S2多元连续函数多元函数定义11.2.1设D是R"上的点集，D到R的映射f:D→R,XHz称为n元函数，记为z=f(x)。这时，D称为f的定义域，f(D)=(zeR[z=f(x),xeD)称为 的值域，I=((x,z)eR+I [z=f(x),xeD)称为f的图象
多元函数 定义 11.2.1 设 D 是 n R 上的点集，D 到 R 的映射 f : D →R， x 6 z 称为 n 元函数，记为 = fz x)( 。这时，D 称为 f 的定义域， f D)( = ∈ R = fzz xx ∈ D}),(|{ 称为 f 的值域，Γ= }),(|),{( 1 R ∈=∈ D + x fzz xx n 称 为 f 的图象。 §2 多元连续函数
是二元函数，其定义域为例11.2.12=hxD= (x,y)e R?-<622a函数的图象是一个上半椭球面i（见图11.2.1)。Z4xb2aC1x图 11.2.1
例 11.2.1 2 2 2 2 1 b y a x z −−= 是二元函数，其定义域为 D= ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ ),( ≤+∈ 1 22 22 2 by ax yx R ， 函数的图象是一个上半椭球面（见图 11.2.1）。 z 2 2 2 2 1 b y a x z −−= O y x 图 11.2.1
多元函数的极限定义11.2.2设D是R"上的开集，x。=(°,x,…,x)eD为一定点，z=f(x）是定义在D（x上的n元函数，A是一个实数。如果对于任意给定的>0，存在S>0，使得当xeO(xo,）1(x}时，成立[f(x)- Al<6,则称x趋于x时f收敛，并称A为f当x趋于x时的（n重）极限，记为lim f(x) = A,或 f(x)→A （x→x)，或-→Xolim f(xi,X2,"",xn)=A。X→XX2x2X-→x
多元函数的极限 定义 11.2.2 设 D 是 n R 上的开集， = ( )∈ 0 0 2 010 , n x " xxx D 为一定 点， = fz x)( 是定义在 D \ { 0 x }上的 n 元函数， A是一个实数。如果 对于任意给定的ε > 0，存在δ > 0，使得当 ),( ∈O xx 0 δ \ { 0 x }时，成立 x)( Af <− ε ， 则称 x 趋于 0 x 时 f 收敛，并称 A为 f 当 x 趋于 0 x 时的（n 重）极限， 记为 0 lim →xx f x)( = A , 或 f x)( → A （ 0 → xx ），或 Axxxf n xx xx xx nn = → → → 21 ),(lim 0 0 22 0 11 " "
多元函数的极限定义11.2.2设D是R"上的开集，x。=(x°,x,.…,x)eD为一定点，z=f(）是定义在D/x上的n元函数，A是一个实数。如果对于任意给定的>0，存在>0，使得当xO(xo,）1(x}时，成立If(x)- Al<6,则称x趋于x时f收敛，并称A为f当x趋于x时的（n重）极限，记为lim f(x) = A,或 f(x)→A （x→x)，或-→Xolim f(xi,X2,"",xn)=A。X→X2-x9Xa→x注在上面的定义中，“xeO(xo,)I（x！”也可以用下面的条件Ix-xks, Ix-xks, ., Ix-xko,x±xo替代
注 在上面的定义中，“ ),( 0 ∈O xx δ \ { 0 x }”也可以用下面的条件 ,||,|| 022 011 δ xxxx <−<− δ ,||, 0 " xx nn <− δ x ≠ 0 x 替代。 多元函数的极限 定义 11.2.2 设 D 是 n R 上的开集， = ( )∈ 0 0 2 010 , n x " xxx D 为一定 点， = fz x)( 是定义在 D \ { 0 x }上的 n 元函数， A是一个实数。如果 对于任意给定的ε > 0，存在δ > 0，使得当 ),( ∈O xx 0 δ \ { 0 x }时，成立 x)( Af <− ε ， 则称 x 趋于 0 x 时 f 收敛，并称 A为 f 当 x 趋于 0 x 时的（n 重）极限， 记为 0 lim →xx f x)( = A , 或 f x)( → A （ 0 → xx ），或 Axxxf n xx xx xx nn = → → → 21 ),(lim 0 0 22 0 11 " "
2证明例11.2.2设f(x,y)=(x+y)sin++limo f(x,y) =0。(x,)-→(0.0)证由于I f(x,y)-0(x+y)sin<ix+y ≤lx/+iylx+JO所以，对于任意给定的ε>0，只要取8=那么当x-oks1y-ok，2且(x,y)±(0,0)时,88[f(x,y)-0/≤1x[+/y/<8+8=+601212这说明了，lim。f(x,y)=0。(x,y)→(0.0
例 11.2.2 设 22 sin)(),( yx y yxyxf + += ，证明 0),(lim )0,0(),( = → yxf yx 。 证 由于 22 sin)(|0),(| yx y yxyxf + +=− ≤ + yx || ≤ + yx |||| ， 所以，对于任意给定的ε > 0，只要取 2ε δ = ，那么当 − < δ yx − |0|,|0| < δ ， 且 yx ≠ )0,0(),( 时， yxf − |0),(| ≤ ε ε ε δδ =+=+<+ 22 yx |||| 。 这说明了 0),(lim )0,0(),( = → yxf yx