试卷一：概率论与数理统计试题（闭卷）2008年1月24日得分评卷人填空题（每小题3分，共30分）1.设A、B互不相容，P(A)=0.2，P(B)=0.6，则P(BA)=2. 设X~N(2,g)，且P(2<X<4)=0.3,则P(X<0)=3.设连续型随机变量X>0，且X2服从[0,1]上的均匀分布，则X的密度函数fx)=4.已知P(X=a)=1，则X的分布函数F(x)=X>05.设X的密度函数f(x)则常数a=,E(X)=0x≤0D(X)=6.已知(X,Y)的联合分布函数为0.0 1(+y)-0.01yx≥0,y≥0F(x,y)0其他则X的边缘分布函数Fx(x)=7.已知E(X)=3，D(N)=9，E(Y)=-1,D()=4且X与Y的相关系数py=0.5，则E(X -Y)? =8.设总体X服从正态分布N(uα)，XI,X2,X为来自总体X的样本，3?=1(X,-X), X-1x,则D(32)=1ni-l2服从9. 设(X,Y)~N(0,0, 2,2,0),则(分布。10.设Xi,X2,Xn为来自正态总体N(u,)的样本，未知，则u的置信度为1-α的置信区间为1
1 试卷一： 概率论与数理统计试题（闭卷） 2008 年 1 月 24 日 得 分 评卷人 一、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 设 A、B 互不相容，P(A) = 0.2，P(B) = 0.6，则 P(B A) _。 2. 设 X ~ N( , 2 )，且 P(2 < X < 4) = 0.3，则 P(X < 0) = _。 3. 设连续型随机变量 X > 0，且 X 2服从[0,1]上的均匀分布，则 X 的密度函数 f(x) = _。 4. 已知 P(X a) 1 ，则 X 的分布函数 F(x) = _。 5. 设 X 的密度函数 0 , 0 , 0 ( ) ( ) x e x f x e x a ，则常数 a _， E(X) _， D(X) _。 6. 已知 (X,Y) 的联合分布函数为 0 , 其他 1 , 0, 0 ( , ) 0.0 1 0.0 1 0.0 1( ) e e e x y F x y x y x y ， 则 X 的边缘分布函数 FX(x) = _。 7. 已知 E(X) = ，D(X) = 9，E(Y) = 1，D(Y) = 4 且 X 与 Y 的相关系数XY = 0.5，则 2 E(X Y) _。 8. 设总体 X 服从正态分布 N(, 2 )，X1, X2,., Xn 为来自总体 X 的样本， n i Xi X n S 1 2 2 ( ) ~ 1 ， n i Xi n X 1 1 ，则 ) ~ ( 2 D S _。 9. 设 (X,Y) ~ N(0,0, 2 , 2 ,0)，则 2 ( ) Y X 服从_分布。 10. 设 X1,X2,.,Xn 为来自正态总体 N(, 2 )的样本， 2 未知，则的置信度为 1 的置信区间为 _
得分评卷人二、单项选择题（每小题3分，共12分）（将正确选项前的字母填入题后的括号内）1.设A,B,C为三个随机事件，A与B相互独立，P(C)=O，则A.B.C（A.相互独立B.两两独立，但不一定相互独立C.不一定两两独立D.一定不两两独立2.设随机变量X具有对称的密度函数，即f(-x)=f(x)，F(x)为X的分布函数，则对任意实数a>0,P(X>a)=（)A. 2[1-F(a)]B. 2F(a)-1C. 2-F(a)D. 1-2F(a)43，则3.设X,Y为两个随机变量，P(X≥O)=P(Y≥O)=P(X ≥0,Y≥0)=772P(maxr,Y)≥0)=(531640c..B.D.A.7497494.设总体XN(u,)，,均为未知参数，XX2,X,为来自总体X的样本，则μ2+的)矩估计量为（1Z(X,-X)Z(X,-X) c.!Zx?Zx"-n(X)D.B.A.n-1ni=lni=li=li=l得分评卷人三、（10分）在一单项选择题中有k个选项可供选择，一个考生会做该题的概率为p(0≤p<1)。若会做，则他写出正确答案的概率为0.99；若不会做，则他在个选项中任选一个写上。已知该考生的答案正确，求他确实会做该题的概率。2
