪与符号同步 西安电子科技大学 ‐ 1 ‐ 第 6 章 载波跟踪与符号同步 对于有载波调制的带通性数字调制信号的接收，一般采用正交解调器进行载波解调，提 取零中频信号。由于发送和接收设备的频率源不同，而且可能因相对运动而引入多普勒频移， 所得到的零中频信号中难免存在频率偏差和相位偏差，没有实现完全的载波解调。要实现完 全的载波解调，必须使正交解调器中的本地振荡跟踪接收信号中隐含的载波频率和瞬时相位； 这就是载波跟踪，或称载波同步。 相干解调器要求有很好的载波跟踪，以便使所得到的零中频信号是发送信号复包络的正确 估计，即无频偏和相偏的估计，用于进行与相位信息有关的符号判决。 基于非相干解调的符号判决，不需利用相位信息，而只需利用幅度信息，因此不仅允许存 在相偏，而且允许存在一定范围的频偏。 在基带解调中，由于发送机到接收机传播延迟一般是未知的，则需要从接收信号准确地 检测到每个符号波形的中点或起始时刻，这就是符号定时同步。 6.1 载波同步误差与符号同步误差的估计 6.1.1 载波同步误差与符号同步误差的影响 接收端载波解调时如果残留有相位偏差较大时，系统的误码特性出现平层效应；此时无 论信噪比增大多少，都不能使误码率显著降低。下面以 BPSK 信号为例分析其影响。 假定载波残留相偏为服从零均值高斯分布的随机变量，用φ 表示。当φ ≠ 0 时，则相关器 输入信号为 ˆ ( )cos l s t φ ，相关器输出将会有一衰减因子cosφ 。依据第五章公式（5-2-3b），此时 0,1 2 cos b d E = φ ，因此对于特定φ ，误码率公式为： ( ) 0 2 cos b b E P Q N φ φ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (6-1-1a) 对不同的φ ，平均误码率为： ( ) ( ) P Pp d b b φ φ φ ∞ −∞ = ∫ = 2 0 0 2 2 cos exp 2 2 Eb Q d φ N φ φ φ φ πσ σ ∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ (6-1-1b) 其中σφ为相位φ 的方差。 对于不同的σφ，其误码特性如图 6-1-1(a)所示；当σφ大于 0.5 时开始出现误码平层效应

数字通信理论与系统 and 0. 10 1169 E/N.(dB) E/N(dB) (间)频编的影响 (间)符号定时同步误差的影响 图611载波同步和符号同步误差引起的误码特性平层效应 符号定时误差对于连续两个反相的符号有影响，对于连续相同的两个符号没有影响。假定 定时误差为△，则对于连续两个反相的符号，相关器输出幅度将有1-(2△T)的衰减。假定 归一化定时误差：=△/T为零均值高斯分布，符号间相互独立，同时连续两符号反相与同相的 概率相等，则由定时误差△引起的误码特性为： Rac-n )小-wa 其中第一项为连续两符号反相定时误差导致的误码，第二项为连续两符号同相定时误差导致的误码，G,为 定时误差π的方差。 可以看出，定时误差也将导致误码特性出现误码平层效应，如图6-11(b)所示。 载波同步的关键是对频率偏差与相位偏差进行准确估计，而符号定时同步的关健是如何 准确估计符号定时偏差。 6.1.2两种参数估计方法 设接收机接收到发送的数字调制信号，其复数表达式为： r(t)=s(t-t)+n(t)=s (t-r)expLj@.(t-r)+j]+n(t) (6-1-3a) 其中()为带通性复高斯噪声：0。=2π∫表示载波角频率：T为接收端所估计的时间坐标原点的偏差： s,()是发送信号的等效低通信号，即采用成形波g()调制符号矢量序列{y, i=,-2,-1,0,1,2}所得基带复信号，即 50-2g-m (6-1-3b) 西安电子科技大学

