第十六章Fourier级数习题16.1函数的Fourier级数展开1.设交流电的变化规律为E(t)=Asinot，将它转变为直流电的整流过程有两种类型：(1）半波整流（图16.1.5(a)）(a)Afi(t) = (sin ot+/sin otl) ;(2)全波整流（图16.1.5(b))f(t)= A|sin otl;现取=1，试将f(x)和f(x)在(b)[-元,]展开为Fourier级数。解（1)=()ax=24图16.1.5元2Af(x)cos nxdx = -(n=2,4,6,..)a:元(n2-1)a,=[(x)cosnxdx=0, (n=1,3,..);b=(a)sin dx=,2b,--[(x)sinnxdx=0, (n=2,3,4..)。2Acos2kxTi(x)~ A+Asinx元2元4k2-1[" (x)dx = 4A(2) α=元，4Aa, -- f(n)cosmxd =-(n=2,4,6...),元(n2-1)a, =-/"f(x)cosxdx=0 (n=1,3,5...);b, =f(x)sinnxdx=0, (n=1,2,3..)。(n)~ 24_ 44g cos 2kr.元元台4k2-12.将下列函数在[-元,元]上展开成Fourier级数：(2) f(x)=/cosx l;(1) f(x)= sgnx;-
第十六章 Fourier 级数 习题 16.1 函数的 Fourier 级数展开 (a) (b) 图 16.1.5 ⒈设交流电的变化规律为 ，将它转变为直流电 的整流过程有两种类型： E t( ) = Asin ωt ⑴ 半波整流（图 16.1.5(a)） f t A 1 2 ( ) = (sin f t A t 2 ( ) |sin | ωt t +|sinω |)； ⑵ 全波整流（图 16.1.5(b)） = ω ) x) ； 现取 ω = 1 ，试将 f x 1( 和 f 2 ( 在 [−π ,π ]展开为 Fourier 级数。 解 （1） 0 a = 1 1 f ( ) x dx π π ∫−π 2A π = ， an = 1 1 f ( ) x n cos xdx 2 2 ( 1 A π n = − − ) ( n = 2, 4,6,"), π π ∫−π n a = 1 1 f ( ) x cos nxdx 0 π π −π = ∫ ，（n = 1,3,5,"）； 1 b = 1 1 ( )sin 2 A f x xdx π π −π = ∫ ， bn = 1 1 f ( ) x sin nxdx 0 π π −π = ∫ ，( n = 2,3, 4,")。 1f ( ) x ∼ 2 1 2 cos 2 sin 2 4 k 1 A A A x π π k ∞ = + − kx − ∑ 。 （2） 0 a = 2 1 f ( ) x dx π π ∫−π 4A π = ， an = 2 1 f ( ) x n cos xdx 2 4 ( 1 A π n = − − ) ( n = 2, 4,6,.), π π ∫−π n a = 2 1 f x( ) cos nxdx 0 π π −π = ∫ （n = 1,3,5,.）； bn = 2 1 f ( ) x sin nxdx 0 π π −π = ∫ ，( n =1, 2,3,")。 2f ( ) x ∼ ∑ ∞ = − − 1 2 4 1 2 4 cos 2 k k A A kx π π 。 ⒉ 将下列函数在[−π ,π ]上展开成 Fourier 级数： ⑴ f (x) = sgn x ; ⑵ f x( ) = |cos x |; 1
[x, xe[-元,0)x-(3) f(x) =(4) f(x) =元22[0,xE[0,元);[ax, xe[-元,0),(5) f(x) =[bx, xe[0,元)解（1）f(x）为奇函数，所以a=0，（n=0,1,2...），b, = [ (x)sinxdx 2(1-cos(mn), (n=1,3..) 。n元1(x)~ 4g sin(2k-1)x 元2k-1（2）f(x）为偶函数，所以b,=0，（n=1,2,3,）J"(x)dx = 4ao=元，[,f(x)cos nxdx =- 4(-1)(n=2.4.6....)a=元(n2-1)a,==" f(x)cos nxdx=0, (n=1,3,...)。()~ 2_4号(-1)*cos2kx。元元4k2-1（3）f(x）为偶函数，所以b,=0，（n=1,2,3）52- (x)dx =-ao=-3元Ta, = = f(x)cos nxdx = 2(-1"(n=1,2,3..n? 2(-1)"5+2f(x)~cosnx。6n? F(x)dx =-(4) α =2J' f(x)cos nxdx = 1-(-1).(n=1,2.3....)a,=元n f(x)sin nxdx =_ cos(nz).(n=1,2,3,...)2=ng(-1)n+1f(x) ~ - "+ 2 g cos(2k+1)xsinnx。+24元k=0(2k+1)2nn=1 f(x)dx = r(b-a)(5)α:22