2 得 分 评卷人 二、单项选择题（每小题 3 分，共 12 分） （将正确选项前的字母填入题后的括号内） 1. 设 A,B,C 为三个随机事件，A 与 B 相互独立，P(C)=0，则 A,B,C （ ） A. 相互独立 B. 两两独立，但不一定相互独立 C. 不一定两两独立 D. 一定不两两独立 2. 设随机变量 X 具有对称的密度函数，即 f (x) f (x) ， F(x) 为 X 的分布函数，则对任意 实数 a 0,P( X a) （ ） A. 2[1 F(a)] B. 2F(a) 1 C. 2 F(a) D. 1 2F(a) 3. 设 X,Y 为两个随机变量， 7 4 P(X 0) P(Y 0) ， 7 3 P(X 0,Y 0) ，则 P(max(X,Y) 0) （ ） A. 49 16 B. 7 5 C. 7 3 D. 49 40 4. 设总体 X ~ N(, 2 )，, 2 均为未知参数， X X Xn , , 1 2 为来自总体 X 的样本，则 2 + 2的 矩估计量为（ ） A. n i Xi X n 1 2 ( ) 1 B. n i Xi X n 1 2 ( ) 1 1 C. 2 1 2 ( ) n i Xi n X D. n i Xi n 1 1 2 得 分 评卷人 三、（10 分）在一单项选择题中有 k 个选项可供选择，一个考生会做该题 的概率为 p(0 p 1) 。若会做，则他写出正确答案的概率为 0.99； 若不会做，则他在 k 个选项中任选一个写上。已知该考生的答案正确，求他确实会做该题的概率
得分评卷人四、（12分）设(X,Y)服从区域D=(x,J)：0≤x≤1，0≤y≤2)上的均匀分布。（1）求(X,Y)的边缘密度函数f(x)，fiy)，并判断X与Y是否相互独立？（2）求Z=X+Y的密度函数f(=)。得分评卷人五、（10分）设随机变量X和Y的联合概率分布为：Y0-11X00.070.180.1510.080.320.20（1）问X与Y是否独立？是否相关？为什么？(2) 求Cov(X?,Y2)得分评卷人六、（10分）设随机变量X服从[0,]上的均匀分布，X,X,X,是来自总体X上的样本，求出常数a使得。=amin(X,X,,X)为的无偏估计，并求出D(?)3
3 得 分 评卷人 四、（12 分）设(X, Y )服从区域 D={(x, y)：0 ≤ x ≤1，0 ≤ y ≤2}上的 均匀分布。 （1）求(X, Y )的边缘密度函数 fX(x), fY(y)，并判断 X 与 Y 是否相互独立？ （2）求 Z = X + Y 的密度函数 fZ(z)。 得 分 评卷人 五、（10 分）设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为： Y X 1 0 1 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.20 （1）问 X 与 Y 是否独立？是否相关？为什么？ （2）求 ( , ) 2 2 Cov X Y 得 分 评卷人 六、（10 分）设随机变量 X 服从 [0,] 上的均匀分布， 1 2 3 X , X , X 是来自 总体 X 上的样本，求出常数 a 使得. min( , , ) ˆ a X1 X2 X3 为 的无偏 估计，并求出 ) ˆ D(
得分评卷人x≥0七、（6分）设随机变量X的概率密度为：f(x)=m，其他0试用切比雪夫不等式估计概率P（0<X<2(m+1)）得分评卷人八、（10分）设X,X，，X为来自总体X的样本，X的分布函数为_X-βJ1-ex≥BF(x)=ox<β其中，β,0均为未知参数，求B.0的极大似然估计量。4
4 得 分 评卷人 七、（6 分）设随机变量 X 的概率密度为： 0 , 其他 , 0 ! ( ) e x m x f x x m 试用切比雪夫不等式估计概率 P（0 X 2(m 1)） 得 分 评卷人 八、（10 分）设 X X Xn , , 1 2 为来自总体 X 的样本， X 的分布函数为 x e x F x x 0 , 1 , ( ) 其中， , 均为未知参数，求 , 的极大似然估计量
