华中科技大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（讲义）第二章 随机变量及其分布 §2.3 连续型随机变量（2/2）

四、常见C.R.V.的分布X ~Ula,b]1.均匀分布fix1a≤x≤bf(x) =b-aa其他0,x个F(x)0,x<ax-aa≤x<bF(x)=b-a1,x≥b力x例3（P54例2.12）设某地区讯期的一周内最高水位（单位：米）X～U[29.20,29.50]。求该周内最高水位超过29.40米的概率。10129.2≤x≤29.5f(x)=3229.5-29.2解其他0,129.510P(X > 29.4) :故329.432.指数分布一元le-x≥0x≥0F(x)f(x0.x<00.x<0

四、常见 C.R.V.的分布 1．均匀分布 X ~U[a,b] f(x)         0, 其他 , 1 ( ) a x b f x b a a b x F(x)             x b a x b b a x a x a F x 1, , 0, ( ) a b x 例 3（P54 例 2.12）设某地区讯期的一周内最高水位（单位：米） X ~U[29.20,29.50] 。求该周内最高水位超过 29.40 米的概率。 解          0, 其他 , 29.2 29.5 3 10 29.5 29.2 1 ( ) x f x 故 3 1 3 10 ( 29.4) 2 9.5 2 9.4     P X dx 2．指数分布        0, 0 , 0 ( ) x e x f x x          0, 0 1 , 0 ( ) x e x F x x

1.51.50.50.52200例4（P56例2.14）设一大型设备在任何长为t时间内发生故障的次数 N(t)~P(Λ t)（1）求相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布；（2）求在设备无故障工作8小时的条件下，再无故障工作8小时的概率P解 (1) F(t)= P(T≤t)=1-P(T>t)=1-P(N(t)=0)(at)=1-e-α=1t≥0O!t<0 时, F(t)= P(Φ)=0P(T >16,T >8)P(T >16)(2) P= P(T>16/T >8)=P(T >8)P(T>8)e-16a1- F(16)=e~82e-81- F(8)= P(T >8)X~ N(u,α)正态图3.正态分布(x-μ)2(x-μ)?112g22g2F(x)= [dx =?f(x)ee12元0/2元0标准正态分布：x?x21Φ(x) =2 dx0(x)CV2元[2元

0 2 4 0.5 1 1.5 0 2 4 0.5 1 1.5 例 4（P56例 2.14）设一大型设备在任何长为 t 时间内发生故障的次 数 N(t)~P(λ t) （1）求相继两次故障之间的时间间隔 T 的概率分布； （2）求在设备无故障工作 8 小时的条件下，再无故障工作 8 小时的概 率 P 解（1） F(t)  P(T  t) 1 P(T  t) 1 P(N(t)  0) t t e e t      1 0! ( ) 1 0 t≥0 t <0 时， F(t)  P()  0 （2） ( 8) ( 16, 8) ( 16/ 8)        P T P T T P P T T ( 8) ( 16)    P T P T    8 8 1 6 1 (8) 1 (16)         e e e F F  P(T  8) 3．正态分布 ~ ( , ) 2 X N   正态图 2 2 2 ( ) 2 1 ( )       x f x e F x e dx x x 2 2 2 ( ) 2 1 ( )         ? 标准正态分布： 2 2 2 1 ( ) x x e     x e dx x x 2 2 2 1 ( )     

(x)Φ(x)0x(x-μ)2dxP(a<X<bx-dt=12元O-Φ(a例 5 设 X~N(1, 4),求 P(X<1), P(1<X<5), P(X<0), P(IX-1<2)8)-Φ(解(1) P(X<1)=Φ() = Φ(0)=2P(X<μ)= P(X>μ)=0.5一般D((2) P(1<X <5) =Φ(=Φ(2) - 0.5=-(3) P(X <0) = Φ() =Φ(-0.5) = 1 -Φ(0.5)=Φ(-x) =1-Φ(x)一般(4) P(X -1 <2) = P(-1< X <3) =Φ(I)-Φ(-1)