数字通信理论与系统 西安电子科技大学 ‐ 2 ‐ (a) 频偏的影响 (b) 符号定时同步误差的影响 图 6-1-1 载波同步和符号同步误差引起的误码特性平层效应 符号定时误差对于连续两个反相的符号有影响，对于连续相同的两个符号没有影响。假定 定时误差为Δ，则对于连续两个反相的符号，相关器输出幅度将有 1-（2|Δ|/T）的衰减。假定 归一化定时误差τ = Δ / T 为零均值高斯分布，符号间相互独立，同时连续两符号反相与同相的 概率相等，则由定时误差Δ引起的误码特性为： 0.5 2 0.5 0 0 1 1 2 2 (1 2 | |) exp( / 2 ) 2 2 2 b b b E E P Q dQ N N τ τ τ τσ τ πσ − ⎛ ⎞ ⎛⎞ = − −+ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ∫ (6-1-2) 其中第一项为连续两符号反相定时误差导致的误码，第二项为连续两符号同相定时误差导致的误码，στ 为 定时误差τ 的方差。 可以看出，定时误差也将导致误码特性出现误码平层效应，如图 6-1-1(b)所示。 载波同步的关键是对频率偏差与相位偏差进行准确估计，而符号定时同步的关键是如何 准确估计符号定时偏差。 6.1.2 两种参数估计方法 设接收机接收到发送的数字调制信号，其复数表达式为： r( )t ( ) ( ) ( )exp[ ( ) ] ( ) l cc = −+ = − −+ + s t t t jt j t τ η s τ ωτφ η (6-1-3a) 其中 η( )t 为带通性复高斯噪声； 2 c c ω = π f 表示载波角频率；τ 为接收端所估计的时间坐标原点的偏差； ( ) l s t 是发送信号的等效低通信号， 即采用成形波 g t( ) 调制符号矢量序列 { i v ， i = −− ., 2, 1,0,1,2,. }所得基带复信号，即 ( ) l s t = .( ) i i g t iT ∞ =−∞ ∑ v − (6-1-3b)

第6章我波跟踪与符号同步 用参数组平={@，中，t表示为希望估计的参数、·、t,则问题变成当已知r)时求参数组 平。最佳参数估计的两大准则是：最大后验概率(MAP)准则和最大似然(ML)准则。 ()最大后验概率准则(MAP) MAP参数估计方法，是将参数平看成一个随机矢量，并对它进行建模为一个先验概率密 度函数p平)，然后用贝叶斯公式给出后验概率公式： p平I,=ier=P=c1wp型 p(=elrM) (6-1-4) 使后验概率p(平I了，=，mr+)取得最大值的平，就是参数平的MAP估值。 (2)最大似然准则(ML) 在MAP准则中，当p()为等概率分布时，(6-l-4)式中p(平)和p(,=,emr+)的分布不 影响后验概率函数p(平I,=,er+)分布的形状：此时求找能使p(平i,=,er)取得最大 值的平，只需利用先验条件PDFp(了，=，rI平)寻找使它取得最大值时的平；这可以将 p位，=，emr+1平)中的立，=，er看作己知量，而把平看作变量，这个先验条件PDF就变成 了一个以平为变量的函数了，这就是似然函数A(Y)=p(位，=，r+仰1Ψ)：ML检测就是求找 能使A(Ψ)取得最大值的平。由此可见ML估计是MAP估计在待估计参数为均匀分布时的 种简化做法，但它仍然是最佳估计。 由此可见，ML检测的关键是根据参数估计的具体任务，给出先验条件PDF p(位，=，er+1平)，然后导出似然函数A(平。 对于含有带通性高斯噪声)的接收解析复信号)，先用一个正交解调器进行载波解 调，得到等效低通信号的估计： s,)=r().exp(-jo,1-j顶】*h) (6-1-5) 其中xp[j(©I+】是本地参考振荡信号，而h)为一个低通滤波器，其通带宽度B稍大于s,()的带宽 然后采用一种与基带调制方式相对应的方法，对$，()进行基带解调，得到各符号矢量的 估计{，i=.,-2,-1,0,1,2.}。 以基于满足奈奎斯特第一准则成形波g()的基带调制方式为例，基带解调是在每个符号间 隔的中点对$，()抽样而实现的：由于符号中点位置的估计存在偏差x时，所得到的符号矢量为 ,=s,t-x)儿 (6-l-6a) =s,-t)e气+n】e-*h)}l 西安电子科技大学 .3