⑶ 2 2 2 ( ) = − π x f x ; ⑷ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = 0, [0, ); , [ ,0), π π x x x ⑸ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = , [0, ). , [ , 0), π π bx x ax x 解（1） f x( ) 为奇函数，所以 0 n a = ，（n = 0,1, 2,. ）， bn = 1 f ( ) x n sin xdx π π ∫−π 2(1 cos(n )) n π π − = ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ ∑ ∞ = − − 1 2 1 4 sin(2 1) k k k x π 。 （2） f x( ) 为偶函数，所以 0 n b = ，（n =1, 2,3,"）， 0 a = 1 f ( ) x dx π π ∫−π 4 π = ， n a = 1 f ( ) x n cos xdx 2 2 4( 1) ( 1 n π n − = − − ) ，( n = 2, 4,6,"), π π ∫−π n a = 1 f x( ) cos nxdx 0 π π −π = ∫ ，（n = 1,3,5,"）。 f x( ) ∼ ∑ ∞ = − − − 1 2 cos 2 4 1 2 4 ( 1) k k kx π π k 。 （3） f x( ) 为偶函数，所以 0 n b = ，（n =1, 2,3,"）， 0 a = 1 f ( ) x dx π π ∫−π 5 2 3 = − π ， n a = 1 f ( ) x n cos xdx 2 2( 1) n n − = ( n =1, 2,3,")。 π π ∫−π f x( ) ∼ nx n n n cos 2( 1) 6 5 1 2 2 ∑ ∞ = − − π + 。 （4） 0 a = 1 f ( ) x dx π π ∫−π 2 π = − ， n a = 1 f ( ) x n cos xdx 2 1 ( 1) n π n − − = ，( n =1, 2,3,"), π π ∫−π bn = 1 f ( ) x n sin xdx π π ∫−π cos(n ) n π = − ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ ∑ ∞ = + + − + 0 2 (2 1) 2 cos(2 1) 4 k k k x π π nx n n n sin ( 1) 1 1 ∑ ∞ = + − + 。 （5） 0 a = 1 f ( ) x dx π π ∫−π ( ) 2 π b a − = ， 2
=-"()cos ixdx a-b)-(-1), (n=1,2,..),a.=元n?b,=[(v)sinxdx=-(a+)cos(mm), (n=1,2,3.)。n+(a +b)(-1)"+1(n) ~- α-b)+ 2(a-b) ≥cos(2k+)x,sinnx。4元k=0 (2k+1)21n=l3．将下列函数展开成正弦级数：(1) f(x)= 元 + x, xe[0, 元],(2) f(x)= e-2*, x e[0, 元];/cos[2x, x[0, 号),xe[0,1],(3) f(x) =(4) f(x) =2元，xe[号,元];0.xe[1,2].解(1) b,-="()sindx =2.1-2(-1, (n=1,2,3.)。nF(x)~ 2岁1-2(-1)"sinnx。ne/2n[1-(-1)"e-2*f(x)sin nxdx (2)b(n=1,2,3,...)。π(4+n)2 gni-(-1)"e-2x]f(x)~ 3sinnx。元=n2+4n元-2 n元(-1)"-2 sin '2(3)b."f(x)sin nxdx (n=1.2.3...)元n?42[2(-1)+ +n元f(x)~)sinnxrm2-n(x)sin xdx = (4) b:元n2(n-sin2f(x)sin nxdx2.34.元(n2-1)+2gh-sinn1sin2n元f(x)~r+sin22元元2n2-14.将下列函数展开成余弦级数：(1) f(x)= x(元- x), xe[0, 元];(2) f(x)= e*, xe[0,元];3
n a = 1 f ( ) x n cos xdx π π ∫−π 2 ( )(1 ( 1) n a b π n − − − = ) ，( n =1, 2,3,"), bn = 1 f ( ) x n sin xdx ( ) a b cos(n n + π ) = − ，( n =1, 2,3,")。 π π ∫−π f x( ) ∼ ∑ ∞ = + − + + − − 0 2 (2 1) 2( ) cos(2 1) 4 ( ) k k a b a b k x π π nx n a b n n sin ( 1) ( ) 1 1 ∑ ∞ = + − + + 。 ⒊ 将下列函数展开成正弦级数： ⑴ f (x) = π + x , x ∈[0,π ]; ⑵ f x x ( ) = e−2 , x ∈[0,π ]; ⑶ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ = , [ , ]; 2 , [0, ), 2 2 π π π π x x x ⑷ f x( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ∈ = 0, [1,2]. , [0,1), 2 cos x x πx 解（1）bn = 0 2 f ( ) x n sin xdx π π ∫ 1 2( 1) 2 n n − − = ⋅ ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ 1 1 2( 1) 2 s n n nx n ∞ = − − ∑ in 。 （2）bn = 0 2 f ( ) x n sin xdx π π ∫ 2 2 2 1 ( 1) (4 ) n n e n π π − ⎡ − − ⎤ ⎣ ⎦ = + ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ [ ] nx n n e n n sin 4 2 1 ( 1) 1 2 2 ∑ ∞ = − + − − π π 。 （3）bn = 0 2 f ( ) x n sin xdx π π ∫ 2 2 ( 1) 2sin 2 n n n n π π π ⎡ ⎤ − − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ nx n n n n n sin 2 sin 4 ( 1) 2 1 2 1 ∑ ∞ = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + π π 。 （4） 1 b = 2 0 2 1 ( )sin 2 f x xdx π = ∫ ， bn = 2 0 2 ( )sin 2 f x nxdx ∫ 2 2( sin ) 2 ( 1) n n n π π − = − ，( n = 2,3, 4,")。 f x( ) ∼ x n n n n x n 2 sin 1 2 sin 2 2 sin 1 2 2 π π π π π ∑ ∞ = − − + 。 ⒋ 将下列函数展开成余弦级数： ⑴ f x( ) = x(π − x) , x ∈[0,π ]; ⑵ f x x ( ) = e , x ∈[0,π ]; 3
[sin2x, xe[0,),nxe[0,元](4) f(x)= xY(3) f(x) =221xE[,];2"()d =解（1）α=3，I'()osd--2+, (n=2,3.)。27a.=n?元cos2kxF(x)~6台k2 f(x)dx = 2(e" -1),(2) ag=元2[e"(-1)"-12(n=1,2,3....).f(x)cos nxdx =a.:元(1+n)(n)~ I(e* -1) +22-1e*-1]osnxn2+1T二2+元(3)a(x)dx元 f(x)cos2xdx =_ 14*a=T2n元(0)cos2mdx= a.=n=2.3.4....)sin元(n2-1)n223n元111f(x)~(cos2xcos2nx。sin元+22元台n-1(n元27 f(x)dx=号(4) α= 2n元-D"-COS2" f(x)cos nxdx(n=1,2,3..)a.元?n元(-1)" _-COS元4g2f(x)~cosnx。Xn?元二5.求定义在任意一个长度为2元的区间[a,a+2元l上的函数f(x)的Fourier级数及其系数的计算公式。4
⑶ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ = 1, [ , ]; sin 2 , [0, ), 4 2 4 π π π x x x ⑷ 2 2 ( ) π π f x = x − + x − , x ∈[0,π ]. 解（1） 0 a = 0 2 f ( ) x dx π π ∫ 2 3 π = ， n a = 0 2 f ( ) x n cos xdx π π ∫ 2 2(1 ( 1) ) n n + − = − ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ ∑ ∞ = − 1 2 2 cos 2 6 k k π kx 。 （2） 0 a = 0 2 f ( ) x dx π π ∫ 2 (e 1 π π = − )， n a = 0 2 f ( ) x n cos xdx π π ∫ 2 2 ( 1) 1 (1 ) n e n π π ⎡ ⎤ − − ⎣ ⎦ = + ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ ( 1) 1 − π π e [ ] nx n e n n cos 1 2 ( 1) 1 1 ∑ 2 ∞ = + − − + π π 。 （3） 0 a = 2 0 4 f ( ) x dx π π ∫ 2 π π + = ， 1 a = 2 0 4 f ( ) x x cos 2 dx π π ∫ 1 π = − ， n a = 2 0 4 f ( ) x n cos 2 xdx π π ∫ 2 2 sin ( 1) 2 n n n n π π ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠，( n = 2,3,4,")。 f x( ) ∼ 1 1 1 ( ) cos 2 2 2 2 1 1 sin 1 cos 2 n 1 2 n nx n n π π ∞ = ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∑ 。 2 x π π + − （4） 0 a = 0 2 f ( ) x dx π π ∫ 2 π = ， n a = 0 2 f ( ) x n cos xdx π π ∫ 2 4 ( 1) cos 2 n n n π π ⎡ ⎤ − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ nx n n n n cos 2 ( 1) cos 4 4 1 ∑ 2 ∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + π π π 。 ⒌ 求定义在任意一个长度为 2π 的区间[a, a + 2π ] 上的函数 的 Fourier 级数及其系数的计算公式。 f x( ) 4