P(a  X  b)  e dx x b a 2 ( ) 2 2 1          x t e dt b t a 2 2 2 1           ( ) ( )           b a 例 5 设 X~N(1, 4)，求 P(X<1)，P(1<X<5)，P(X<0)，P(|X－1|<2)。 解（1） P(X 1) ) 2 1 ) ( 2 1 1 (        (0) = 一般 P(X  )  P(X  )  0.5 （2） P(1 X  5) ) 2 1 1 ) ( 2 5 1 (       (2) 0.5= （3） P(X  0) ) 2 0 1 (     (0.5) 1(0.5) = 一般 (x) 1(x) （4） P( X 1  2)  P(1 X  3)  (1) (1)

= 2Φ(1)-1=P(X -μ<ao)=2Φ(a)-1一般0.68270.95450.9973P(X-μ<ao)3g原则正常不正常P(X-μ<3a)P(X -μ≥3α)10(5) P(X >10) =1- (=1-Φ(4.5) =22-2-1例6（P60例2.17）由历史记录，某地区年降雨量X～N(600,1502）（单位：mm）问：（1）明年降雨量在400mm~700mm之间的概率是多少？（2）明年降雨量至少为300mm的概率是多少？（3）明年降雨量小于何值的概率为0.1？700-600400-600(解(1) P(400 < X < 700) = Φ(150150

 2(1) 1= 一般 P( X    a)  2(a) 1 a 1 2 3 P( X    a) 0.6827 0.9545 0.9973 P( X    3)→ P( X    3) → （5） P(X 10) ) 2 10 1 1 (     1(4.5) = 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 例 6（P60例 2.17）由历史记录，某地区年降雨量 X ~ N( 600, 1502 ) （单位：mm） 问：（1）明年降雨量在 400mm~700mm 之间的概率是多少？ （2）明年降雨量至少为 300mm 的概率是多少？ （3）明年降雨量小于何值的概率为 0.1？ 解（1） P(400  X  700) ) 150 400 600 ) ( 150 700 600 (      3σ 原则 正常 不正常

= Φ(0.67)-Φ(-1.33) =0.6568300-600(2) P(X ≥300) =1-Φ(150= 1- Φ(-2)=0.9772a-600(3) P(X<a) =Φ(°-600)) = 0.1d150150=a=407.7675标准正态分布表（P266）Ncn45601K0.50.5120.5040.5080.5160.51990.52390.52790.53190.53590.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.57930.58320.58710.5910.59480.59870.60260.60640.61030.61410.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64060.64430.6480.65170.65540.65910.66280.66640.670.67360.67720.68080.68440.68790.69850.70190.70540.70880.71230.71570.7190.69150.6950.7224@0.72570.72910.73240.735770.73890.74220.0.74540.74860.75170.75490.7580.76110.76420.76730.77040.77340.77640.77940.78230.78520.79390.79670.79950.80230.80510.80780.81060.81330.78810.7910.81590.81860.82120.82380.82640.82890.83150.8340.83650.83890.84130.84380.84610.84850.85080.85310.85540.85770.85990.862C0.86430.86650.8680.8700.87290.87490.8770.8790.8810.883120884088688808970890894080880899001

 (0.67) (1.33) =0.6568 （2） P(X  300) ) 150 300 600 1 (    1(2) =0.9772 （3） P(X  a) ) 0.1 150 600 (     a  (0.1) 150 600  1   a  =  a=407.7675 标准正态分布表（P266）  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 0.5 0.504 0.508 0.512 0.516 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.5793 0.5832 0.5871 0.591 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.648 0.6517 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.67 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.6915 0.695 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.719 0.7224 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.758 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.7881 0.791 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.834 0.8365 0.8389 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.877 0.879 0.881 0.883 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.898 0.8997 0.9015 