第 6 章 载波跟踪与符号同步 西安电子科技大学 ‐ 3 ‐ 用参数组Ψ = {,} ω φ τ 表示为希望估计的参数ω、 、 ，则问题变成当已知 φ τ r( )t 时求参数组 Ψ。最佳参数估计的两大准则是：最大后验概率（MAP）准则和最大似然（ML）准则。 (1) 最大后验概率准则(MAP) MAP 参数估计方法，是将参数Ψ看成一个随机矢量，并对它进行建模为一个先验概率密 度函数 p( ) Ψ ，然后用贝叶斯公式给出后验概率公式： (| ) ˆ j j i i p e ωτ + φ Ψ v v  = ( | ). ( ) ˆ ( ) ˆ j j i i j j i i pe p p e ωτ φ ωτ φ + + = = = v v Ψ Ψ v v   (6-1-4) 使后验概率 (| ) ˆ j j i i p e ωτ φ + Ψ v v  = 取得最大值的Ψ，就是参数Ψ的 MAP 估值。 (2)最大似然准则(ML） 在 MAP 准则中，当 p( ) Ψ 为等概率分布时，(6-1-4）式中 p( ) Ψ 和 ( ) ˆ j j i i p e ωτ φ + v v  = 的分布不 影响后验概率函数 (| ) ˆ j j i i p e ωτ φ + Ψ v v  = 分布的形状；此时求找能使 (| ) ˆ j j i i p e ωτ φ + Ψ v v  = 取得最大 值的Ψ，只需利用先验条件 PDF ( |) ˆ j j i i p e ωτ φ + v v  = Ψ 寻找使它取得最大值时的Ψ ；这可以将 ( |) ˆ j j i i p e ωτ φ + v v  = Ψ 中的 ˆ j j i ie ωτ φ + v v  = 看作已知量，而把Ψ看作变量，这个先验条件 PDF 就变成 了一个以Ψ为变量的函数了，这就是似然函数Λ( ) Ψ = ( |) ˆ j j i i p e ωτ ϕ + v v  = Ψ ；ML 检测就是求找 能使Λ( ) Ψ 取得最大值的Ψ。由此可见 ML 估计是 MAP 估计在待估计参数为均匀分布时的一 种简化做法，但它仍然是最佳估计。 由此可见， ML 检测的关键是根据参数估计的 具体任务，给出先验条件 PDF ( |) ˆ j j i i p e ωτ φ + v v  = Ψ ，然后导出似然函数Λ( ) Ψ 。 对于含有带通性高斯噪声 η( )t 的接收解析复信号r( )t ，先用一个正交解调器进行载波解 调，得到等效低通信号的估计： ˆ ( ) l s t ˆ [ ( ).exp( )]* ( ) ˆc c = −− r t j t j ht ω φ (6-1-5) 其中exp[ ( )] ˆ ˆ c c j t ω +ϕ 是本地参考振荡信号，而 h t( ) 为一个低通滤波器，其通带宽度 B 稍大于 ( ) l s t 的带宽。 然后采用一种与基带调制方式相对应的方法，对 ˆ ( ) l s t 进行基带解调，得到各符号矢量的 估计{ ˆi v ,i = −− ., 2, 1,0,1,2,.} 。 以基于满足奈奎斯特第一准则成形波 g t( )的基带调制方式为例，基带解调是在每个符号间 隔的中点对ˆ ( ) l s t 抽样而实现的；由于符号中点位置的估计存在偏差τ 时，所得到的符号矢量为 ˆi v = ˆ ( )| l t iT t τ − = s ={ ˆ ( ) ˆ [ ( ) ( )]. c c cc j t j jtj l t e te ω τφ ωφ τ −+ − − s − +η * ( )} h t | t iT = (6-1-6a)

数字通信理论与系统 ≈y,.emr-t+o) i=,-2,-1,0,1,2, 其中)=可。一@。和中=立一女分别为本地振荡相对于接收信号隐含载波的频偏和相偏。 显然，由于解调中载波频偏、相偏和时延估计偏差的存在，发送信号的等效低通信号s,() 与它在接收端的估计$，)也具有相似的关系，即 ,()=s,()eor-冲+n（0 (6-1-6b) 载波解调后，原带通性高斯噪声()在$，()中变为带宽度B的低通性高斯噪声。()，再 以符号间隔T抽样后，就变成了带宽为符号速率1/T的低通性高斯白噪声序列{，()}了： 如果基带调制采用平方根升余弦谱特性的成形波g,),而基带解调时采用g()进行匹 配滤波（实为同步相关），那么在符号中点抽样所得符号矢量序列{氵，}中的噪声{。()}是非常接 近于复高斯白噪声序列的，因为欠采样而形成的混叠频谱的幅谱很平坦。 将，看作是随机矢量v,的一个抽样，用v,取代(61-6a)式中，得： ,=veer-°+0）i=,-2,-l0,12 (6-1-7 显然立，是一个均值矢量为v,-，实部和虚部的方差都等于σ的复高斯随机变量，即二维 高斯随机变量。