对一元函数而言，只要在x。的左、右极限存在且相等，函数在x处的极限就存在。而对多元函数来说，根据极限存在的定义，则要求当x以任何方式趋于x时，函数值都趋于同一个极限。若自变量沿不同的两条曲线趋于某一定点时，函数的极限不同或不存在，那么这个函数在该点的极限一定不存在
对一元函数而言，只要在 0 x 的左、右极限存在且相等，函数在 0 x 处的极限就存在。而对多元函数来说，根据极限存在的定义，则要求 当 x以任何方式趋于 0 x 时，函数值都趋于同一个极限。若自变量沿不 同的两条曲线趋于某一定点时，函数的极限不同或不存在，那么这个 函数在该点的极限一定不存在
对一元函数而言，只要在x的左、右极限存在且相等，函数在x处的极限就存在。而对多元函数来说，根据极限存在的定义，则要求当x以任何方式趋于x时，函数值都趋于同一个极限。若自变量沿不同的两条曲线趋于某一定点时，函数的极限不同或不存在，那么这个函数在该点的极限一定不存在。xy例 11. . 3 (, ) =-,) (. ) (0)。当点x=(x,y)沿x轴和y轴趋于(0,0)时，f(x,y)的极限都是0。但当点x=(x,y)沿直线y=mx趋于(0,0)时，mx?mlim f(x,y)= lim1 +m?x-→0x?+m2x?x-→0y=mx对于不同的m有不同的极限值。这说明f(x,y）在点（0.0)的极限不存在
例 11.2.3 设 )0,0(),(,),( 22 ≠ + = yx yx xy yxf 。 当点 x = yx ),( 沿 x 轴和 y 轴趋于 )0,0( 时， yxf ),( 的极限都是 0。但 当点 x = yx ),( 沿直线 y = mx 趋于 )0,0( 时， 222 2 2 0 0 1 lim),(lim mm xmx mx yxf x mxy x + = + = → = → ， 对于不同的m有不同的极限值。这说明 yxf ),( 在点 )0,0( 的极限不存在。 对一元函数而言，只要在 0 x 的左、右极限存在且相等，函数在 0 x 处的极限就存在。而对多元函数来说，根据极限存在的定义，则要求 当 x以任何方式趋于 0 x 时，函数值都趋于同一个极限。若自变量沿不 同的两条曲线趋于某一定点时，函数的极限不同或不存在，那么这个 函数在该点的极限一定不存在
下例说明即使点x沿任意直线趋于x时，f(x,)的极限都存在且相等，仍无法保证函数f在x.处有极限。例 11. 2. 4 设 f(x,y)= (-x)y*+x, (x,J)*(0,0)。当点x=（xy）沿直线y=mx趋于(0,0)时，成立(m2x2-x)2lim f(x,y)= lim=1;m*x4+x?x-0x0y=mx当点x=(x,y)沿y轴趋于(0,0)时，也成立limf(xy)=1，因此当点x=(x,y)-x=0沿任何直线趋于(0,0)时，f(x,y)极限存在且相等。但f(x,y)在点(0,0)的极限不存在。事实上，f在抛物线2=x上的值为0，因此当点x=(x,y)沿这条抛物线趋于(0.0)时，它的极限为0
下例说明即使点 x 沿任意直线趋于 x0 时， yxf ),( 的极限都存在且 相等，仍无法保证函数 f 在 x0处有极限。 例 11.2.4 设 )0,0(),(, )( ),( 24 22 ≠ +− = yx xy xy yxf 。 当点 x = yx ),( 沿直线 y = mx 趋于 )0,0( 时, 成立 1 )( lim),(lim 244 222 0 0 = +− = → = → xxm xxm yxf x mxy x ； 当点 x = yx ),( 沿 y 轴趋于 )0,0( 时，也成立 1),(lim 0 0 = = → yxf x y ，因此当点 x = yx ),( 沿任何直线趋于 )0,0( 时， yxf ),( 极限存在且相等。 但 yxf ),( 在点 )0,0( 的极限不存在。事实上， f 在抛物线 = xy 2 上的 值为 0，因此当点 x = yx ),( 沿这条抛物线趋于 )0,0( 时，它的极限为 0
元函数的极限性质，如唯一性、局部有界性、局部保序性、局部夹逼性及极限的四则运算法则，对二元函数依然成立，这里不再细述，请读者自行加以证明
一元函数的极限性质，如唯一性、局部有界性、局部保序性、 局部夹逼性及极限的四则运算法则，对二元函数依然成立，这里不 再细述，请读者自行加以证明
一元函数的极限性质，如唯一性、局部有界性、局部保序性、局部夹逼性及极限的四则运算法则，对二元函数依然成立，这里不再细述，请读者自行加以证明。累次极限对重极限limf(x,J)（即limf(x,y)），人们很自然会想到的是，(x.V)>(xoXxoy-yo能否在一定条件下将重极限(x,J)→(xo,y)分解成为两个独立的极限x→x和y→yo，再利用一元函数的极限理论和方法逐个处理之？这后一种极限称为累次极限
累次极限 对重极限 ),(lim ),(),( 00 yxf → yxyx （即 ),(lim 0 0 yxf yy xx → → ），人们很自然会想到的是， 能否在一定条件下将重极限 yx ),( ),( 00 → yx 分解成为两个独立的极限 0 → xx 和 0 → yy ，再利用一元函数的极限理论和方法逐个处理之？ 这后一种极限称为累次极限。 一元函数的极限性质，如唯一性、局部有界性、局部保序性、 局部夹逼性及极限的四则运算法则，对二元函数依然成立，这里不 再细述，请读者自行加以证明