S5应用举例本节介绍函数微分的一些应用，包括极值和最值问题、函数作图以及在数学建模中的应用。极值问题f(x)的全部极值点必定都在使得f(x)=0和使得f(x)不存在的点集之中。使f(x)=0的点称为f(x)的驻点
本节介绍函数微分的一些应用，包括极值和最值问题、函数作 图以及在数学建模中的应用。 极值问题 f x( )的全部极值点必定都在使得 f x ′() 0 = 和使得 f x ′( )不存在的 点集之中。使 ′ xf = 0)( 的点称为 xf )( 的驻点。 §5 应用举例
定理5.5.1（极值点判定定理）设函数f(x）在x点的某一领域中有定义，且f(x）在x点连续。(1)设存在>0，使得f(x)在(x-,x)与(xo,x+)上可导,(i)若在(x-,xo)上有f(x)≥0，在(xo,x+)上有f(x)≤0，则x是f(x）的极大值点；(ii)若在(x-S,x)上有f'(x)≤0，在(xo,xo+)上有f'(x)≥0,则xo是f(x）的极小值点；(iii)若f(x)在(x-S,x)与(xo,x+)上同号，则x不是f(x)的极值点
定理 5.5.1（极值点判定定理） 设函数 xf )( 在 x0点的某一领域 中 有定义，且 xf )( 在 x0点连续。 ⑴ 设存在 δ > 0，使得 xf )( 在 ),( 0 0 − δ xx 与 ),( xx 00 + δ 上可导， (i) 若在 ),( 0 0 − δ xx 上有 f x ′() 0 ≥ ，在 ),( xx 00 + δ 上有 f x ′() 0 ≤ ，则 x0 是 xf )( 的极大值点； (ii) 若在 ),( 0 0 − δ xx 上有 f x ′() 0 ≤ ，在 ),( xx 00 + δ 上有 f x ′() 0 ≥ ， 则 x0是 xf )( 的极小值点； (iii) 若 f x ′( ) 在 ),( 0 0 − δ xx 与 ),( xx 00 + δ 上同号，则 x0不是 xf )( 的 极值点
定理5.5.1（极值点判定定理）设函数f(x）在x点的某一领域中有定义，且f(x）在x点连续。(1)设存在>0，使得f(x)在(x-,xo)与(xo,x+)上可导,(i)若在(x-S,xo)上有f(x)≥0，在(xo,x+)上有f(x)≤0，则x是f(x）的极大值点；(ii)若在(x。-S,x)上有f'(x)<0，在(xo,x+)上有f'(x)≥0,则xo是f(x)的极小值点；(iii)若f(x)在(xo-S,x)与(xo,xo+)上同号，则x不是f(x)的极值点。(2）设f(x)=0，且f(x)在x点二阶可导，(i）若f"(xo)<0，则x是f(αx)的极大值点;(ii）若f"(xo)>0，则x是f(x)的极小值点;(iii）若f"(xo）=0，则x。可能是f(x)的极值点，也可能不是f(x)的极值点
⑵ 设 0)(′ xf 0 = ，且 f x( )在x0 点二阶可导， (i) 若 f x ′′( ) 0 < 0，则x0是 xf )( 的极大值点； (ii) 若 f x ′′( ) 0 > 0，则x0是 xf )( 的极小值点； (iii) 若 f x ′′( ) 0 = 0，则 x0可能是 xf )( 的极值点，也可能不是 xf )( 的极值点。 定理 5.5.1（极值点判定定理） 设函数 xf )( 在 x0点的某一领域中 有定义，且 xf )( 在 x0点连续。 ⑴ 设存在δ > 0，使得 xf )( 在 ),( 0 0 −δ xx 与 ),( xx 00 + δ 上可导， (i) 若在 ),( 0 0 − δ xx 上有 f x ′() 0 ≥ ，在 ),( xx 00 + δ 上有 f x ′() 0 ≤ ，则 x0 是 xf )( 的极大值点； (ii) 若在 ),( 0 0 −δ xx 上有 f x ′() 0 ≤ ，在 ),( xx 00 + δ 上有 f x ′() 0 ≥ ， 则 x0是 xf )( 的极小值点； (iii) 若 f x ′( )在 ),( 0 0 − δ xx 与 ),( xx 00 + δ 上同号，则x0不是 xf )( 的 极值点
证（1）的结论显然，我们只证（2）。因为f(x）=0，由Taylor公式(x)= f(x0)+ f (x0) (x- x0)+ I"(0)(x - xo)2 + 0((x -x0))2!= ()+ "((x-x0) + (x-x0)2!得到o((x-x))f(x)-f(x) _Lf"(x)+21(x-x)(x-xo)?因为当x→x时上式右侧第二项趋于0，所以当f"(x)<0时，由极限的性质可知在x。点附近成立f(x)- f(x0) <0,(x-xo)2所以f(x)< f(xo),证毕从而f(x)在x取极大值。同样可讨论f"(x）>0的情况
证 (1)的结论显然，我们只证(2)。 因为 0 f x ′()0 = ，由 Taylor 公式 = xfxf 0 )()( + f ′( 0 x ) !2 )( )( 0 0 xf xx ′′ +− +− 2 0 xx )( ))(( 2 0 − xxo = xf 0 )( + !2 )( 0 ′′ xf +− 2 0 xx )( ))(( 2 0 − xxo 得到 0 2 0 () ( ) ( ) fx fx x x − = − 2 0 2 0 0 )( ))(( )( !21 xx xxo xf −− ′′ + 。 因为当 0 → xx 时上式右侧第二项趋于 0，所以当 0)(′′ xf 0 < 时，由极限的 性质可知在 0 x 点附近成立 0 )( )()( 2 0 0 < − − xx xfxf , 所以 )()( 0 < xfxf ， 从而 xf )( 在 0 x 取极大值。同样可讨论 0)(′′ xf 0 > 的情况。 证毕
关于定理5.5.1中（2）（iii），可分别考察函数y=x4，y=-x4和y=。x=0是y=x的极小值点，是y=-x的极大值点，而不是y=x3的极值点。但它们都满足y(O)=0和y"(O)=0的条件
关于定理 5.5.1 中(2)(iii)，可分别考察函数 4 = xy , 4 −= xy 和 3 = xy 。x = 0是 4 = xy 的极小值点，是 4 −= xy 的极大值点，而不是 3 = xy 的极值点。但它们都满足 y′ = 0)0( 和 y′′ = 0)0( 的条件