如果将平={O,看作已知参数，则二维高斯随机矢量立，的PDF为 nIy-=高m-9-g写12-l0261 1 22 如果将接收符号的特征矢量，看作已知量取代上式中的随机变量了，而把参数 平={o,中，t看作未知量，这个PDF就变成似然函数： )-动m8w 202 i=,-2,-1,01,2.(6-1-9a 对数似然函数△，（平），忽略其中的常数因子，有： Az(平)=-，-y,e-P (6-1-9b) =-1,P-Iv,P +Relv,v;e-/mr-]i=.-2.-1.0.1.2. 其中v是y,的共轭复数。 上式中前两项的值与平无关，可以略去，简化的ML判决度量： PM()=Re[v,v;exp(-j@r-j)]=Reli v;exp(j)](6-1-10a) 其中中，兰π+中是参数组平={@，中，t}的等价表示形式，其含义是：当第1个符号存在载波初始相位偏差 中、载波频率存在偏差0，定时同步存在偏差π时，则此时载波跟踪的瞬时相位存在的偏差为，。 西安电子科技大学 4

数字通信理论与系统 西安电子科技大学 ‐ 4 ‐ ≈ . j j i e− − ωτ φ v + 0 η ( )i i = ., 2, 1,0,1,2,. − − 其中 ˆ ω = − ω ω c c 和 ˆ φ = − φ φ c c 分别为本地振荡相对于接收信号隐含载波的频偏和相偏。 显然，由于解调中载波频偏、相偏和时延估计偏差的存在，发送信号的等效低通信号 ( ) l s t 与它在接收端的估计ˆ ( ) l s t 也具有相似的关系，即 ˆ ( ) l s t = ( ) l s t j j e− − ωτ φ + 0 η ( )t (6-1-6b) 载波解调后，原带通性高斯噪声η( )t 在ˆ ( ) l s t 中变为带宽度 B 的低通性高斯噪声 0 η ( )t ，再 以符号间隔T 抽样后，就变成了带宽为符号速率 1/T 的低通性高斯白噪声序列{ 0 η ( )i }了； 如果基带调制采用平方根升余弦谱特性的成形波 ( ) sqr g t ，而基带解调时采用 ( ) sqr g t 进行匹 配滤波(实为同步相关)，那么在符号中点抽样所得符号矢量序列{ ˆi v }中的噪声{ 0 η ( )i }是非常接 近于复高斯白噪声序列的，因为欠采样而形成的混叠频谱的幅谱很平坦。 将 ˆi v 看作是随机矢量 i v 的一个抽样，用 i v 取代(6-1-6a)式中 ˆi v ，得： i v = . j j i e− − ωτ φ v + 0 η ( )i i = ., 2, 1,0,1,2,. − − (6-1-7) 显然 i v 是一个均值矢量为 . j j i e− − ωτ φ v ，实部和虚部的方差都等于 2 σ 的复高斯随机变量，即二维 高斯随机变量。如果将Ψ = {,} ω φ τ 看作已知参数，则二维高斯随机矢量 i v 的 PDF 为 (|) i p v Ψ 2 1 2πσ = 2 2 |. | exp[ ] 2 j j i i e ωτ φ σ − − − − v v  i = ., 2, 1,0,1,2,. − − (6-1-8) 如果将接收符号的特征矢量 ˆi v 看作已知量取代上式中的随机变量 i v ，而把参数 Ψ = {,} ω φ τ 看作未知量，这个 PDF 就变成似然函数： Λ( ) Ψ = 2 1 2πσ = 2 2 |. | ˆ exp[ ] 2 j j i i e ωτ φ σ − − − − v v i = ., 2, 1,0,1,2,. − − (6-1-9a) 对数似然函数 ( ) ΛL Ψ ，忽略其中的常数因子，有： ( ) ΛL Ψ = 2 |. | ˆ j j i i e− − ωτ φ − − v v = 22 * | | | | Re[ ] ˆ ˆ j j i i ii e− − ωτ φ −−+ v v vv i = ., 2, 1,0,1,2,. − − (6-1-9b) 其中 * i v 是 i v 的共轭复数。 上式中前两项的值与Ψ无关，可以略去，简化的 ML 判决度量： PM ( ) φτ = * Re[ exp( )] ˆi i v v − − jωτ φj = * Re[ exp( )] ˆi i j − φτ v v (6-1-10a) 其中φτ  ωτ φ+ 是参数组 Ψ = {,} ω φ τ 的等价表示形式，其含义是：当第i 个符号存在载波初始相位偏差 φ 、载波频率存在偏差ω ，定时同步存在偏差τ 时，则此时载波跟踪的瞬时相位存在的偏差为φτ