解设(x)~号+2(a,cosnx+b,sin)，则n+*f(x)cosmxdx= [a+(a, cosn+b, sinnx)cosmdxao2"* cos mxdx+ (a,. 2" sin nx cos mxdx)* cos nx cos mxdx +b, 2J=a.元，（m=0,1,2..),+(acos+b,sinx)sinmJ (x)sin mxdx=Ja22% [a+2+* sin mxdx+Z(a,. 2+2*cosnxsinmxdx+b."sinnxsinmxdx)=bm元,(m=1,2,.),所以[a+2" f(x)cosnxdx (n=0,1,2,..),a.=2nf(x)sinnxdx(n= 12....) cb=-6.将下列函数在指定区间展开成Fourier级数：(1) f(x)= -x, xe[0,2元];(2) f(x)= x2, xe[0,2元];2[e3*, xe[-1,0),(4) f(x) =(3) f(x)=x,x E[0,1];0,xe[0,1);JC,xe[-T,0),(c是常数)(5) f(x) =[O,xE[O,T)解（1）a,=f"f(x)cos nxdx=0,(n=0,1,2,..),b,=→(x)sinxdx=, (n=1,2,3..)。nf(x)~-sinnx。=in6(2) ag="f(x)dx =3a,=↓(x)cosmxdx=(n=1,2,3....)hb,=(x)sinxdtx=-4n,(n=1,2,3....)n42.8(1元f(x) ~4>sin nxcosnx3=nn5
解 设 f x( ) ~ a a nx b n n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin x)，则 2 2 0 1 ( ) cos ( cos sin ) cos 2 a a n n a a n a f x mxdx a nx b nx mxdx π π ∞ + + = ⎡ ⎤ = + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∑ 2 2 2 0 1 cos ( cos cos sin cos ) 2 a a a n n a a a n a mxdx a nx mxdx b nx mxdx π π π ∞ + + + = = +∑ + ∫ ∫ ∫ m = a π ，( m = 0,1, 2,.), 2 2 0 1 ( )sin ( cos sin ) sin 2 a a n n a a n a f x mxdx a nx b nx mxd π π ∞ + + = ⎡ ⎤ = + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∑ x 2 2 2 0 1 sin ( cos sin sin sin ) 2 a a a n n a a a n a mxdx a nx mxdx b nx mxdx π π π ∞ + + + = = +∑ + ∫ ∫ ∫ m = b π ，( m = 1, 2,.), 所以 an = ∫ + π π 2 ( ) cos 1 a a f x nxdx ( n = 0,1,2,"), bn = ∫ + π π 2 ( )sin 1 a a f x nxdx ( n = 1,2,")。 ⒍ 将下列函数在指定区间展开成 Fourier 级数： ⑴ 2 ( ) x f x − = π , x ∈[0, 2π ]; ⑵ f x( ) = x 2 , x ∈[0, 2π ]; ⑶ f (x) = x , x ∈[ , 0 1]; ⑷ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = 0, [0,1); e , [ 1,0), 3 x x x ⑸ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = 0, [0, ) , [ ,0), x T C x T (C 是常数). 解（1） n a = 2 0 1 f ( ) x cos nxdx 0 π π = ∫ ，( n = 0,1, 2,"), bn = 2 0 1 f ( ) x n sin xdx π π ∫ 1 n = ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ nx n n sin 1 1 ∑ ∞ = 。 （2） 0 a = 2 2 0 1 8 ( ) 3 f x dx π π π = ∫ ， n a = 2 0 1 f ( ) x n cos xdx π π ∫ 2 4 n = ，( n =1, 2,3,"), bn = 2 0 1 f ( ) x n sin xdx π π ∫ 4 n π = − ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 1 2 2 cos sin 1 4 3 4 n nx n nx n π π 。 5