第十章函数项级数81函数项级数的一致收敛性点态收敛设un(x）（n=1,2,3,）是具有公共定义域E的一列函数，这无穷个函数的“和”u(x)+u,(x)+.+un (x)+...称为函数项级数，记为u,(x)。P=
点态收敛 设 un (x)（n = 1,2,3,.）是具有公共定义域 E 的一列函数，这无 穷个函数的“和” 1 + 2 +"+ n xuxuxu )()()( +" 称为函数项级数，记为∑ ∞ =1 )( n n xu 。 第十章 函数项级数 §1 函数项级数的一致收敛性
定义10.1. 1设un(x）（n=1,2,3,）在E上定义。对于任意固定的xeE，若数项级数u,(x)收敛，则称函数项级数u,(x)在点xonn=收敛，或称x是u,(x)的收敛点。n=1函数项级数u,(x)的收敛点全体所构成的集合称为函数项级数n=1Zu,(x)的收敛域n=
定义 10.1.1 设 un (x) （n = 1,2,3,.）在 E 上定义。对于任意固 定的 0 x ∈E，若数项级数∑ ∞ =1 0 )( n n xu 收敛，则称函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 在点 0 x 收敛，或称 0 x 是∑ ∞ =1 )( n n xu 的收敛点。 函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 的收敛点全体所构成的集合称为函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu 的收敛域
设u,(x)的收敛域为DcE，则u,(x)就定义了集合D上的一个n=]n=1函数S(x)=u,(x), xeD 。n=S(x)称为u,(x)的和函数。由于这是通过逐点定义的方式得到的，n=因此称u,(x)在D上点态收敛于S(x)。n=1
设∑ ∞ =1 )( n n xu 的收敛域为 D⊂ E，则∑ ∞ =1 )( n n xu 就定义了集合 D 上的一个 函数 S(x) =∑ ∞ =1 )( n n xu ， x∈D 。 S(x)称为∑ ∞ =1 )( n n xu 的和函数。由于这是通过逐点定义的方式得到的， 因此称∑ ∞ =1 )( n n xu 在 D 上点态收敛于 S(x)
例10.1.1利用我们目前所掌握的知识（如级数收敛的Cauchy判别法，D'Alembert判别法等）和定义10.1.1，可知下述结论：Zx"的收敛域是(-1,1)，和函数为 S(x)=,1-X一
例 10.1.1 利用我们目前所掌握的知识（如级数收敛的 Cauchy 判别法，D'Alembert 判别法等）和定义 10.1.1，可知下述结论： ∑ ∞ n=1 n x 的收敛域是 − )1,1( ，和函数为 S(x) = x x 1− ；
例10.1.1利用我们目前所掌握的知识（如级数收敛的Cauchy判别法，D'Alembert判别法等）和定义10.1.1，可知下述结论：Zx"的收敛域是(-1,1)，和函数为 S(x)=,1-xn=lBWTX的收敛域为[-1,1) ;n名s的收敛域[-1,1] ;n
∑ ∞ n=1 n n x 的收敛域为 − )1,1[ ； ∑ ∞ =1 2 n n n x 的收敛域 − ]1,1[ ； 例 10.1.1 利用我们目前所掌握的知识（如级数收敛的 Cauchy 判别法，D'Alembert 判别法等）和定义 10.1.1，可知下述结论： ∑ ∞ n=1 n x 的收敛域是 − )1,1( ，和函数为 S(x) = x x 1− ；