试卷二：概率论与数理统计试题（闭卷）2007年7月得分评卷人、填空题（每题3分，共30分）1. 设P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AUB)=0.8，则 P(A-B)=2.设100张券中有10张为奖券，某人从中随机摸出5张，则他恰好摸中k(k=0,1...,5)张奖券的概率为（列出式子即可）A(1+x)，x≥03.设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=3则常数A=0XO4.若二维随机变量(X,Y)~N(0，3，2，1，0)，则X-Y~5.设随机变量X~B(n,p)，且EX=12，DX=8，则n=6.设在[,t]时段内通过某路口的汽车数X服从参数为a的Poission分布，且通过的汽车数平均为6辆，则在[4,]内至少有一辆汽车通过的概率为7.设随机变量X，Y满足DX=25，DY=36，Pxy=0.4，则D(X+Y）=8.设Xi，X2，…，X为来自正态总体N(0，)的样本，=-x，则n2/~9.设随机变量X的方差DX=2>0，则由切比雪夫不等式可得：P(X-EX<3o)10.设Xi，X2，“，Xm为来自正态总体N(u，")的样本，记=之x,，则E(X, -X)(n-1)Z(X. - μ)*一得分「评卷人判断题（每题2分，共10分）()1.若P(AB)=0，则A、B互不相容。)(2.设连续型随机变量X的概率密度为偶函数，则分布函数有F(-x)=1-F(x)。)C3．二维均匀分布的边缘分布不一定是均匀分布。()4.样本均值的平方X2是总体期望平方μ2的无偏估计。)C5.参数θ的区间估计的置信度1-α越高，则置信区间的长度越短。5
5 试卷二： 概率论与数理统计试题（闭卷） 2007 年 7 月 得 分 评卷人 一、填空题（每题 3 分，共 30 分） 1．设 P A P B P A B ( ) 0.3 , ( ) 0.4 , ( ) 0.8 ，则 P(A B ) = 。 2．设 100 张券中有 10 张为奖券，某人从中随机摸出 5 张，则他恰好摸中 k(k=0,1,.,5)张奖券 的概率为 。（列出式子即可） 3．设连续型随机变量 X 的概率密度为 2 , 0 ( ) (1 ) 0 , A x f x x x< 0 ，则常数 A= 。 4．若二维随机变量(X, Y ) ~ N( 0，3，2，1，0 )，则 X – Y ~ 。 5．设随机变量 X ~ B(n, p)，且 EX = 12，DX = 8，则 n = ，p = 。 6．设在[t1, t2]时段内通过某路口的汽车数 X 服从参数为 的 Poission 分布，且通过的汽车数平 均为 6 辆，则在[t1, t2]内至少有一辆汽车通过的概率为 。 7．设随机变量 X，Y 满足 DX = 25，DY = 36， XY = 0.4，则 D( X + Y ) = 。 8．设 X1，X2，.，Xn为来自正态总体 N(0， 2 )的样本， 1 1 n i i X X n ，则 2 2 nX / ～ 。 9．设随机变量 X 的方差 DX = 2 > 0，则由切比雪夫不等式可得： P X EX ( 3 ) 。 10．设 X1，X2，.，X2n 为来自正态总体 N(， 2 )的样本，记 1 1 n i i X X n ，则 2 1 2 1 ( ) ( 1) ( ) n i i n n i i n X X n X ～ 。 得 分 评卷人 二、判断题（每题 2 分，共 10 分） 1．若 P(AB) = 0，则 A、B 互不相容。 （ ） 2．设连续型随机变量 X 的概率密度为偶函数，则分布函数有 F(x) = 1F(x)。 （ ） 3．二维均匀分布的边缘分布不一定是均匀分布。 （ ） 4．样本均值的平方 2 X 是总体期望平方 2的无偏估计。 （ ） 5．参数 的区间估计的置信度 1越高，则置信区间的长度越短。 （ ）