第6章我波跟踪与符号同步 根据(6-1-10a)式的ML估计就是 或=of+d.a8m 元，a]Re[,v;exp((-jor-jp】 T2<<T12 (6-1-10b) 此式可等价地简化为 =sin-[Im(v )/ll (6-1-10e) 6.1.3最佳估计的性能特点 估计值(x)的偏差定义为： 偏差=E(x】- (6-1-11) 当此偏差为零，即估值的均值等于真值时，这种估计称为无偏估计。 估计值(x)的方差定义为： i=E((x-E(x) (6-1-12) ML估计方差的下界为： 。i2vnN=- (6-1-13) 方差达到下界的无偏估计称为有效估计。参数估计理论的重要结论是：ML估计是渐近无 偏的有效估计，而且是渐近高斯分布的。 上面介绍的载波相位和符号定时的联合估计，其方差与信噪比成反比，即： i=l/y (6-114) 6.1.3载波频率与相位的估计 (6-110)试给出了参数真兰0r+剪的ML估计，所得，是参数组平={o,单，t}中三个参数实 际上是可以分别进行估计的，这就使复杂度大幅度降低。 ()相偏估计 ①利用符号判决的相偏估计 根据(6-1-7)式所给出的相偏ML估计公式可知，如果第i个符号矢量的估值氵，已通过相干 解调器求得，并且己判决它是属于第m种符号，即它所对应的符号基准矢量为v网)，那么将 乘以(wヅ就可以从，的相位中消去v)的相位，所得，(wy的相位就应该是本地振荡跟 踪接收信号中隐含载波所残留的瞬时相位偏差：因此相偏的ML估计应为： 西安电子科技大学 .5

第 6 章 载波跟踪与符号同步 西安电子科技大学 ‐ 5 ‐ 根据(6-1-10a)式的 ML 估计就是 ˆ ˆ ˆ ˆ φτ = + ωτ φ = , [ ,] /2 /2 arg max T T φω ππ τ ∈ − − << * Re[ exp( )] ˆi i v v − − jωτ φj (6-1-10b) 此式可等价地简化为 ˆ φτ = 1 ** sin [Im( ) / | |] ˆ ˆ ii ii vv vv − (6-1-10c) 6.1.3 最佳估计的性能特点 估计值 ( ) ˆφ x 的偏差定义为： 偏差＝ φ( )] −φ ˆ E[ x (6-1-11) 当此偏差为零，即估值的均值等于真值时，这种估计称为无偏估计。 估计值 ( ) ˆφ x 的方差定义为： 2 2 2 ( ) ˆ ( )]} ˆ ( )] } { [ ˆ E{[ x E x x σ φ φ φ = − (6-1-12) ML 估计方差的下界为： 1/ {[ ln ( )] } 1/ [ ln ( )] 2 2 2 2 ( ) ˆ φ φ φ φ σ φ Λ ∂ ∂ Λ = − ∂ ∂ ≥ E E x (6-1-13) 方差达到下界的无偏估计称为有效估计。参数估计理论的重要结论是：ML 估计是渐近无 偏的有效估计，而且是渐近高斯分布的。 上面介绍的载波相位和符号定时的联合估计，其方差与信噪比成反比，即： L ML σ γ φ 1/ 2 ˆ = (6-1-14) 6.1.3 载波频率与相位的估计 (6-1-10)式给出了参数φτ  ωτ φ+ i 的 ML 估计，所得 ˆ φτ 是参数组Ψ = {,} ω φ τ 中三个参数实 际上是可以分别进行估计的，这就使复杂度大幅度降低。 (1) 相偏估计 ① 利用符号判决的相偏估计 根据(6-1-7)式所给出的相偏 ML 估计公式可知，如果第i 个符号矢量的估值 ˆi v 已通过相干 解调器求得，并且已判决它是属于第mi 种符号，即它所对应的符号基准矢量为 ( ) mi v ，那么将 ˆi v 乘以 ( ) * ( ) mi v 就可以从 ˆi v 的相位中消去 ( ) mi v 的相位，所得 ˆi v ( ) * ( ) mi v 的相位就应该是本地振荡跟 踪接收信号中隐含载波所残留的瞬时相位偏差；因此相偏的 ML 估计应为：